7.2平行线 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件系统覆盖平行线的概念、画法、基本事实及推论、判定与性质，通过“概念辨析—操作实践—推理应用”的学习支架，衔接相交线知识，引导学生从定义理解逐步过渡到综合解题。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如通过三角尺摆放、单车实物图等情境抽象数学模型，例题提供多解法培养推理意识，跨学科题目（凸透镜折射）强化应用表达。教师可借助“解题秘方”等栏目高效教学，学生能提升逻辑思维与实际应用能力。

7.2 平行线 第七章 相交线与平行线 知1－讲 感悟新知 知识点 平行线的概念 1 名称 定义 表示法 图示 平行线 在同一平面内，当直线a，b 不相交时，我们说直线a 与b 互相平行 记作a ∥ b， 读作“a 平行于b” 前提条件 没有公共点 感悟新知 注意 (1)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行. (2)线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 知1－讲 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 不在同一平面内的直线, 在不相交时也可能不平行. 2. 平行是相互的，如a ∥ b 与b ∥ a 表示的意义相同. 知1－练 感悟新知 下列说法正确的是( ) A. 两条直线不平行则相交 B. 在同一平面内，没有公共点的两条射线必平行 C. 在同一平面内，若两条线段平行，则它们不相交 D. 在同一平面内，若两条线段没有公共点，则它们平行 例1 解题秘方：判断两条射线或线段是否平行，要延长或反向延长，看它们有没有交点. 知1－练 感悟新知 解： 选项 理由 对错 A 缺少前提条件“在同一平面内” × B 在同一平面内，没有公共点的 两条射线不一定平行，如图 × C 在同一平面内，若两条线段平行，则它们一定不相交 √ D 在同一平面内，没有公共点的 两条线段不一定平行，如图 × 答案：C 知1－练 感悟新知 1-1. 下列说法正确的是( ) A. 不相交的两条线段是平行线 B. 不相交的两条直线是平行线 C. 不相交的两条射线是平行线 D. 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线 D 感悟新知 知2－讲 知识点 平行线的画法 2 过直线外一点画已知直线的平行线 感悟新知 知2－讲 步骤 具体方法 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“移” 保持直尺不动，沿直尺推动三角尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1. 经过直线上一点不可以作已知直线的平行线. 2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线. 3. 画图过程中要注意： (1)直尺定好位置后，不能移动； (2)三角尺要始终保持“紧靠”状态. 感悟新知 知2－练 例2 如图7.2-1，在∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OA，交OB 于点C；过点P画PD∥OB，交OA于点D. 知2－练 感悟新知 解：如图7.2-2 所示. 解题秘方：按照过直线外一点画已知直线的平行线的步骤依次进行. 知2－练 感悟新知 2-1. 按要求画图： 如图，过点C 画CE∥AD 交BA 的延长线于点E. 解：如图所示． 感悟新知 知3－讲 知识点 平行线的基本事实及其推论 3 1. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 特别提醒：平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 感悟新知 知3－讲 2. 平行线基本事实的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b. 知3－讲 感悟新知 特别解读 1.“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性. 2. 平行线的基本事实在推理过程中常用来说明直线的唯一性. 3. 平行线基本事实的推论体现了平行线的传递性. 感悟新知 知3－练 例3 如图7.2-3，直线a ∥ b，b ∥ c，d 与a 相交于点M. 解题秘方：根据平行线的基本事实及其推论判定两条直线的位置关系. 感悟新知 知3－练 (1)试判断直线a，c的位置关系，并说明理由； 解：a ∥ c. 理由：因为a∥b，b∥c，所以a∥c . (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 感悟新知 知3－练 (2)判断c与d 的位置关系，并说明理由. 解：c 与d 相交. 理由：因为直线a，d都过点M，且a∥c，所以c与d相交. (过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行) 知3－练 感悟新知 3-1. 下列说法正确的 是( ) A. 一条直线的平行线有且只有一条 B. 如果直线a ∥ c ， b ∥ c ，那么a ∥ b C. 如果a ∥ b，a ∥ c，那么b ⊥ c D. 过一点一定存在一条直线与已知直线平行 B 感悟新知 知4－讲 知识点 平行线的判定 4 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方 法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行 ∵∠ 1= ∠ 2，∴ l1∥l2 前面我们讲的平行线的画法，应用的就是判定方法1 感悟新知 知4－讲 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方 法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行 ∵∠ 2= ∠ 3，∴ l1∥l2 感悟新知 知4－讲 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方 法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 ∵∠ 2+ ∠ 4=180°， ∴ l1∥ l2 感悟新知 知4－讲 除了上面三种判定方法外，还有以下三种利用位置 关系判定两直线平行的方法： (1)平行线的定义； (2)平行线基本事实的推论(平行线的传递性)； (3)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记成：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 感悟新知 知4－讲 特别解读 1. 符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”. 2. 这三种判定方法都是由角的数量关系来判定两条直线的位置关系. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手：两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线. 确定了被截线，根据平行线的判定方法就可判断是哪两条直线平行. 感悟新知 知4－练 如图7.2-4，根据下列条件，可判定哪两条直线平行？并说明根据. 例4 知4－练 感悟新知 思路导引： 感悟新知 知4－练 (1)∠ABD=∠CDB； 解：由∠ABD= ∠CDB可判定AB∥CD，根据是内错角相等， 两直线平行. 感悟新知 知4－练 (2)∠CBA+∠BAD=180°； 解：由∠CBA+ ∠BAD=180°可判定BC∥AD，根据是同旁内角互补，两直线平行. 感悟新知 知4－练 (3)∠ABC=∠DCE. 解：由∠ABC= ∠DCE可判定AB∥DC，根据是同位角相等，两直线平行. 知4－练 感悟新知 4-1. 如图所示. (1)如果∠ 1= ∠ 2, 那么_____∥ _____, 依据是________________________. (2)如果∠ 3= ∠ 4, 那么_____ ∥ _____ , 依据是________________________ . AD BC (或BE或CE) 内错角相等，两直线平行 AB CD 内错角相等，两直线平行 知4－练 感悟新知 (3)如果∠ B= ∠ 5, 那么 _____ ∥ _____, 依据是_________________________ . (4)如果∠D+ ∠BCD= 180 ° , 那么 _____ ∥ _____, 依据是________________________ . AB CD 同位角相等，两直线平行 AD BC (或BE或CE) 同旁内角互补，两直线平行 知5－讲 感悟新知 知识点 平行线的性质 5 1. 平行线的性质 类别 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等 ∵ l1 ∥ l2， ∴∠ 1= ∠ 2 知5－讲 感悟新知 类别 文字语言 符号语言 图示 性质2 两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等. 简单说成:两直线平行，内错角相等 ∵ l1 ∥ l2， ∴∠ 2= ∠ 3 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵ l1 ∥ l2， ∴∠ 2+ ∠ 4=180° 知5－讲 感悟新知 2. 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行). 图示如下： 知5－讲 感悟新知 特别提醒 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行，不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补. 知5－练 感悟新知 例5 如图7.2-5，AB∥CD，BC∥AE，∠ 1=50°，求∠A，∠B， ∠C的度数. 解题秘方：准确区分平行线和截线，找到同位角、内错角、同旁内角，进而利用平行线的性质求解. 知5－练 感悟新知 解：∵AB∥CD， ∴∠A= ∠ 1=50°(两直线平行，同位角相等). ∵BC∥AE， ∴∠C= ∠ 1=50°(两直线平行，内错角相等)， ∠A+ ∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠B=180°- ∠A=130°. 另解: ∵ AB ∥ CD, ∴∠ B+ ∠ C=180° . ∴∠ B=180° - ∠ C=130° 知5－练 感悟新知 5-1. 如图，AB∥CD ， AB∥EG ， DF∥BG ， 且∠ 1= 65 °， 求∠ 2， ∠ 3，∠ 4 的度数. 知5－练 感悟新知 解：∵AB∥CD，AB∥EG， ∴CD∥EG(平行于同一条直线的两条直线平行)． ∴∠2＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)． ∵DF∥BG， ∴∠3＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.∵AB∥EG， ∴∠4＝∠3＝115°(两直线平行，同位角相等)． 平行线 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线 概念 画法 基本事实 及其推论 判定 性质 互逆 题型 利用平行线的性质求角的度数 1 将一个含30°角的三角尺和直尺如图7.2-6 所示摆 放，若∠ 1=50°，则∠ 2 的度数是( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 例6 解题秘方：根据平行线的性质得出∠ 2 和∠ 4 的相等关系，并求出∠ 3 的度数，再结合平角的定义求出∠ 4 的度数，问题得解. 解：如图7.2-6 所示. ∵ a ∥ b ， ∴∠ 3= ∠ 1=50°，∠ 2= ∠ 4. (两直线平行，同位角相等) ∴∠ 4=180°-60°- ∠ 3=70°. ∴∠ 2= ∠ 4=70°. 答案：C 教你一招 三角尺的形状有两种，一种是等腰直角三角形，两个锐角都是45 °；另一种是含30 °角的直角三角形， 另一个锐角是60° . 如图7.2-7，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在点C′，D′的位置，C′E交AF于点G，测得∠1=55°，求∠2 的度数. 例7 思路导引： 解：方法一 由折叠可得∠GEC=2 ∠ 1=110°. 由题意得AD∥BC，C′E∥D′F， ∴∠C′GF=∠GEC=110°(两直线平行，同位角相等)， ∠ 2+ ∠C′GF=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠ 2=180°- ∠C′GF=180°-110°=70°. 方法二 由题意得AD∥BC， ∴∠GFE= ∠ 1(两直线平行，内错角相等)， ∠DFE+ ∠ 1=180°(两直线平行，同旁内角互补). 又∠ 1=55°，∴∠GFE=55°，∠DFE=180°-55°=125°. 由折叠可得∠D′FE= ∠DFE=125°， ∴∠ 2= ∠D′FE- ∠GFE=125°-55°=70°. 方法三 由折叠可得∠GEF= ∠ 1=55°. 由题意得AD∥BC，C′E∥D′F， ∴∠GFE= ∠ 1=55°(两直线平行，内错角相等)， ∠GEF+ ∠D′FE=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠D′FE=180°- ∠GEF=180°-55°=125°. ∴∠ 2= ∠D′FE- ∠GFE=125°-55°=70°. 审题技巧 在长方形的折叠问题中，隐含着相等的角、长方形的对边平行等条件，要充分利用这些条件，实现角度之间的转化. 如图7.2-8，在三角形ABC 中，F，H是BC边上的 点， G，D是AC边上的点，且∠ FGA= ∠HDA. 在AB上取一点E，使∠BED+∠B=180°. 说明∠CFG=∠EDH. 题型 综合利用平行线的判定与性质解决问题 2 例8 解题秘方：已知条件中没有平行线，需要先利用判定寻找平行线，再利用平行线的性质得到角的数量关系，通过等量代换说明结论. 解：∵∠FGA= ∠HDA， ∴FG∥HD(同位角相等，两直线平行). ∴∠CFG= ∠CHD(两直线平行，同位角相等). ∵∠BED+ ∠B=180°， ∴ED∥BC(同旁内角互补，两直线平行). ∴∠EDH= ∠CHD(两直线平行，内错角相等). ∴∠CFG= ∠EDH. 方法点拨 综合分析法： 对于比较复杂的说明题, 可先从要说明的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件, 再从已知条件开始推理，看由这些条件能推导出哪些结论, 最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出推理过程，这种分析问题的方法称为综合分析法. [新考法 逆向思维法]国家倡导绿色出行，数数的爸爸给他买了一辆单车. 图7.2-9 ①是该单车放在水平地面的实物图，图7.2-9 ② 是其示意图，其中AB，CD都与地面l 平行，∠BCD=60 °，∠BAC= 55°，当∠MAC为多少度 时，AM//CB ？ 例9 思路导引： 解：∵AB，CD都与地面l 平行， ∴AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). ∴∠BAC+ ∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)， 即∠BAC+ ∠ACB+ ∠BCD=180°. ∵∠BCD=60°，∠BAC=55°，∴∠ACB=180°-60°-55°=65°. 故当∠MAC=∠ACB=65°时，AM∥CB(内错角相等，两直线平行) 解题通法 解决实际问题的关键是读懂题意，从实际问题中抽象出数学问题，然后利用相关知识进行解答. [新视角 类比探究题]如图7.2-10，AB∥CD，分别探究下面四个图中∠APC与∠A，∠C之间的关系. 题型 作平行线，利用平行线的性质探究角的关系 3 例10 解题秘方：分别过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质求解. 解：图7.2-10 ①中，∠APC+ ∠A+ ∠C=360°. 理由：如图7.2-10 ①，过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD. ∴∠ 1+ ∠A=180°，∠ 2+ ∠C=180°. ∴∠ 1+ ∠A+ ∠ 2+ ∠C=360°. 又∵∠APC= ∠ 1+ ∠ 2，∴∠APC+ ∠A+ ∠C=360°. 图7.2-10 ②中，∠APC= ∠A+ ∠C. 理由：如图7.2-10 ②，过点P作PE∥AB. ∵ AB∥CD，∴ PE∥AB∥CD. ∴∠A=∠1，∠2=∠C. ∵∠APC= ∠ 1+ ∠ 2，∴∠APC= ∠A+ ∠C． 图7.2-10 ③中，∠APC+ ∠A= ∠C. 理由：如图7.2-10 ③，过点P作PE∥AB， 则∠ EPA+ ∠A=180°. ∵∠ EPA= ∠APC+ ∠ 1，∴∠APC+ ∠ 1+ ∠A=180°， ∴∠APC+ ∠A=180°- ∠ 1. ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴PE∥CD. ∴∠ 1+ ∠C=180°， ∴∠C=180°- ∠ 1. ∴∠APC+ ∠A= ∠C.. 另解 如图7.2-11，过点P 作PE ∥ AB. ∵ AB∥ CD， ∴ PE ∥ CD. ∴∠ EPC =∠ C. ∵∠EPC =∠1+∠APC， ∴∠ C=∠ 1+ ∠APC . ∵ PE ∥ AB， ∴∠ 1= ∠ A. ∴∠APC+ ∠A=∠ C. 图7.2-10 ④中，∠A= ∠APC+ ∠C. 理由：如图7.2-10 ④，过点P作PE∥AB， 则∠ 1+ ∠A=180°，即∠ 1=180°- ∠A. ∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD. ∴∠EPC+ ∠C=180°，即∠ 1+ ∠APC+ ∠C=180°. ∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°. ∴∠A=∠APC+∠C. 技巧点拨 两条平行线间存在拐点时，通常过拐点作已知直线的平行线，构造出位置角，为应用平行线的性质创造条件. 易错提醒 只能作一条直线的平行线，与另一条直线的平行关系需根据平行线的传递性进行说明. 已知P 是任意一点，过点P 画一条直线与BC 平行，则这样的直线( ) A. 有且只有一条 B. 有两条 C. 不存在 D. 有一条或不存在 例11 易错点 忽视平行线的基本事实的前提致错 错解：A 正解：分点P 在BC 上和不在BC 上两种情况，根据平行线的基本事实解答即可. 若点P 在直线BC 上，则不能画出与BC 平行的直线；若点P 不在直线BC 上，则过点P 有且只有一条直线与BC 平行. 答案：D 诊误区： 在应用平行线的基本事实时，一定要看清是否有“过直线外一点”这个条件，若点不在直线外，则不存在过已知点且与已知直线平行的直线. [中考· 长沙]如图7.2-12，AB ∥ CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F， 直线EG与直线CD交于点G．若∠1=70°， ∠ 2=50°，则 ∠GEF的度数为( ) A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 考法 利用平行线的性质求角的度数 1 例12 试题评析：本题考查平行线的性质及角的和差运算，根据平行线的性质求出∠AEG的度数，再由平角的定义求出∠GEF的度数. 解：∵AB∥CD，∴∠AEG=∠2=50°(两直线平行，同位角相等). ∵ ∠ 1=70 °，∴ ∠GEF=180 °- ∠ 1- ∠AEG=180°-70°-50°=60°． 答案：B [中考·金华]如图7.2-13，已知∠1=∠2=∠3=50°，则∠ 4 的度数是( ) A.120° B.125° C.130° D.135° 考法 利用平行线的判定与性质求角的度数 2 例13 试题评析：本题考查平行线的判定与性质，解题关键是根据角度关系先判定两直线平行，再利用平行线的性质求角度. 解：如图7.2-13，∵∠ 1= ∠ 3=50°， ∴ a ∥ b(同位角相等，两直线平行). ∴∠ 5+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠ 2=50°，∴∠ 5=130°.∴∠ 4= ∠ 5=130°. 答案：C [中考·扬州]如图7.2-14，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=130 °，∠CDF=150 °，则∠EGF的度数是( ) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 考法 平行线的性质在跨学科问题中的应用 3 例14 试题评析：本题考查平行线的性质和对顶角的性质，先根据平行线的性质求出∠BGP，∠DGP的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等即可求出∠EGF． 解：∵PQ∥AB，PQ∥CD， ∴ ∠ ABE+ ∠ BGP=180 °，∠ CDG+ ∠DGP=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠ABE=130°，∠CDF= 150°， ∴∠BGP=50°，∠DGP=30°. ∴ ∠ EGF= ∠ BGD= ∠ BGP+ ∠ DGP= 50°+30°=80°. 答案：C 1.平面内有三条直线a，b，c，下列说法： ①若a ∥ b，b ∥ c，则a ∥ c； ②若a ⊥ b，b ⊥ c，则a ⊥ c. 其中正确的是( ) A. ① B. ② C. ①② D. 都不正确 A 2. [新考向传统文化中考·河北]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD=( ) A.70° B.100° C.110° D.130° C 3. [期末·石家庄裕华区]已知直线BC, 嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线，他们的方法如图， 下列说法正确的是( ) A. 嘉嘉和琪琪的方法都正确 B. 嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确 C. 嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确 D. 嘉嘉和琪琪的方法都不正确 A 4. [中考·福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠ 1 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° A 5. [中考·深圳 新趋势跨学科综合]如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥ OA，∠CBO=122°，∠BON= 90°，则入射角∠AON的度数为( ) A.22° B.32° C.35° D.122° B 6. [母题中考· 湖南教材P19 习题T3]如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果第一次转弯时∠CAB=145°，那么∠ABD=_______． 145° 7. [新视角 条件开放题]如图，A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使AB∥CD，则可以添加的条件为_____________________ (添加一个符合题意的条件即可) ∠A＝∠CDE(答案不唯一) 8. 如图，将木条a，b 与c 钉在一起，∠ 1=80°，∠ 2=50°，要使木条a 与b 平行，木条a 旋转的度数至少是______. 30° 9. [期中·西安长安区]某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建. 如图， 已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B 地，又从B 地沿北偏西20 ° 的方向到C地. 现要从C地出发修建一段新水渠CD，使CD∥AB，则∠BCD的度数为_______. 110° 10.[月考·广州白云区] 如图，按要求画图. (1)经过点D画DE∥CB，交AB于点E. (2)经过点D画DF⊥AB，垂足为F. 解：(1)如图所示． (2)如图所示． 11. 如图，已知BE⊥AC于点E，FG⊥AC于点G，∠ 1= ∠ 2，请判断∠ADE与∠ABC 的大小关系，并说明理由. 解：∠ADE＝∠ABC.理由如下： ∵BE⊥AC，FG⊥AC， ∴BE∥FG(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)．∴∠2＝∠3. 又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3. ∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)． ∴∠ADE＝∠ABC(两直线平行，同位角相等)． 12. [中考·武汉]如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠B=80°. (1)求∠BAD的度数； 解：∵AD∥BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵∠B＝80°，∴∠BAD＝180°－80°＝100°. (2)若AE 平分∠ BAD 交BC 于点E， ∠ BCD=50°，试说明：AE∥DC. 解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°.∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE＝50°(两直线平行，内错角相等)． 又∠BCD＝50°，∴∠BEA＝∠BCD. ∴AE∥DC(同位角相等，两直线平行)． 13. [新视角综合应用探究题]在学习完相交线与平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能. (1)【问题初探】如图①，已知AE∥DC， ∠C= ∠DAE，试说明AD与BC的位 置关系. 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整. 解：因为AE∥DC， 所以∠C= ∠AEB，依据是 ______________________. 又因为∠C= ∠DAE， 所以∠AEB= ∠DAE. 由∠ AEB= ∠DAE得AD∥ BC，依据是______________________ . 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 (2)【拓展探究】在(1)的条件下，∠DFE， ∠ ADF，∠ AEB 三个角的关系为∠DFE=∠ADF+∠AEB，请说明理由. 解：如图所示，过点F作FG∥AD， ∴∠DFG＝∠ADF.∵AD∥BC， ∴FG∥BC，∴∠GFE＝∠AEB， ∴∠DFE＝∠DFG＋∠EFG＝∠ADF＋∠AEB. (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图②，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠ 1=31 °，请求出∠ 2+ ∠ 3 的度数. 解：如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C，B，F，依题意，得EF∥CD，过点B作BA∥CD， ∴EF∥AB，∠ABC＝∠1＝31°， ∴∠3＋∠FBA＝180°， ∴∠2＋∠3＝∠3＋∠FBA＋∠ABC＝ 180°＋31°＝211°. $