3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦圆周角与直径关系及圆内接四边形性质，通过复习圆周角定理的图形计算题导入，以旧知为支架，引导学生从已知圆周角求度数过渡到探究直径与直角圆周角的关联，构建知识脉络。 其亮点在于以图形探究为载体发展几何直观，通过严谨证明（如直径对直角的推导）培养推理意识，结合中考题及教材变式题强化应用意识。课堂小结系统梳理推论，助力学生构建知识体系，教师可高效开展分层教学，提升学生逻辑推理与解题能力。

2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第三章 圆 3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形 复习导入 求图中角x的度数 · A O B 70° x x =_____ C · O A B C D 120° x x =_____ 35° 120° 情景导入 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 复习导入 求图中角x的度数 第1页：复习导入——衔接旧知引新题（5分钟） 1. 复习回顾：提问“上节课我们学习了圆周角定理，谁能复述一下核心内容？”（引导学生回忆：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）；补充提问“基于定理我们得出的重要推论有哪些？”（回顾：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆所对的圆周角是直角）。 2. 情境设问：展示圆形零件图纸，标注直径AB和圆上一点C，连接AC、BC。提问“图纸中∠ACB是设计的关键角，结合之前的推论，它的度数是多少？这个角度特征对零件设计有什么意义？”；再展示一个内接于圆的四边形ABCD，提问“这个四边形的四个顶点都在圆上，这样的四边形有什么特殊性质呢？” 3. 引出课题：明确本节课主题——3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形，重点探究直径与圆周角的特殊关联、圆内接四边形的定义及性质。 第2页：深入探究——圆周角和直径的关系（8分钟） 1. 定理梳理：结合复习推论，提炼核心结论——圆周角和直径的关系定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 2. 逻辑证明：引导学生完成严谨证明：① 正向证明：已知AB是⊙O的直径，C是圆上任意一点（不与A、B重合），求证∠ACB=90°。证明：∵AB是直径，∴弧AB是半圆，对应的圆心角∠AOB=180°，由圆周角定理得∠ACB=1/2∠AOB=90°；② 逆向证明：已知⊙O中，∠ACB=90°，C在圆上，求证AB是⊙O的直径。证明：设∠ACB所对的弧为弧AB，对应的圆心角为∠AOB，由圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=180°，∴A、O、B三点共线，即AB是⊙O的直径。 3. 特征强调：总结直径与圆周角的双向关联——直径是产生90°圆周角的“前提”，90°圆周角是判定直径的“依据”，二者相互对应，缺一不可。 第3页：新知探究——圆内接四边形的定义与性质（15分钟） 1. 定义给出：结合导入环节的四边形，给出圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 2. 性质探究：① 动手测量：请学生在练习本上画一个⊙O和其内接四边形ABCD，分别测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数，记录数据（如∠A=100°、∠B=80°、∠C=80°、∠D=100°），小组内交流数据，观察角度之间的关系；② 猜想归纳：引导学生基于测量数据猜想：圆内接四边形的对角互补；③ 逻辑证明：连接OA、OC，∵∠A和∠C分别是弧BCD和弧BAD所对的 情景导入 复习导入 求图中角x的度数 · A O B 60° x x =_____ C · O A B C D 20° x x =_____ D 60° E F 30° 50° 情景导入 复习导入 求图中角x的度数 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 情景导入 探究新知 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ · O A B C 解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°. 证明：∵BC为直径， ∴∠BOC＝180°， ∴ 探究新知 探究新知 如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ · O A B C 解：弦BC是直径. 连接OC、OB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BOC ＝ 2∠BAC ＝ 180°. ∴B、O、C三点在同一直线上. ∴BC是⊙O的一条直径. 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线. 探究新知 推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. ∵BC为直径， ∴∠BAC = 90°. 几何语句： ∵∠BAC = 90°， ∴ BC为直径 . 几何语句： 探究新知 议一议 （1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ · O D B C A 解：∠BAD与∠BCD互补 ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，∠ADC=90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. 探究新知 议一议 （2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？ · O D B C A 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立 连接OB，OD， 则 ∵∠1+∠2=360°, ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. 1 2 探究新知 · O D B C A · O D B C A 这两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 探究新知 · O D B C A · O D B C A 四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 探究新知 · O D B C A · O D B C A 我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 探究新知 · O D B C A · O D B C A 推论 圆内接四边形的对角互补. 探究新知 · O D B C A · O D B C A 几何语句： ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）. 探究新知 想一想 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？ · O D B C A E 解：∠A =∠DCE ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD = 180°. ∵∠BCD+∠DCE = 180°， ∴∠A =∠DCE. 探究新知 返回 C 1. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为(　　) A．80° B．60° C．50° D．40° 考试考法 17 返回 2. A 如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 考试考法 返回 3. B [教材P83“随堂练习”第2题变式]用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的是(　　) 考试考法 返回 4. A 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　　) A．65° B．55° C．50° D．75° 考试考法 5. 解：∵∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径．由圆周角定理， 得∠ABC＝∠ADC＝30°，∵AC＝5，∴AB＝2AC＝10. 即⊙O的直径长为10. (8分)如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，AC＝5. (1)求⊙O的直径长； 考试考法 返回 考试考法 22 6. C 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数为(　　) A．50° B．80° C．100° D．160° 考试考法 返回 7. D [教材P82“想一想”变式]如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点E是AB延长线上一点，若∠CBE＝65°，则∠ADC的度数为(　　) A．115° B．130° C．50° D．65° 考试考法 返回 8. C 如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　) A．50° B．100° C．130° D．150° 考试考法 25 返回 9. 60° [2024滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D的度数是________. 考试考法 26 返回 10. D [2025西安高新一中一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°，点E在⊙O上，则∠BEC的度数是(　　) A．28° B．56° C．46° D．26° 考试考法 27 返回 11. 考试考法 28 圆周角定理 推论2 推论3 圆内接四边形的对角互补. 直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 课堂小结 谢谢观看！ (2)若＝，求AD的长. 解：由(1)得AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵＝，∴AD＝DB， ∴AD＝AB＝5. 如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则tan ∠OBD＝________. $