第02课 弧、圆心角、扇形的认识（导学案）五年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第02课 弧、圆心角、扇形的认识 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察和操作，理解弧、圆心角、扇形的意义，能准确识别圆中的弧、圆心角和扇形 （2）掌握弧、圆心角、扇形的概念及表示方法，能在圆中正确标注各部分名称。 （3）理解扇形与圆心角、半径的关系，能说出扇形大小的影响因素（圆心角大小和半径长短）。 能根据圆心角的度数和半径长度，描述或画出简单的扇形。 （4)通过观察生活中的扇形实例（如扇子、扇形统计图、披萨切片等），经历从具体到抽象的概念形成过程。 2.重难点 重点：掌握弧、圆心角、扇形的概念，理解扇形与圆心角、半径的关系。 难点：理解“扇形的大小由圆心角和半径共同决定”，以及在复杂图形中准确识别扇形。 模块二 预习引导 一、回顾旧知，引入新知 1.复习圆的知识：回忆圆的圆心（O）、半径（r）、直径（d）的概念，思考：在一个圆中，如何确定一个“部分区域”？ 2.观察生活实例：找一找家里或生活中像“圆的一部分”的物体（如打开的扇子、扇形饼干、量角器的刻度区域等），思考：这些图形有什么共同特点？ 二、弧的认识 1.弧的定义：圆上任意两点之间的部分叫做弧，用符号“⌒”表示。 例如：圆上A、B两点之间的曲线就是一条弧，可记作“弧AB”。 2.弧的直观感受：用绳子绕圆形物体一周，剪下其中一段弯曲的绳子，这段绳子的形状就是“弧”。 3.观察钟面：从数字“12”到“3”，时针划过的轨迹是一条弧；从“12”到“6”，划过的轨迹也是一条弧。这两条弧的长度一样吗？ 三、圆心角的认识 1.圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 例如：在圆中，两条半径OA和OB所夹的∠AOB就是圆心角（顶点O是圆心）。 2.动手画一画： 在纸上画一个圆，标出圆心O，任意画两条半径OA和OB，用量角器量一量∠AOB的度数（如30°、90°、180°）。 思考：圆心角的两条边是什么？（提示：都是圆的半径） 四、扇形的认识 1.扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。简单说，扇形是“圆的一部分”，有一个顶点（圆心）、两条半径和一条弧。 2.扇形的组成：每个扇形都包含3部分——1个圆心角、2条半径、1条弧。 例如：钟面上“12”到“3”之间的区域，就是一个以圆心为顶点、两条半径（指向12和3）和一条弧（12到3的曲线）围成的扇形。 3.生活中的扇形： 打开的扇子：扇柄顶端是圆心，扇骨是半径，扇面边缘是弧，整个扇面是扇形。 披萨切片：圆心在披萨中心，两条半径是从中心到切片边缘的直线，弯曲的边缘是弧，每一片披萨都是一个扇形。 五、扇形大小的影响因素 1.思考与比较： 用两个半径相同的圆，分别画一个30°和60°的圆心角，比较两个扇形的大小：哪个更大？（结论：半径相同，圆心角越大，扇形越大）。 用两个圆心角都是90°的扇形，一个半径是2cm，一个半径是4cm，比较大小：哪个更大？（结论：圆心角相同，半径越长，扇形越大）。 总结：扇形的大小由圆心角的度数和半径的长度共同决定。 六、预习小任务 1.找一找：在家里找出3个扇形物体（如扇形窗花、扇形盘子、打开的书本一角），指出每个扇形的圆心角、半径和弧。 2.画一画： 在一个半径为3cm的圆中，画一个圆心角是90°的扇形，标出圆心、半径、弧和圆心角。 尝试画一个圆心角是180°的扇形（提示：这是什么特殊图形？）。 3.想一想：为什么扇子打开时，扇面会越来越大？（联系扇形大小与圆心角的关系） 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．扇形是由一条弧和经过这条弧两端的两条（　　）组成的。 A．直线 B．直径 C．半径 2．钟面上的时针从9起走到12，经过的部分是一个圆心角（　　）的扇形。 A．30° B．60° C．90° 3．把一张圆形纸片平均分成8份，每一份扇形的圆心角是（　　）度。 A．30 B．36 C．45 D．60 4．下图是一个钟面示意图，阴影部分是一个扇形，这个扇形的圆心角度数是（　　）。 A．40° B．120° C．240° 5．从12时起经过（　　）小时，时针扫过的扇形的圆心角是240°。 A．4 B．6 C．8 D．10 6．钟面上的时针从12起走到3，经过的部分是一个圆心角多少度的扇形?（　　） A．30° B．60° C．90° 7．钟面上的时针从12起走到3，经过的部分是一个圆心角（　　）的扇形。 A．30° B．60° C．90° 8．在同圆或等圆中,扇形的大小和（　　）有关。 A．直径 B．半径 C．圆心角 二、判断题 9．圆心角越大，扇形越大。（　　） 10．半圆也可以看成圆心角是180°的扇形。（　　） 11．在一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形。（　　） 12．扇形是轴对称图形，对称轴有无数条。（　　） 13．圆心角大的扇形一定比圆心角小的扇形大。（　　） 三、填空题 14．扇形是由两条　 　和一段　 　围成的。 15．在同一个圆中，扇形的大小与　 　有关。 16．在钟面上分别表示分针从12起，走10分钟和25分钟所经过的部分。 　 　 分针从12起所经过的部分都可看作　 　形，圆心角分别是　 　和　 　。 17．下面哪些圆中的阴影部分是扇形？是的在下面画“√”，不是的在下面画“×”。 　 　 　 　 　 　 　 　 18．指出下面扇形的圆心角分别是多少度。 　 　° 　 　° 　 　° 　 　° 19．把一张直径是8厘米的圆形白纸连续对折3次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是　 　°，它的面积是原来圆形白纸的 　 　。 20．当钟面上的时针从12时转动到3时，时针转动经过的部分形成了一个扇形，这个扇形的圆心角是　 　度；如果时针从12时转动到4时，形成的圆心角是　 　度。 四、解决问题 21．在下图中画出一个最大的扇形，扇形的半径最大是多少厘米？想一想，画一画。 22．下面各圆中的阴影部分是扇形的在括号里画“√”。 （　　） （　　） （　　） （　　） 23．小明在一个直径6厘米的圆中画一个圆心角是60°的扇形，这个扇形的大小是圆的几分之几要使扇形的大小正好是圆的 ，它的圆心角应是多少度 24．钟面上扇形（涂色部分）的圆心角各是多少度？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02课 弧、圆心角、扇形的认识 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察和操作，理解弧、圆心角、扇形的意义，能准确识别圆中的弧、圆心角和扇形 （2）掌握弧、圆心角、扇形的概念及表示方法，能在圆中正确标注各部分名称。 （3）理解扇形与圆心角、半径的关系，能说出扇形大小的影响因素（圆心角大小和半径长短）。 能根据圆心角的度数和半径长度，描述或画出简单的扇形。 （4)通过观察生活中的扇形实例（如扇子、扇形统计图、披萨切片等），经历从具体到抽象的概念形成过程。 2.重难点 重点：掌握弧、圆心角、扇形的概念，理解扇形与圆心角、半径的关系。 难点：理解“扇形的大小由圆心角和半径共同决定”，以及在复杂图形中准确识别扇形。 模块二 预习引导 一、回顾旧知，引入新知 1.复习圆的知识：回忆圆的圆心（O）、半径（r）、直径（d）的概念，思考：在一个圆中，如何确定一个“部分区域”？ 2.观察生活实例：找一找家里或生活中像“圆的一部分”的物体（如打开的扇子、扇形饼干、量角器的刻度区域等），思考：这些图形有什么共同特点？ 二、弧的认识 1.弧的定义：圆上任意两点之间的部分叫做弧，用符号“⌒”表示。 例如：圆上A、B两点之间的曲线就是一条弧，可记作“弧AB”。 2.弧的直观感受：用绳子绕圆形物体一周，剪下其中一段弯曲的绳子，这段绳子的形状就是“弧”。 3.观察钟面：从数字“12”到“3”，时针划过的轨迹是一条弧；从“12”到“6”，划过的轨迹也是一条弧。这两条弧的长度一样吗？ 三、圆心角的认识 1.圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 例如：在圆中，两条半径OA和OB所夹的∠AOB就是圆心角（顶点O是圆心）。 2.动手画一画： 在纸上画一个圆，标出圆心O，任意画两条半径OA和OB，用量角器量一量∠AOB的度数（如30°、90°、180°）。 思考：圆心角的两条边是什么？（提示：都是圆的半径） 四、扇形的认识 1.扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。简单说，扇形是“圆的一部分”，有一个顶点（圆心）、两条半径和一条弧。 2.扇形的组成：每个扇形都包含3部分——1个圆心角、2条半径、1条弧。 例如：钟面上“12”到“3”之间的区域，就是一个以圆心为顶点、两条半径（指向12和3）和一条弧（12到3的曲线）围成的扇形。 3.生活中的扇形： 打开的扇子：扇柄顶端是圆心，扇骨是半径，扇面边缘是弧，整个扇面是扇形。 披萨切片：圆心在披萨中心，两条半径是从中心到切片边缘的直线，弯曲的边缘是弧，每一片披萨都是一个扇形。 五、扇形大小的影响因素 1.思考与比较： 用两个半径相同的圆，分别画一个30°和60°的圆心角，比较两个扇形的大小：哪个更大？（结论：半径相同，圆心角越大，扇形越大）。 用两个圆心角都是90°的扇形，一个半径是2cm，一个半径是4cm，比较大小：哪个更大？（结论：圆心角相同，半径越长，扇形越大）。 总结：扇形的大小由圆心角的度数和半径的长度共同决定。 六、预习小任务 1.找一找：在家里找出3个扇形物体（如扇形窗花、扇形盘子、打开的书本一角），指出每个扇形的圆心角、半径和弧。 2.画一画： 在一个半径为3cm的圆中，画一个圆心角是90°的扇形，标出圆心、半径、弧和圆心角。 尝试画一个圆心角是180°的扇形（提示：这是什么特殊图形？）。 3.想一想：为什么扇子打开时，扇面会越来越大？（联系扇形大小与圆心角的关系） 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．扇形是由一条弧和经过这条弧两端的两条（　　）组成的。 A．直线 B．直径 C．半径 【答案】C 【解析】解：扇形是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径组成的。 故答案为：C。 【分析】扇形是圆的一部分，围成扇形的曲线是一条弧，两条线段是圆的半径。 2．钟面上的时针从9起走到12，经过的部分是一个圆心角（　　）的扇形。 A．30° B．60° C．90° 【答案】C 【解析】解：30°×3＝90° 则钟面上的时针从9起走到12，经过的部分是一个圆心角90°的扇形。 故答案为：C。 【分析】钟面上共12个大格，平均每个大格是30°，这圆心角的度数=30°×大格个数。 3．把一张圆形纸片平均分成8份，每一份扇形的圆心角是（　　）度。 A．30 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】解：360°÷8=45°。 故答案为：C。 【分析】圆看做360度，360度÷平均分成的份数=每一份圆心角的度数。 4．下图是一个钟面示意图，阴影部分是一个扇形，这个扇形的圆心角度数是（　　）。 A．40° B．120° C．240° 【答案】C 【解析】360°÷12×8=240°。 故答案为：C。 【分析】因为是一个钟面示意图，所以先求出相邻两个数字的夹角是多少，然后再乘以夹角的个数即可求出。 5．从12时起经过（　　）小时，时针扫过的扇形的圆心角是240°。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为240°÷30°=8，所以从12时起经过8小时，时针扫过的扇形的圆心角是240°。 故答案为：C。 【分析】钟面被12个数字平均分成12大格，每个大格所对的圆心角是360°÷12=30°，时针走1大格是1时，要求从12时起经过几小时，时针扫过的扇形的圆心角是240°，就是求240°里面有几个30°，据此列式解答。 6．钟面上的时针从12起走到3，经过的部分是一个圆心角多少度的扇形?（　　） A．30° B．60° C．90° 【答案】C 【解析】一大格是360°÷12=30°，从12走到3，有三大格，3×30°=90°。所以钟面上的时针从12起走到3，经过的部分是一个圆心角是90°的扇形。 故答案为：C。 【分析】钟面是一个圆，圆周角是360°，钟面平均分成了12大格，每一格就是30°，再看时针走了几大格就有几个30°，从而算出正确答案。 7．钟面上的时针从12起走到3，经过的部分是一个圆心角（　　）的扇形。 A．30° B．60° C．90° 【答案】C 【解析】 钟面上的时针从12起走到3，经过的部分是一个圆心角90°的扇形。 故答案为：C。 【分析】钟面被12个数字平均分成12大格，每个大格所对的圆心角是360°÷12=30°，时针走过几个大格，就走过了几个30°的圆心角，据此解答。 8．在同圆或等圆中,扇形的大小和（　　）有关。 A．直径 B．半径 C．圆心角 【答案】C 【解析】解：同圆或等圆中，扇形的大小和圆心角有关。 故答案为：C。 【分析】因为是同圆或等圆，所以扇形的半径是相等的，那么扇形的大小只能和圆心角的大小有关。 二、判断题 9．圆心角越大，扇形越大。（　　） 【答案】错误 【解析】解：圆心角越大，扇形不一定越大。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】扇形的大小与扇形的半径和圆心角有关。当半径一定时，圆心角越大，扇形越大。 10．半圆也可以看成圆心角是180°的扇形。（　　） 【答案】正确 【解析】半圆的圆心角是平角，半圆也可以看成圆心角是180°的扇形，原题说法正确. 故答案为：正确. 【分析】扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形，也就是说扇形其实是一个整圆的一部分，而半圆其实就是圆心角为180度的扇形， 据此进行判断. 11．在一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形。（　　） 【答案】正确 【解析】在一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形，原题说法正确. 故答案为：正确. 【分析】根据扇形的定义：圆上的弧与它所对圆心角的组成的图形叫扇形，同一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形. 12．扇形是轴对称图形，对称轴有无数条。（　　） 【答案】错误 【解析】扇形只有一条对称轴，原题说法错误. 故答案为：错误. 【分析】扇形是轴对称图形，对称轴只有一条，据此解答. 13．圆心角大的扇形一定比圆心角小的扇形大。（　　） 【答案】错误 【解析】缺少条件，在同一个圆内或等圆内，原题说法错误. 故答案为：错误. 【分析】在同一个圆内或等圆内，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角大的扇形一定比圆心角小的扇形大，据此解答. 三、填空题 14．扇形是由两条　 　和一段　 　围成的。 【答案】半径；弧 【解析】解：扇形是由两条半径和一段弧围成的。 故答案为：半径；弧。 【分析】 扇形是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成。本题据此解答。 15．在同一个圆中，扇形的大小与　 　有关。 【答案】圆心角 【解析】在同一个圆中，扇形的大小与圆心角有关. 故答案为：圆心角. 【分析】在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角大小有关，圆心角越大，扇形越大，反之亦然. 16．在钟面上分别表示分针从12起，走10分钟和25分钟所经过的部分。 　 　 分针从12起所经过的部分都可看作　 　形，圆心角分别是　 　和　 　。 【答案】；扇；60°；150° 【解析】解： 分针从12起所经过的部分都可看扇形，圆心角分别是30×2=60（度），30×5=150（度）。 故答案为：；扇；60°；150°。 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；两条半径之间夹的格数×30度=圆心角的度数。 17．下面哪些圆中的阴影部分是扇形？是的在下面画“√”，不是的在下面画“×”。 　 　 　 　 　 　 　 　 【答案】×；√；√；× 【解析】解：第一个图：不是半径，x； 第二个图：是扇形，√； 第三个图：是扇形，√； 第四个图：不是半径，x。 故答案为：×；√；√；×。 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 18．指出下面扇形的圆心角分别是多少度。 　 　° 　 　° 　 　° 　 　° 【答案】120；180；72；45 【解析】解：第一幅图：360°÷3=120°； 第二幅图：360°÷2=180°； 第三幅图：360°÷5=72°； 第四幅图：360°÷8=45°。 故答案为：120；180；72；45。 【分析】圆心角是一个周角，是360度；360度÷平均分的总份数=每份的度数。 19．把一张直径是8厘米的圆形白纸连续对折3次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是　 　°，它的面积是原来圆形白纸的 　 　。 【答案】45； 【解析】解：360°÷8=45° 1÷8= 故答案为：45；。 【分析】把一张直径是8厘米的圆形白纸连续对折3次， 把这个圆平均分成了8份，其中一个扇形的圆心角=360°÷8；其中一个扇形的面积占整个圆的分率=1÷平均分的份数。 20．当钟面上的时针从12时转动到3时，时针转动经过的部分形成了一个扇形，这个扇形的圆心角是　 　度；如果时针从12时转动到4时，形成的圆心角是　 　度。 【答案】90；120 【解析】钟面上有12个大格，每个大格是30°，3时整，扇形的圆心角是30°×3=90°，4时整，扇形的圆心角是30°×4=120° 故答案为：90；120. 【分析】根据对钟面的认识可知，钟面上有12个大格，每个大格是30°，几时整，圆心角就是几个30度，据此解答. 四、解决问题 21．在下图中画出一个最大的扇形，扇形的半径最大是多少厘米？想一想，画一画。 【答案】解：扇形的半径最大是4厘米 【解析】【分析】以正方形一个顶点为圆心，边长为半径画圆，这样画出的扇形半径最大。 22．下面各圆中的阴影部分是扇形的在括号里画“√”。 【答案】解：不是，不是，√，√ 【解析】【分析】根据扇形的定义：圆上的弧与它所对圆心角的组成的图形叫扇形，扇形的圆心角顶点是圆心，据此解答. 23．小明在一个直径6厘米的圆中画一个圆心角是60°的扇形，这个扇形的大小是圆的几分之几要使扇形的大小正好是圆的 ，它的圆心角应是多少度 【答案】解：60°÷360°= ，360°×=90° 【解析】【分析】根据题意可知，要求扇形大小是圆的几分之几，就是求扇形圆心角的度数是整个圆周角度数的几分之几，用除法计算，要求圆的的扇形的圆心角，用360°乘，据此解答. 24．钟面上扇形（涂色部分）的圆心角各是多少度？ 【答案】解：90，150，240 【解析】【分析】钟面上有12个大格，每个大格所对的圆心角是30°，几时整，就有几个大格，就有几个30°，据此解答 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $