学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（河北专用，人教版九上全部+九下26～28章：反比例函数+相似+锐角三角函数）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级数学上册第21-25章+下册26-28章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．考试人数、及格人数和及格率三个量中，当_____一定时，其他两个量成反比例，横线处是（   ） A．考试人数 B．及格人数 C．及格率 D．无法确定 2．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 5．在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 8．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B．C． D． 9．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 10．已知一元二次方程，用下列选项中的数字代入a，能使该方程有两个不相等的实数根的选项是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．在中，为锐角， ，则的度数是 ． 14．如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 15．如图，在中，，当    ，，则的长为 ． 16．如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是45和5，点都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）在中，，，，求的长和的度数． 18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 19．（8分）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 21．（9分）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 22．（9分）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 23．（11分）【研究背景】 中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋． 训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 【建立模型】 已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 【解决问题】 (1)若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） ②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）； (2)该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围． 24．（12分）在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示． (1)求的长度； (2)如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，． ①求的度数； ②求的长度； (3)当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19. （8分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（11分） 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·参考答案 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教版2024九年级数学上册第21-25章+下册26-28章。 第一部分（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 A ⊙ 0 D A 0 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13.45° 14.20°」 15.6. 16.25 -15 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8,BC=4V5 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ÷AC=VAB2-BC2=82-45°=4，…(3分) AC 4 1 ∴.cos∠A= AB82,…(6分) .∠A=60°.…(7分) 18.(8分) 【详解】(1)解：a=1,b=-2,c=m-1, △=b2-4ac=(-2)2-4(m-1）=-4m+8 该方程有两个实数根， .-4m+8≥0， 解得m≤2.…(3分) (2)由(1)知：m≤2， ,m为正整数， 当m=1 x2-2x=0 时，方程化为： 解得=0.七=2 ·方程的根都为正整数， 此时不符合题意，舍去： 当m=2 x2-2x+1=0 时，方程化为 解得1 ，符合题意， ∴.m=2 此时方程的根为== .…(8分) 19.(8分) 【详解】(I)证明：，△ABC是等边三角形， .∠BAC=∠B=∠C=60°， 又，∠ADE=60°， ∴.∠BAD+∠BDA=∠BDA+∠EDC=180°-60°=120°， .∠BAD=∠CDE, .△ABDADCE.·(4分) 2/10 回学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：△ABC是等边三角形，AB=3,BD=1, .BC=3, ∴.CD=BC-BD=2, 由(1)知△ABD△DCE, AB BD ·CDCE' 31 …2CE c 。2 CE的长为3，…(8分) 20.(8分) 【详解】(I)解：过C作CE⊥AB, DC∥AB,AD=BC .四边形ABCD为等腰梯形， .∠A=∠B,DO=CE=3,CD=OE, ·△ADO≌△BCE :BE=OA=2, AB=8, ..OE=AB-0A-BE=8-2-2=4, .C4,3) 把C4,3到代入反比例解析式得：k=l2, 则反比例解析式为)=、 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 3D …(6分) -2 E 6 (2)解：由平移得：平移后8的坐标为62) 把x=6代入反比例得： y=2 则平移后点B落在该反比例函数的图象上.…(8分) 21.(9分) 【详解】(1)证明：如下图所示，连接OC, BC=BC, ∴∠COB=2∠A, 0A=0C, .∠A=∠OCA OPI‖AC, .∠COP=∠OCA,∠BOP=∠A, .∠BOP=∠OCA, .∠COP=∠BOP, OC=OB ∠COP=∠BOP 在 和 中， COP△BOP OP=OP ∴.ACOP≌ABOP(SAS 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .∠OCP=∠OBP=90°， 又：点C为⊙0上一点， C与o0相切：…(4分) (2)解：如下图所示，过点C作CE⊥OP,过点O作OF⊥AC, A ∴.OF ICE .AClOP, 四边形OECF是矩形， A0=6,0P=10,OC⊥CP, ..OC=0A=6. .CP=V0p2-0C2=V102-62=8 occ-o .6×8=10CE, .CE=4.8, .OF=CE=4.8, .CF=V0C2-0F2=V6-4.82=3.6 AC=2CF=2×3.6=7.2…(9分) 22.(9分) 【详解】(1)解：：由光的反射定律可知∠AOB=∠COD, 又，AB⊥BD,CD⊥BD, .∠ABO=∠CD0=90°， ∴.△OAB∽△OCD(两角分别相等的两个三角形相似)， AB BO ·CDOD(相似三角形对应边成比例)· 5/10 回学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1.6-2 已知AB=1.6米，B0=2米，OD=10米，代入得：CD=10, 解得CD=1610-8(米). 2 答：大树CD的高度为8米；…(4分) (2)解：阳光下光线平行， ∴.∠AEB=∠CFD, 又：AB⊥BD,CD⊥BD, ∴.∠ABE=∠CDF=90°， .△ABE一△CDF(两角分别相等的两个三角形相似)， AB BE ·CDDF (相似三角形对应边成比例)· a b 已知AB=a米，BE=b米，DF=c米，代入得：CD-c, 解得CD=a b (米). ac 答：大树CD的高度为方米.…(9分) 23.(11分) 【详解】(1)①解：根据题意水平距离为6m时，到达最大竖直高度2.8m, 6,2.8) 即函数顶点坐标为 故函数顶点式中h=6,k=2.8, 函数表达式为y=ax-6)2+2.8 将排球出手处点坐标0,2代入上式。 得2=a0-62+2.8,解得a=- 45, 所以两数关系武为=x-6+28，…4分】 g当x=g时，商数值y=59-6+28=26, .2.6m>2.18m, 所以能过网.…(6分) 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 1 (2)解：因为抛物线形状不变，故a=- 45 1 函数表达式为y=一 x2+bx+2 45 根据题意要求： 发球点与球网的水平距离是6m.若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过2.2m, 1 即当x=6时，函数值y=45×6+66+2>2.2, 解得6、 6 落地点与球网的水平距离小 于9m,即'=0时，x<9+6=15, y=0 做当=5时，函数值y=5x×152+15b+2<0 解彩6分 综上所述，b的取值范围为石<b<行11分) 1 1 24.(12分) 【详解】(1)解：如图，连接OP, 等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D, .∠CAD=30°， 半圆O与AD相切于点P, ·∠AP0=90, 0r=0c=EF=2, .A0=20P=4, ..AC=A0+OC=6, …(3分) C(E) (2)①如图，由题意可知， 点M,N时，与半圆O上， 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .∠MON=2∠MCN=2×60°=120°： B C(E) D N ②过O作OP⊥MN于P, ∠M0N=120, OM-ON-FE-2.MN-2PN ∴.∠OWNM=30° op-av .PN=JON2-OP2=3 :.MN =23 …(6分) C(E) (3)由题意可知， F始终与△MBC的BC交于一点， 如图，当F在AC上时， 在Rt△BEC中， :∠FEC=90°，∠FCE=60°，EF=4, .∠EFC=30°， ∴.CF=2CE, .CF2 CE2+EF2, 即2CE'=CE2+EF 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 CE= 4V5 解得 3, ks45 3， B C(E) DE 如图，当半圆0与4B相切于点P时，连接 P,OB OP⊥AB,OE⊥BC,OP=OE=)EF=2 .∠0BC=30°， .B0=20E=4, ..OB2 OE2+BE2, 即42=22+BE2, 解得： BE=25 ∴x=BC-BE=6-2V5 C(E) 、DE 如图，当F在AB上时， 在Rt△BEF中， :∠FEB=90°，∠FBE=60°，EF=4, ∠EFB=30°， :BF =2BE, 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .BF2 BE2+EF2, E=43 解得 3, ·x=BC-BE=6-4V5 3, C(E D 综上所述，当于与△1BC的边一共有两个交点时， 0s.rs43 3或x=6-2√5或6-3C <x<6.…(12分) 10/102025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【]【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D] 9.[A1[B][C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.AJ[B1[C][D] 3.[AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.A][B1[C1ID1 12.A1[B1[C][D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 14. 15 16 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) E B D 20.(8分) 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) A 22.(9分) C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) /m 5 21 012345678910i12i314516718/m 24.(12分) 0 C(E)BDN C(E) B D 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级数学上册第21-25章+下册26-28章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．考试人数、及格人数和及格率三个量中，当_____一定时，其他两个量成反比例，横线处是（   ） A．考试人数 B．及格人数 C．及格率 D．无法确定 2．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 5．在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 8．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B．C． D． 9．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 10．已知一元二次方程，用下列选项中的数字代入a，能使该方程有两个不相等的实数根的选项是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．在中，为锐角， ，则的度数是 ． 14．如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 15．如图，在中，，当    ，，则的长为 ． 16．如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是45和5，点都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）在中，，，，求的长和的度数． 18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 19．（8分）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 21．（9分）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 22．（9分）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 23．（11分）【研究背景】 中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋． 训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 【建立模型】 已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 【解决问题】 (1)若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） ②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）； (2)该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围． 24．（12分）在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示． (1)求的长度； (2)如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，． ①求的度数； ②求的长度； (3)当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 试卷第24页，共25页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级数学上册第21-25章+下册26-28章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．考试人数、及格人数和及格率三个量中，当_____一定时，其他两个量成反比例，横线处是（   ） A．考试人数 B．及格人数 C．及格率 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，得， 所以当及格人数一定时，考试人数和及格率成反比例. 故选：B. 2．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【详解】解：如图， ∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上， ∴由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点处． 故选：B． 3．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 二次函数为 ，其中 , , ， ∴ 顶点横坐标 ， 代入函数求纵坐标：， ∴ 顶点坐标为 ， 故选：A． 4．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 5．在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 8．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 9．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【详解】解：∵母线，圆锥的侧面积为， ∴， 解得． 故选：C． 10．已知一元二次方程，用下列选项中的数字代入a，能使该方程有两个不相等的实数根的选项是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：对于方程， 其判别式． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即且， 解得且． 选项A，1满足且，而B，C，D均不满足． 故选：A． 11．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：设边长为 ，则边长为， 当时，， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 菜园的面积为， , 整理得 解得，（不合题意，舍去）或， 的长有一个值满足菜园的面积为 ，故②不正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意，得， ， 当时 ，有最大值，最大值为200，故③正确； 当时，，解得，，故正确； 正确的有2个， 故选：． 12．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形为菱形， ∴四边形的面积是， 故选：D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．在中，为锐角， ，则的度数是 ． 【答案】/45度 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 14．如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，翻折，点落在处， ， ，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，当    ，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是45和5，点都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，且面积是45， ∴， 两个正方形面积分别是45和5， 两个正方形的边长分别是和， ，， 则， 故答案为：； （2）∵ ∴， 解得：， ∵， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）在中，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【详解】解：在中，，，， ，······（3分） ，······（6分） ．······（7分） 18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，，， ， ∵该方程有两个实数根， ， 解得．······（3分） （2）由（1）知：， ∵为正整数， ∴当时， 方程化为：， 解得，， ∵方程的根都为正整数， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，符合题意， ，此时方程的根为．······（8分） 19．（8分）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．······（4分） （2）解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为．······（8分） 20．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 【答案】(1)， (2)平移后点落在该反比例函数的图象上 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，全等三角形的性质和判定，点的平移， 对于（1），先根据“角角边”证明≌，进而得出点C的坐标，再求出关系式即可； 对于（2），先求出平移后的点B的坐标，再代入关系式可得答案． 【详解】（1）解：过作， ，， 四边形为等腰梯形， ，，， ≌， ， ， ， ， 把代入反比例解析式得：， 则反比例解析式为； ······（6分） （2）解：由平移得：平移后的坐标为， 把代入反比例得：， 则平移后点落在该反比例函数的图象上．······（8分） 21．（9分）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 又点为上一点， 与相切；······（4分） （2）解：如下图所示，过点作，过点作， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ······（9分） 22．（9分）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 【答案】(1)大树的高度为8米 (2)米 【详解】（1）解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米；······（4分） （2）解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米．······（9分） 23．（11分）【研究背景】 中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋． 训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 【建立模型】 已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 【解决问题】 (1)若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） ②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）； (2)该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围． 【答案】(1)①函数关系式为；②能 (2)b的取值范围为 【详解】（1）①解：根据题意水平距离为时，到达最大竖直高度， 即函数顶点坐标为， 故函数顶点式中，， 函数表达式为 将排球出手处点坐标代入上式， 得，解得， 所以函数关系式为．······（4分） ②当时，函数值， ∵， 所以能过网．······（6分） （2）解：因为抛物线形状不变，故， 函数表达式为， 根据题意要求： 发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过， 即当时，函数值， 解得； 落地点与球网的水平距离小于，即时，， 故当时，函数值， 解得； 综上所述，b的取值范围为．······（11分） 24．（12分）在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示． (1)求的长度； (2)如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，． ①求的度数； ②求的长度； (3)当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)6； (2)，； (3)或或． 【详解】（1）解：如图，连接， 等边三角形中，于点D， ， 半圆O与相切于点P， ，， ， ， ······（3分） （2）①如图，由题意可知， 点M，N时，与半圆O上， ； ②过O作于P， ，， ······（6分） （3）由题意可知， 始终与的交于一点， 如图，当F在上时， 在中， ，，， ， ， ， 即 解得， ， 如图，当半圆O与相切于点P时，连接， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， 如图，当F在上时， 在中， ，，， ， ， ， 解得， ， 综上所述，当与的边一共有两个交点时， 或或······（12分） 试卷第24页，共25页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $