题型11 带电粒子（带电体）在复合场中的运动（题型专练）（广东专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

题型11 带电粒子（带电体)在复合场中的运动目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 带电粒子在组合场中的运动【重难】 考向02 带电粒子在叠加场中的运动【重难】 考向03 带电粒子在立体空间中的运动 考向04 带电粒子在现代科技中的应用 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 本题型是高中电磁学中的比较困难的知识，也是高考中的选择题及计算题高频必考点。尤其是带电粒子在组合场、叠加场中的运动，可以在选择题、计算题等形式考查。本题型的命题常与物体（粒子）在复合场的运动、现代科技与生活中的实际问题等知识结合考查。解题的关键和核心能力在于灵活运用电场、磁场的性质解题。 考向01 带电粒子在组合场中的运动 【例1-1】（2025·广东中山·中山纪念中学·一测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 【答案】(1) (2)4:1 (3) 【详解】（1）粒子在第二象限运动只受电场作用，沿x方向做匀速运动，其速度 沿y方向做匀减速运动，其初速度，其加速度 设粒子从P点运动到M点所需时间为t1，则 解得 则粒子运动到M点时延y方向的速度 所以粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角 （2）由（1）可知，粒子进入第一象限的速度 OM的距离 设粒子在第一、四象限中的运动轨迹半径分别为r1、r2，粒子经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以 （3）粒子从M点运动到N点所需时间为 粒子从N点到第3次经过轴所需时间为 所以粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间 解得 【例1-2】（2025·广东·联考）如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在平行y轴且向下的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴上的A点以速度v、与x轴正方向成（未知）角射入第二象限，然后从y轴上的C点（未画出）垂直y轴射入第一象限，最终从x轴上的D点（未画出）垂直x轴射出磁场，，不计粒子重力，求： (1)及电场强度大小E； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点的时间。 【答案】(1)2， (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动，沿x轴方向有 沿y轴方向有 解得 由牛顿第二定律得 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 且 解得 （3）粒子在电场中运动的时间 粒子在磁场中运动的时间 粒子从A点运动到D点的时间 解得 组合场中的常见运动及处理方法 【变式1-1】（2025·广东广州·市调研摸底）如图（a），长为L、间距为 的A、B两平行金属板水平放置，右侧有一垂直于纸面的匀强磁场，两板中心最左侧a处有一粒子源随时间均匀向板间水平发射速度v0的电子。两金属板上加如图（b）所示的交变电压，电压的最大值为，周期为（未知），电子穿过极板的时间极短，该过程中板间电压视为不变。当板间电压时，从a 点进入电场的电子经过磁场偏转后，恰能返回到a点。已知电子质量m，电荷量e，不计重力及电子间的相互作用，极板间电场可视为匀强电场，不考虑边缘效应。求 (1)当电压时，电子从板间飞出时沿电场方向的侧移量y； (2)磁感应强度的大小B和交变电压的周期。 【答案】(1) (2)，（，，） 【详解】（1）在偏转电场中，有， 根据牛顿第二定律，有 代入，解得 （2）设电子进入磁场时速度方向与水平方向的夹角为α，如图所示 出电场时，则有 解得 所以出电场时的速度为 根据几何关系可知，在磁场中，粒子做圆周运动的半径为 根据洛伦兹力充当向心力，有 解得 电子在磁场中运动时间 由于电子能返回a 点，所以电子返回极板间时 对应（，，） 解得（，，） 【变式1-2】（2025·佛山禅城·供题训练）真空中存在两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里，虚线为磁场边界，P、Q为Ⅱ区域边界上的两个点，如图所示，P、Q间距为6L。在长宽分别为 d、L的Ⅲ区域内存在水平向左的匀强电场，电场强度为E。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点静止释放。不计带电粒子的重力，忽略电、磁场的边界效应。 (1)求粒子第一次加速后的速度v0； (2)若粒子恰能经过Q点，求磁感应强度的最小值B1； (3)若磁感应强度为，求粒子从开始释放到永远离开磁场区域被加速的次数n。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中加速，根据动能定理 电场力做功 粒子动能的变化量 由动能定理 可得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律 可得 粒子经电场加速后进入磁场，速度 则 粒子恰能经过点，、间距为，粒子在磁场中做圆周运动的直径最大为，此时半径最大，磁感应强度最小，即， 整理求解 （3）设经次电场加速后，根据动能定理 可得速度 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 代入， 化简得圆周运动半径 可知第一次电场加速之后 直径为 在匀强磁场区域Ⅰ中，做匀速圆周运动之后，又会沿电场线的反方向进入电场，直至速度减为0之后，又会在电场力的作用下，继续沿电场线方向进行第2次加速。根据 可知第二次电场加速之后 直径 可知经过第二次加速之后，粒子在匀强磁场区域Ⅰ中，做匀速圆周运动之后，速度不改变，沿反向直线进入匀强磁场区域Ⅱ区，之后经过和区域Ⅰ中半径相同的匀速圆周运动之后，再次进入电场区域进行加速。为了求粒子从开始释放到永远离开磁场区域被加速的次数，粒子的直径需要大于匀强磁场区域Ⅱ，粒子就会永久离开磁场。由于最开始使粒子加速2次过程中粒子向下偏转的位移为，所以在这个偏移的基础上，直径 减去的部分为一开始加速2次过程中粒子向下偏转的位移，经计算，解得 即 又因为一开始还有2次加速，所以粒子从开始释放到永远离开磁场区域被加速的次数 【变式1-3】（2025·广东广州·省实·适应性考试）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场Ⅰ的边界圆刚好与两坐标轴相切，与轴的切点为，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于轴的足够长的接收屏。点处有一粒子源，在与轴正方向成到与轴负方向成范围内，粒子源在坐标平面内均匀地向磁场内的各个方向射出带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同。已知从P点沿与轴负方向成射出的粒子恰好能沿轴正方向射出磁场Ⅰ，该粒子经电场偏转后以与轴正方向成的方向进入磁场Ⅱ。磁场Ⅱ的磁感应强度大小是磁场Ⅰ的磁感应强度大小的k倍，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)粒子从P点射出的速度大小v0； (2)取，当粒子从电场区域飞出时，求其速度方向与x轴正方向夹角的正切值的取值范围； (3)设接收屏到x轴的距离为d，是否存在这样的d值，使得从P飞进的所有粒子最终都能垂直打到接收屏上？如果能，求出d值；如果不能，请说明理由。 【答案】(1) (2) (3)能， 【详解】（1）从P点沿y轴正向射入的粒子恰好通过Q点，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，沿轴方向有 方向上有 其速度方向与轴正方向夹角的正切值为 联立解得 从点沿与轴负方向成射出的粒子，经过y轴的位置坐标 根据几何关系可知 又 联立解得 则有 取，粒子经过轴时其坐标的取值范围为 联立解得 （3）粒子从电场飞出进入磁场II时，其速度 粒子在磁场区域做匀速圆周运动满足 要使粒子最终都能垂直打到接收屏上，必须满足粒子在磁场II区域内做匀速圆周运动的圆心必须落在接收屏上，如下图所示 接收屏到轴的距离 磁场、区域的磁感应强度的大小关系有 联立解得 考向02 带电粒子在叠加场中的运动 【例2-1】（2025·广东·三模）如图所示，在直角坐标系中，轴竖直，、A两点间的距离为，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带负电小球从A点以大小，（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的点。已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小以及第三象限内磁场的磁感应强度大小； (2)求小球从通过点（第一次通过轴）到第三次通过轴所用的时间及其在第四象限内运动的过程中到轴的最大距离； (3)若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从、A两点连线的延长线上的点（图中未画出）以大小的初速度沿方向射出，要使小球射出后在第一象限内（不包括坐标轴）运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求两点间的距离应满足的条件。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）经分析可知，小球的运动轨迹如图所示 且小球在第一象限内做匀速直线运动，根据物体的平衡条件有 解得 设小球在第三象限内做匀速圆周运动的轨迹半径为，根据几何关系有 洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动所需的向心力，有 解得 （2）小球从点运动到点所用的时间 解得 设小球通过点时所受合力的方向与竖直向下方向的夹角为，有 解得 可见小球所受合力的方向与小球通过点时的速度方向垂直，小球在第四象限内做类平抛运动，设小球在第四象限内运动的加速度大小为，有 设小球从点运动到再次通过轴时所用的时间为，有     解得 又 解得 将小球通过点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，当小球沿水平方向的分速度为零时，小球到轴的距离最大，有 其中 解得 （3）小球的初速度沿水平方向和竖直方向的分量大小分别为     经计算可知 因为 所以小球的运动可分解为大小为、方向水平向左的匀速直线运动和大小为、沿顺时针方向的匀速圆周运动，小球做匀速圆周运动的周期 解得 设小球通过轴时的速度方向恰好第一次水平，则此种情况下小球从点运动到轴的时间 设此种情况下两点间的距离为，有 解得 因此两点间的距离应满足的条件为 【例2-2】（2025·广东·联考）两个小球发生碰撞，如果两球的初速度不在同一直线上，叫做斜碰或者二维碰撞，如果没有外力或者忽略外力作用，则斜碰也符合动量守恒定律，只是计算总动量的时候，用矢量求和（符合平行四边形定则）。如图，真空中的竖直平面内建立xOy坐标系，x轴沿水平方向，y轴竖直向上。第一象限内有指向-x方向的匀强电场，第二象限内有竖直向上的匀强电场，以及垂直于纸面向内的匀强磁场，第一和第二象限内的电场强度大小相同。第二象限有一个油滴a，初位置在P点，坐标是（－L，L），其质量为3m，带电量为+3q，某时刻朝着x轴正方向以某一初速度开始做匀速圆周运动，x轴上的Q点（2L，0）有另一个油滴b，质量为2m，带电量为+2q，另一时刻朝着y轴正方向开始运动，初速度大小是a初速度大小的2倍，经过一段时间后，两个油滴第一次到达y轴上的M（0，2L）点发生碰撞并且迅速粘合成为一个油滴c，粘合过程中，油滴的质量和电荷量没有损失。已知重力加速度为g，不考虑两个油滴碰撞前的相互作用力， (1)求第一和第二象限的电场强度大小，以及a油滴出发的初速度v0大小 (2)求第二象限磁场的磁感强度大小，以及两个油滴出发的时间间隔 (3)求油滴c从M点出发后，第一次回到y轴的N点（图中未画出）坐标 【答案】(1)， (2)； (3) 【详解】（1）油滴a在第二象限受到重力、电场力、洛伦兹力，做匀速圆周运动，则其所受重力和电场力平衡，3qE=3mg 得 b油滴在第一象限运动，水平方向：2qE=2max 得ax=g， 竖直方向：竖直上抛运动， 得， （2）如图，由几何关系，油滴a从P到M划过圆弧轨迹，则R=L 得 周期 粒子从到的时间 得 则两粒子出发的时间间隔为 （3）油滴到达点时的水平分速度 竖直分速度 则到达点时的速度为，方向朝着方向，动量为 到达点时的速度为，方向朝着方向，动量为 画平行四边形，如图，合动量为 而c的质量为，则c的速度为； 与水平方向夹角， 油滴c的质量为5m，电荷量为，其重力与电场力平衡，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有 得 则点的纵坐标为 点坐标 1. 带电粒子在叠加场中运动的分析思路 2. “配速法”在叠加场中运用 配速法其实就是给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)抵消，对应的，还会出现一个与v等大反向的速度v′，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度． 【变式2-1】（2025·广东深圳龙岗·华中师大附中三模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场（大小未知）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出），第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从P点以大小的速度沿PO方向做直线运动，通过O点第一次通过x轴后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过Q点（第二次通过x轴）。已知P、Q的坐标分别为和，重力加速度大小为g，求： (1)第二象限内，匀强电场的电场强度大小； (2)小球从P点运动到Q点的时间t； (3)小球第五次通过x轴时的横坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届广东省深圳市龙岗区华中师范大学附属中学高三下学期三模物理试卷 【详解】（1）由题知，P点坐标为，设PO与x轴负方向夹角为，则有 解得 小球沿PO方向做直线运动，则必为匀速直线运动，故受力平衡，小球受向下的重力，水平向左的电场力和垂直于PO斜向右上方的洛伦兹力，如图 根据受力分析，可得 解得 （2）小球进入第四象限后运动轨迹如图 根据几何关系可得小球从P到O的时间 小球进入第四象限后做匀速圆周运动，根据几何关系可得 周期 则在磁场中运动的时间为 所以小球从P点运动到Q点的时间 （3）小球射入第一象限时速度与x轴正向成30°，做斜抛运动，第三次通过x轴时间为 水平方向运动位移为 则小球第五次通过x轴时的横坐标 【变式2-2】 （2025·天津和平区·二模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角最大值为60°，且速度大小与角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点；②当离子的入射速度大小为（未知），方向与y轴夹角入射时，离子垂直通过界面，不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求的大小； (2)求的大小及②情况下离子到达界面时与x轴之间的距离； (3)现测得离子入射速度大小随变化的关系为，为回收离子，今在界面右侧加一宽度也为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面，求所加电场的电场强度至少为多大？ 【答案】(1) (2)，， (3) 【来源】2025届天津市和平区高三下学期第二次模拟物理试卷 【详解】（1）当离子沿y轴正方向以大小为的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点，由几何关系可得 由牛顿第二定律有 联立解得 （2）若离子与y轴夹角向左上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 若离子与y轴夹角向右上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 （3）离子入射速度大小随变化的关系为 由牛顿第二定律有 离子运动半径为 可知，圆心一定在界面上，即离子一定垂直通过界面，当时，通过界面的速度最大，则保证此离子不能穿越电场区域且重回界面即可，此时速度 恰好能重回界面的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为，对该离子竖直方向运用动量定理有 两边求和可得 又由动能定理得 联立解得 【变式2-3】（2025·广东惠州·模拟）如图（a）所示，空间存在竖直向上的匀强电场，大小相等的两金属小球A和B位于同一水平高度处，其中A球带电量为，质量为，B球不带电，质量为3m。现给A球竖直向下的初速度，给B球水平指向A的初速度。经过一段时间后A的速度减小为零，B正好与A发生弹性正碰，碰撞后两者电量平分。碰撞结束后瞬间（此时），空间再施加图（b）所示的垂直纸面磁场（向外为正方向），其中L为已知量，。不考虑碰撞后B对A的运动带来的影响，不计空气阻力，重力加速度为。求： (1)电场强度的大小； (2)碰撞结束后，小球A的速度大小； (3)在时间内，小球A在竖直方向上的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）B在竖直方向上做自由落体运动： A在竖直方向上匀减速到零： 则 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）A在竖直方向上匀减速到零： B在竖直方向上做自由落体运动： 碰撞前B的速度v的大小、与水平方向夹角θ满足 则有 两个小球发生弹性碰撞，根据动量守恒及能量守恒有、 联立方程解得 （3）碰撞结束后，A的电荷量变为，此后电场力与重力平衡，A在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动、 代入数据可得， 由此可知碰撞后A的运动轨迹如下图所示 其中最后内做匀速直线运动，方向竖直向下 在时间内，小球A在竖直方向上的位移 解得： 考向03 带电粒子在立体空间中的运动 【例3-1】 （2025·广东省·部分学校10月联考）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以从O点沿z轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc边的中点时，对应电场强度为最小值，电子的加速度 由类平抛运动的规律得， 又有比荷 解得 （2）根据题意，由动能定理可得 解得 （3）增加一个沿x轴负方向的磁场后，仍以沿z轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得 周期 从侧面abcd观察，当粒子经历整数个周期T时，重新回到x轴，则应满足 联立可得 【例3-2】（2024·湖南高考题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电荷量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1）将电子的初速度分解为沿x轴方向的速度v0、y轴方向的速度vy0，则电子做沿x轴正方向的匀速直线运动和投影到yOz平面内的匀速圆周运动，又电子做匀速圆周运动的周期为T＝，电子均能经过O进入电场，则＝nT（n＝1，2，3，…） 联立解得B＝（n＝1，2，3，…） 当n＝1时，Bmin＝。 （2）由于电子始终未与筒壁碰撞，则电子投影到yOz平面内的圆周运动的最大半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evy0maxB＝m 则｜tan θ｜＝＝。 （3）电子在电场中做类斜抛运动，当电子运动到O点并且沿y轴正方向的分速度大小为vy0max时，电子在电场中运动的y轴正方向的最大位移最大，由牛顿第二定律有eE＝ma 由速度与位移公式有＝2aym 联立解得ym＝。 粒子在立体空间常见运动及解题策略 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动中将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 【变式3-1】（2025·广东深圳·二调）如图所示，在三维坐标系Oxyz中，的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场II，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿y轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　） A．电场强度大小为 B．带电粒子的比荷为 C．第二次经过xOy平面的位置坐标为（a，0，） D．粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为 【答案】AD 【详解】A．电场没有撤去前粒子能做直线运动，则有 解得 故A正确； B．撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间，可知，粒子做半径为的匀速圆周运动，则有 解得带电粒子的比荷为 故B错误； C．结合上述分析可知，第一次经过xOy平面的位置坐标为（a，，0），进入空间后，磁场变为，则粒子做圆周运动的半径为，且向轴负方向偏转，则第二次经过xOy平面的位置坐标为（，，0），故C错误； D．结合上述分析可知，粒子再次进入的空间做圆周运动，沿y轴正方向移动2a后第三次经过平面，此位置坐标为（，，0），则粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为 故D正确。 故选AD。 【变式3-2】（2025·广东汕头·一模）如图所示，三维坐标系中，在的空间同时存在沿轴正方向的匀强电场和沿轴负方向的匀强磁场，在的空间存在轴正方向的匀强磁场。带负电的离子从以速度在平面内沿轴正方向发射，恰好做匀速直线运动。两处磁场磁感应强度大小均为，不计离子重力，答案可含。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)撤去空间内的匀强磁场，离子仍从点以相同速度发射，且经进入的磁场空间，求离子在点的速度； (3)离子在的磁场空间中速度第一次垂直轴时，求离子的坐标。 【答案】(1) (2)，速度与轴正方向夹角 (3) 【详解】（1）离子做匀速直线运动，有 解得 （2）撤去磁场后，离子做类平抛运动，（y方向上）电场力方向上，有 初速度方向上，有 电场力方向上的速度分量 点时的速度大小为 解得 由 得速度与轴正方向夹角 （3）当离子进入的磁场后，在方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，当圆周运动转过的圆心角为时，速度第一次垂直轴 在电场中 在磁场中，平面 解得 又 转过圆心角的时间为 可得此时离子坐标。 【变式3-3】（2024·北京高考题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B1；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为＋e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为m、电荷量为－e；对于氙离子，仅考虑匀强电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小B2； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室内只受电场力作用，由牛顿第二定律有eE＝Ma，解得a＝。 （2）电子由阴极发射运动到阳极过程，由动能定理有eEd＝mv2 处于阳极附近的电子在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与在径向磁场作用下受到的洛伦兹力平衡，即eE＝evB2，解得径向磁场的磁感应强度大小为B2＝。 （3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，则单位时间内被电离的氙原子数为N＝，氙离子经电场加速，有eEd＝Mv'2 设Δt时间内氙离子所受到的作用力大小为F'，则由动量定理有F'·Δt＝NΔt·Mv'，解得F'＝ 由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小为F＝F' 则F＝。 考向04 带电粒子在现代科技中的应用 【例4-1】（2025·广东两校·三模）质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造如图所示。粒子源S产生的各种不同正粒子束（速度可视为零），粒子质量为m、带电量为q，粒子重力不计，经电压为U的加速电场加速后，从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的M点。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场的速度大小为 B．若粒子束q相同而m不同，则MN距离越大对应的粒子质量越小 C．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的比荷一定相等 D．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的电荷量一定相等 【答案】C 【详解】A．粒子在加速电场中做加速运动，由动能定理得 解得 故A错误； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 可得 所以 若粒子束q相同而m不同，MN距离越大对应的粒子质量越大，故B错误； CD．由 可知只要MN距离相同，对应的粒子的比荷一定相等，粒子质量和电荷量不一定相等，故C正确，D错误。 故选C。 【例4-2】（2025·广东深圳福田·五模）如图所示为某质谱仪的简化示意图，它由加速电场、静电偏转区、真空通道和磁场偏转区组成。现有一α粒子在P点从静止开始经电压恒定的电场加速后进入静电偏转区，然后匀速通过真空通道后进入磁场偏转区，最终打到M点，运动轨迹如图中虚线所示。α粒子在静电偏转区和磁场偏转区中均做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．静电偏转区内的电场是匀强电场 B．磁场偏转区内磁场方向垂直于纸面向外 C．仅将α粒子改为质子，质子仍能在静电偏转区沿虚线运动 D．仅将α粒子改为氘核（H），氘核仍会沿虚线运动到M点 【答案】BCD 【详解】A．α粒子在静电偏转区做匀速圆周运动，电场力提供向心力，方向不断变化，说明电场方向也不断变化，则电场不是匀强电场，故A错误； B．α粒子在磁场偏转区受到的洛伦兹力提供向心力根据左手定则可判断磁场方向垂直纸面向外，故B正确； C．在从加速电场射出后，满足 在静电偏转区域，由 则 则质子也能在静电偏转区域沿虚线做匀速圆周运动，与电荷和质量无关，故C正确； D．在从加速电场射出后，满足 α粒子和氘核比荷相同，则两者射出后速度相同，在静电偏转区域，同样满足，做匀速圆周运动；在磁场区域，也满足，则氘核会沿虚线运动到M点，故D正确。 故选BCD。 常规回旋加速器的几个要点 1. 为使粒子在加速器中不断被加速，加速电场的周期必须等于粒子做圆周运动的周期． 2. 将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为0的匀加速直线运动，带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，所有回旋半径之比为1∶∶… 3. 带电粒子在回旋加速器内运动时间的长短，与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒子在磁场中转动的圈数有关．设带电粒子在磁场中转动的圈数为n，加速电压为U.因每加速一次粒子获得能量为qU，每圈有两次加速，则Ek＝2nqU＝mv＝，则n＝，带电粒子在回旋加速器内偏转的时间t＝nT＝. 质谱仪 1.作用 测量带电粒子质量和分离同位素。 2.原理(如图1所示) (1)加速电场：qU＝mv2。 (2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得r＝，m＝，＝。 磁流体发电机 1.原理： 如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它把离子的动能通过磁场转化为电能。 2.电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极。 3.电源电动势E：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R。当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U(即电源电动势为U)，则q＝qvB，即U＝Blv。 4.电源内阻：r＝ρ。 5.回路电流：I＝。 电磁流量计 1.流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。 2.导电液体的流速(v)的计算 如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当q＝qvB时，a、b间的电势差(U)达到最大，可得v＝。 3.流量的表达式：Q＝Sv＝·＝。 4.电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。 【变式4-1】（2025·广东清远·二模）左装置为回旋加速器的示意图，两个靠得很近的D形金属盒处在磁感应强度大小为B且垂直盒面的匀强磁场中。右装置为质谱仪的示意图，离子源S产生质量不同带电量相同的离子（速度可看作零），经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P点。不计粒子的重力，以下说法正确的是（　　） A．右装置中，加速电场方向竖直向上 B．左装置中，带电粒子通过磁场后动能增大 C．左装置中，电压U越大，带电粒子获得的最大动能也越大 D．右装置中，打在P点的粒子质量大，在磁场中运动的速率大 【答案】A 【详解】A．由右图离子在磁场中偏转方向，根据左手定则可知离子带正电，故加速电场方向竖直向上，故A正确； B．左装置中，因洛伦兹力对带电粒子不做功，则带电粒子通过磁场后动能不变，故B错误； C．左装置中，当离子在匀强磁场的轨迹半径等于D型盒的半径时速度最大，跟据 解得，则最大动能与匀强磁场的磁感应强度大小B、D型盒的半径 R有关，故C错误； D．根据 粒子在电场中被加速，质量越大速率越小，在磁场中速率不变，打在P点的粒子质量大，在磁场中运动的速率小，故D错误。 故选A。 【变式4-2】 （2025·广西南宁·一测）某种回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两极板的板面中部各有一沿OP方向的狭长狭缝，带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示。两虚线外侧区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。如果离子打到器壁或离子源外壁即被吸收。O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为，图乙磁场的磁感应强度B大小可调，下列说法正确的是( ) A．离子能从P射出，可能的磁感应强度B的最小值为 B．若，则离子一定不能从P射出 C．若，，离子从P射出时的动能为16qU D．若，，离子从P射出时的动能为9qU 【答案】ABC 【来源】2026届广西南宁市高三上学期第一次摸底测试物理试卷 【详解】A．磁感应强度B最小时，离子经一次加速后从P点离开磁场，根据动能定理得 进入磁场后做匀速圆周运动 求得，故A正确； B．若 根据得 离子经过加速后在磁场中转一圈打到离子源外壁被吸收，不能从P射出，故B正确； CD．若， 离子第一次加速后的半径 在磁场中转动半圈后进入电场做减速运动，到下极板速度减为零又再次加速飞出上极板，半径仍为 如此重复两次后离子从下极板进入电场，可继续加速，速度变大半径变大，如此重复直至从P射出。射出时的半径为 射出时的速度 因此射出时动能为，故C正确，D错误。 故选ABC。 1．（2025·广东·真题）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了 C．第k次加速后．离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【答案】D 【详解】A．直线通道有电势差为的加速电场，粒子带正电，粒子沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外，故A错误； BC．根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为，由于洛伦兹力不做功，则加速k次后，带电粒子的动能增量为，加速k次后，由动能定理有 解得 故BC错误； D．粒子在偏转磁场中运动的半径为，则有 联立解得 故D正确。 故选D。 2．（2024·广东·真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 【答案】（1）正电；；（2）；；（3） 【详解】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为 根据洛伦兹力提供向心力得 则粒子所带的电荷量 （2）若金属板的板间距离为D，则板长粒子在板间运动时 出电场时竖直速度为零，则竖直方向 在磁场中时 其中的 联立解得， （3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则 3．（2025·天津·高考）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 【答案】(1)正电 (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，粒子向上偏转，所受电场力向上，与电场方向相同，则粒子带正电。 （2）设粒子在电场中运动的时间为t，水平方向上由运动学公式，有 设粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，有 竖直方向上由运动学公式，有 联立上述各式，得 （3）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系，得                    洛伦兹力提供向心力，有 联立得 4．（2025·海南·高考真题）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 【答案】BD 【详解】BC．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向做匀加速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意甲粒子和乙粒子在x轴方向的分速度相等，均为 甲粒子在轴方向的分速度 根据几何关系 可得 乙粒子以最短时间到达（d,d,0），则乙在Ⅰ区域运动的时间为做圆周运动的周期的一半，其半径为 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 在Ⅰ区域运动的时间 沿着正方向，根据运动学公式 解得乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量为 乙粒子进入Ⅱ区域后，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意进乙粒子入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 可得，故B正确，C错误； AD．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向的速度分量相同，则在Ⅰ区域运动时间相等，根据 可知甲粒子在Ⅰ区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入Ⅱ区域时轴坐标均为零，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相等，即两粒子能同时到达接收屏P，两粒子在Ⅱ区域的运动时间 甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 联立解得，故D正确，A错误。 故选BD。 5．（2025·广西·高考真题）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【答案】AD 【详解】A．对M粒子在加速电场中 在速度选择器中 解得M的质量，故A正确； B．进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知 即，故B错误； C．M粒子在磁场中运动半径为r1，则 解得 N粒子在磁场中运动的半径为r2，则 解得 其中 可得 由动能定理N粒子在选择器中 在加速电场中 解得， 则要想使得粒子N沿轴线OO＇通过选择器，则需满足 联立解得，故C错误； D．若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则 其中， 由AB选项分析可知，所以 则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为 可得，故D正确。 故选AD。 6．（2025·湖南·真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做匀变速直线运动， 由闭合回路欧姆定律可得 联立可得 （2）根据题意，设粒子进入磁场与竖直方向的夹角为，则有， 粒子在磁场中做匀速圆周运动有 由几何关系易得 联立可得 （3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为 此时合速度与竖直方向的夹角为 合速度为 粒子做圆周运动的半径 最远距离为 7．（2025·河南·真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得 （2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得 （3）若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角 结合小问2分析可知，粒子在电场中的运动时间为 间的距离为 由几何关系可得 则 粒子在磁场中的运动时间为 则有 综上所述可知，粒子每隔时间向右移动，则漂移速度大小 8．（2025·福建·真题）  如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电量为q（q>0）的带电微粒从M点以初速度v入射，沿着MN做匀速直线运动。微粒到N点时撤去磁场，一段时间后微粒运动到P点。已知M、N、 P三点处于同一竖直平面内，MN与水平方向呈45°，N点与P等高，重力加速度为,则（　　） A．电场强度大小为 B．磁场强度大小为 C．N、P两点的电势差为 D．从N点运动到P的过程中，微粒到直线NP的最大距离为 【答案】BC 【详解】AB、带电体在复合场中能沿着做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。 由受力平衡可知 解得电场强度，磁感应强度，故A错误，B正确。 C、在点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。 且加速度 粒子到达点时，位移偏转角为，故在点，速度角的正切值 所以粒子在点的速度 到过程，由动能定理，有 解得两点间的电势差，C正确； D、将粒子在点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且 故粒子能向上运动的最大距离 D错误； 故选BC。 9．（2025·云南·高考）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故 其中 则该粒子通过速度选择器的速率为 （2）粒子在区域内做匀速圆周运动，从ON的中点垂直ON射入磁屏蔽区域，由几何关系可知 由洛伦兹力提供给向心力 联立可得 由于，根据洛伦兹力提供给向心力 解得 当时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 可得 故粒子打在y轴3L处，综上所述y轴上可能检测到该粒子的范围为。 （3）若在Q处检测到该粒子，如图 由几何关系可知 解得 由洛伦兹力提供向心力 联立解得 其中 根据磁屏蔽效率可得若在Q处检测到该粒子，则 10．（2025·广东·模拟）托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，其结构如图所示。在简化模型中，我们认为等离子体中带电粒子的动能与等离子体的温度成正比。当等离子体温度为，磁感应强度大小为时，带电粒子在环向场线圈磁场中的运动半径为；如果等离子体温度为，为了使等离子体在环向场线圈磁场中的运动半径仍为，则所需的磁感应强度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由牛顿第二定律 解得 由题意可知动能与温度成正比 将速度用动能表示为 将代入 可得 由于且不变，可得 温度从变为，则 故选B。 11．（2025·广东深圳福田红岭中学·适应性）在芯片制造过程，离子注入是芯片制造重要的工序。图a是我国自主研发的离子注入机，图b是简化的原理图。静止于A处的离子，经电压为的电场加速后，沿图中半径为的圆弧虚线通过磁分析器，然后从点垂直进入矩形区域。已知磁分析器截面是四分之一圆环，内部为垂直纸面向里的匀强磁场；，。整个装置处于真空中，离子的质量为、电荷量为，离子重力不计。求： (1)离子进入匀强磁场区域点时的速度大小及磁分析器通道内磁感应强度大小； (2)若区域内只存在方向平行CD的匀强电场，要求离子刚好打在点上，求电场强度的大小； (3)若区域内只存在垂直纸面向里的磁场，要求离子能最终打在边上，求磁场磁感应强度的取值范围； 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）离子经过加速电场，由动能定理可知 解得 离子在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得 （2）离子在水平方向做匀加速运动 竖直方向做匀速运动 解得 （3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得 离子能打在上，则既没有从边出去，也没有从边上出去，则离子运动径迹的边界如图所示 由几何关系知，离子能打在上，必须满足 则有 12．（2025·广东省·珠海实验&中山实验&东莞六中&河源高级&博罗中学·模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中，区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E。质量为m、电荷量为+q的粒子从出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b（2L，0）处第一次进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力。求： (1)带电粒子初速度v₀的大小； (2)带电粒子第一次从磁场返回电场的位置； (3)带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动 联立解得 （2）设粒子第一次进入磁场时的速度为，与轴正方向夹角为，则 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为，则 解得， ， 由此可知粒子在第一次返回电场前的运动轨迹如图-1所示 由几何关系可知 故粒子第一次从磁场返回电场的位置为 （3）粒子在磁场中运动的时间设为，故 粒子第一次返回电场，做逆向类平抛运动到达点，与粒子从运动到所用时间相同。 由几何关系可知，点在点右侧的位置 此后粒子做相似的运动，每次向右移动，如图-2所示 可知粒子从出发到第二次经过点所用时间，则 解得 13．（2025·广东·5月联考）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在平面的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场点位于轴负半轴上，在处放有可以接收粒子的接收板，其长度为，厚度不计。在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，以坐标原点为圆心，半径为的半圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场；剩余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。某一带正电粒子（已知荷质比为）从轴上的点以速度大小射入电场，与轴负方向的夹角为，该粒子经电场偏转后，以垂直于轴的方向从轴上的点进入第二象限。已知长度为，不计粒子重力，计算结果可保留根号。（仅为已知值） (1)求该粒子在第一象限中运动的时间和电场强度的大小； (2)要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收，求磁场的取值范围； (3)若，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场，且经过磁场边界时速度方向与边界线垂直，最终回到点，求磁场和的大小之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在第一象限中做类斜抛运动，水平方向，匀速直线运动， 竖直方向， 解得 （2）由（1）可得 设 粒子恰能打在点时， 解得 粒子恰能打在点时，由几何关系 解得 故 （3）若，由 可得 故粒子垂直于轴进入第三象限。粒子进入第三和第四象限后，运动的轨迹如图所示，设进入磁场的半径为，则由几何关系得 解得 设粒子在中的运动半径为，则由几何关系得 解得 由 联立解得 14．（2025·广东·信息卷）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的A点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到A点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，A点到第1次最低点的水平位移。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子经过点时，由几何关系得速度 粒子从点到点，由动能定理得 联立解得 （2）粒子从点到点，由运动学公式有 解得类平抛运动时间 粒子从点到A点，其运动轨迹如图所示。 由抛体运动的规律可得 由几何关系得粒子在区域I中做匀速圆周运动半径 在区域I中运动时间 则粒子从点运动到A点的时间 （3）粒子在区域I中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 根据牛顿第二定律得 解得 如图所示，在A点对粒子由配速法，设对应的洛伦兹力与静电力平衡，则有，方向相反，与的合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样，粒子进入区域II中的运动可以分解为以方向的匀速直线运动和以速度的匀速圆周运动，静电力等于洛伦兹力 故有 解得 合速度，方向竖直向下 设对应的匀速圆周运动的半径为，洛伦兹力提供向心力 根据牛顿第二定律得 解得 粒子从点第1次到达最低点的时间 A点到第1次最低点的水平位移 联立解得 15．（2025·广东·一模）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。    (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)如图丙，电子在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。 【答案】(1) (2) (3)速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得    根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切 联立解得 （3）将空间沿轴线方向分割成微元，经过任何一个微元，电子速度方位角的正弦值变化量近似为，其中为该微元处的平均磁感应强度。无限细分之后求和可知，速度偏向角的正弦值变化量为，其中为图线所围的面积。类比图，横轴下方面积为“负”。故有 沿轴线入射，因此，根据规律则有 解得 因此处，，即速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下。 16．（2025·广东湛江·一模）如图所示，半径为r的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，其右侧空间一棱长为l的正方体abcd﹣a′b′c′d′区域内存在竖直向上的匀强电场。一电荷量为q、质量为m的带正电的离子（初速度为零，重力不计）经磁场下方电势差为U的电场加速后，由竖直向上指向圆心O的方向射入磁场，经磁场偏转并从圆周上的O1点水平射出后，从正方形add′a′的中心垂直电场方向进入匀强电场区域，最后恰好从b′c′边的中点飞出电场区域。求： (1)离子进入圆形磁场时的速度v的大小； (2)圆形磁场的磁感应强度B的大小； (3)正方体abcd﹣a′b′c′d′内匀强电场场强E的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离子在加速电场中，由动能定理可得 解得 （2）离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 由几何关系可知 联立解得 （3）离子进入正方体abcd﹣a′b′c′d′匀强电场区域做类平抛运动，垂直电场方向有 沿电场方向有， 联立解得 17．（2025·广东·质量检测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场I，在第二象限内有沿轴正向的匀强电场，在区域内有垂直于坐标平面向里的磁场II（未画出），其磁感应强度大小沿轴负方向按的规律均匀变化，为该磁场中某点到轴的距离，为已知的常数且，磁场II中有一平行于轴的足够长的荧光屏，荧光屏到轴的距离为，在轴上坐标为（-d，0）的点沿坐标平面向轴正向和轴正向之间的各个方向射出速度大小均为的质量均为、电荷量均为的带正电粒子，沿轴正向射出的粒子进磁场时速度方向与轴正向成角，此粒子经磁场偏转刚好能沿轴负方向进磁场，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)磁场I的磁感应强度大小； (3)使所有粒子均不打到荧光屏上时的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）沿轴正向射出的粒子经过轴时，速度与轴正向的夹角为。 根据速度的合成与分解可知该粒子进磁场I时的速度大小为 根据动能定理，有 联立解得 （2）沿轴正向射出的粒子进磁场时的位置离坐标原点的距离为，则 沿y方向的位移为 联立解得 沿轴正向射出的粒子经磁场I偏转后恰好沿轴负方向进入磁场II，设粒子在磁场I中做圆周运动的半径为，则 解得 根据牛顿第二定律，有 解得 （3）根据动能定理可知，所有粒子进入磁场I时的速度大小相等，要使所有粒子均不能打到荧光屏上，则只需沿轴负方向进入磁场II时粒子轨迹恰与荧光屏相切。沿轴负方向根据动量定理，得 解得 即 结合图像 可得 解得 18．（2025·广东省深圳市深圳中学·标准学术能力诊断性测试（一模））如图所示，在边长为的正方形区域内，有沿方向的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为，电荷量为带电的粒子（不计重力）从原点进入场区，恰好能以的速度沿直线匀速通过场区。 (1)分析推断粒子的初速度方向，判定磁感应强度方向。 (2)若撤去电场，只保留磁场，其他条件不变，该带电粒子恰好从点离开场区，求磁感应强度的大小。 (3)若撤去磁场，只保留电场，其他条件不变，求粒子离开场区的位置。 【答案】(1)初速度沿方向；磁场垂直于纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）因为粒子匀速运动且电场力沿方向，故洛伦兹力沿－方向，而速度与垂直，所以初速度沿方向。洛伦兹力沿方向，根据左手定则可判定磁场垂直于纸面向外。 （2）如图 对黑色直角三角形，根据勾股定理 解得 又由 （3）设粒子从右边界离开，则 水平 竖直 又 综合可得 故假设成立。 粒子离开场区的具体位置为 19．（2025·广东·一模）如图所示为某实验小组设计的离子控制装置示意图。在平面直角坐标系中，虚线上方和轴下方的区域存在着垂直纸面的匀强磁场，虚线和轴之间区域依次为加速电场、离子源和吸收板，其中加速电场分布在到之间，离子源位于坐标原点处，吸收板左、右两端分别位于和处。离子源可以产生初速度不计、比荷为的正离子，经电压为（值大小可调）的电场（图中未画出）加速后，沿轴负方向射入下方磁场。已知轴左侧加速电场的电压为，当匀强磁场垂直纸面向里且时，正离子恰好打在吸收板的中点处。 (1)求磁感应强度的大小； (2)保持磁感应强度的大小不变，方向改为垂直纸面向外，若所有离子都能进入轴左侧加速电场进行加速，求： ①的取值范围； ②值在①中范围变化时，吸收板上表面有离子打到的区域长度。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设正离子的质量为，电荷量为，则比荷 根据几何关系可得正离子做圆周运动的半径 根据动能定理可得 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）①根据动能定理可得 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 离子恰好经过加速电场右边缘时，圆周运动半径，此时 离子恰好经过加速电场左边缘时，圆周运动半径，此时 则的取值范围为 ②设离子在轴上方磁场中运动速度大小为，圆周运动半径为，根据动能定理可得 根据牛顿第二定律可得 联立可得 离子恰好经过加速电场右边缘时，，则圆周运动半径 离子恰好经过加速电场左边缘时，，则圆周运动半径 则吸收板上表面有离子打到的区域长度为 20．（2025·广东茂名·一模）如图甲所示是一款治疗肿瘤的质子治疗仪工作原理示意图，质子经加速电场后沿水平方向进入速度选择器，再经过磁分析器和偏转系统后，定向轰击肿瘤。已知速度选择器中电场强度的大小为E、方向竖直向上，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外，磁分析器截面的内外半径分别为和，入口端面竖直，出口端面水平，两端中心位置M和N处各有一个小孔。偏转系统下边缘与肿瘤所在平面距离为L，偏转系统截面高度与宽度均为H。当偏转系统不工作时，质子恰好垂直轰击肿瘤靶位所在平面上的O点；当偏转系统施加如图乙所示变化电压后，质子轰击点将发生变化且偏转电压达到峰值（或）时质子恰好从偏转系统下侧边缘离开（质子通过偏转系统时间极短，此过程偏转电压可视为不变），已知整个系统置于真空中，质子电荷量为q、质量为m。求： (1)质子到达M点速度大小； (2)要使质子垂直于磁分析器下端边界从孔N离开，请判断磁分析器中磁场方向，并求磁感应强度的大小； (3)在一个电压变化周期内，质子轰击肿瘤宽度是多少？实际治疗过程中发现轰击宽度小于肿瘤宽度，若只改变某一物理参数达到原宽度，如何调节该物理参数？ 【答案】(1) (2) (3)，增加L 【详解】（1）质子匀速通过速度选择器，受力平衡 可得 （2）在磁分析器匀速圆周运动，由题图可知 洛伦兹力提供向心力有 可得 （3）在偏转系统中质子做类平抛运动，当电源位移时质子恰好从偏转系统下则边缘离开，有， 其中 根据牛顿第二定律有 根据速度的分解有 解得 离开偏转系统后，质子做匀速直线运动 解得 故质子轰击肿瘤宽度是 可知增加L，可以增加质子轰击肿瘤宽度。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型11 带电粒子（带电体)在复合场中的运动目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 带电粒子在组合场中的运动【重难】 考向02 带电粒子在叠加场中的运动【重难】 考向03 带电粒子在立体空间中的运动 考向04 带电粒子在现代科技中的应用 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 本题型是高中电磁学中的比较困难的知识，也是高考中的选择题及计算题高频必考点。尤其是带电粒子在组合场、叠加场中的运动，可以在选择题、计算题等形式考查。本题型的命题常与物体（粒子）在复合场的运动、现代科技与生活中的实际问题等知识结合考查。解题的关键和核心能力在于灵活运用电场、磁场的性质解题。 考向01 带电粒子在组合场中的运动 【例1-1】（2025·广东中山·中山纪念中学·一测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 【例1-2】（2025·广东·联考）如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在平行y轴且向下的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴上的A点以速度v、与x轴正方向成（未知）角射入第二象限，然后从y轴上的C点（未画出）垂直y轴射入第一象限，最终从x轴上的D点（未画出）垂直x轴射出磁场，，不计粒子重力，求： (1)及电场强度大小E； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点的时间。 组合场中的常见运动及处理方法 【变式1-1】（2025·广东广州·市调研摸底）如图（a），长为L、间距为 的A、B两平行金属板水平放置，右侧有一垂直于纸面的匀强磁场，两板中心最左侧a处有一粒子源随时间均匀向板间水平发射速度v0的电子。两金属板上加如图（b）所示的交变电压，电压的最大值为，周期为（未知），电子穿过极板的时间极短，该过程中板间电压视为不变。当板间电压时，从a 点进入电场的电子经过磁场偏转后，恰能返回到a点。已知电子质量m，电荷量e，不计重力及电子间的相互作用，极板间电场可视为匀强电场，不考虑边缘效应。求 (1)当电压时，电子从板间飞出时沿电场方向的侧移量y； (2)磁感应强度的大小B和交变电压的周期。 【变式1-2】（2025·佛山禅城·供题训练）真空中存在两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里，虚线为磁场边界，P、Q为Ⅱ区域边界上的两个点，如图所示，P、Q间距为6L。在长宽分别为 d、L的Ⅲ区域内存在水平向左的匀强电场，电场强度为E。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点静止释放。不计带电粒子的重力，忽略电、磁场的边界效应。 (1)求粒子第一次加速后的速度v0； (2)若粒子恰能经过Q点，求磁感应强度的最小值B1； (3)若磁感应强度为，求粒子从开始释放到永远离开磁场区域被加速的次数n。 【变式1-3】（2025·广东广州·省实·适应性考试）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场Ⅰ的边界圆刚好与两坐标轴相切，与轴的切点为，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于轴的足够长的接收屏。点处有一粒子源，在与轴正方向成到与轴负方向成范围内，粒子源在坐标平面内均匀地向磁场内的各个方向射出带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同。已知从P点沿与轴负方向成射出的粒子恰好能沿轴正方向射出磁场Ⅰ，该粒子经电场偏转后以与轴正方向成的方向进入磁场Ⅱ。磁场Ⅱ的磁感应强度大小是磁场Ⅰ的磁感应强度大小的k倍，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)粒子从P点射出的速度大小v0； (2)取，当粒子从电场区域飞出时，求其速度方向与x轴正方向夹角的正切值的取值范围； (3)设接收屏到x轴的距离为d，是否存在这样的d值，使得从P飞进的所有粒子最终都能垂直打到接收屏上？如果能，求出d值；如果不能，请说明理由。 考向02 带电粒子在叠加场中的运动 【例2-1】（2025·广东·三模）如图所示，在直角坐标系中，轴竖直，、A两点间的距离为，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带负电小球从A点以大小，（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的点。已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小以及第三象限内磁场的磁感应强度大小； (2)求小球从通过点（第一次通过轴）到第三次通过轴所用的时间及其在第四象限内运动的过程中到轴的最大距离； (3)若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从、A两点连线的延长线上的点（图中未画出）以大小的初速度沿方向射出，要使小球射出后在第一象限内（不包括坐标轴）运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求两点间的距离应满足的条件。 【例2-2】（2025·广东·联考）两个小球发生碰撞，如果两球的初速度不在同一直线上，叫做斜碰或者二维碰撞，如果没有外力或者忽略外力作用，则斜碰也符合动量守恒定律，只是计算总动量的时候，用矢量求和（符合平行四边形定则）。如图，真空中的竖直平面内建立xOy坐标系，x轴沿水平方向，y轴竖直向上。第一象限内有指向-x方向的匀强电场，第二象限内有竖直向上的匀强电场，以及垂直于纸面向内的匀强磁场，第一和第二象限内的电场强度大小相同。第二象限有一个油滴a，初位置在P点，坐标是（－L，L），其质量为3m，带电量为+3q，某时刻朝着x轴正方向以某一初速度开始做匀速圆周运动，x轴上的Q点（2L，0）有另一个油滴b，质量为2m，带电量为+2q，另一时刻朝着y轴正方向开始运动，初速度大小是a初速度大小的2倍，经过一段时间后，两个油滴第一次到达y轴上的M（0，2L）点发生碰撞并且迅速粘合成为一个油滴c，粘合过程中，油滴的质量和电荷量没有损失。已知重力加速度为g，不考虑两个油滴碰撞前的相互作用力， (1)求第一和第二象限的电场强度大小，以及a油滴出发的初速度v0大小 (2)求第二象限磁场的磁感强度大小，以及两个油滴出发的时间间隔 (3)求油滴c从M点出发后，第一次回到y轴的N点（图中未画出）坐标 1. 带电粒子在叠加场中运动的分析思路 2. “配速法”在叠加场中运用 配速法其实就是给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)抵消，对应的，还会出现一个与v等大反向的速度v′，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度． 【变式2-1】（2025·广东深圳龙岗·华中师大附中三模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场（大小未知）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出），第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从P点以大小的速度沿PO方向做直线运动，通过O点第一次通过x轴后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过Q点（第二次通过x轴）。已知P、Q的坐标分别为和，重力加速度大小为g，求： (1)第二象限内，匀强电场的电场强度大小； (2)小球从P点运动到Q点的时间t； (3)小球第五次通过x轴时的横坐标。 【变式2-2】 （2025·天津和平区·二模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角最大值为60°，且速度大小与角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点；②当离子的入射速度大小为（未知），方向与y轴夹角入射时，离子垂直通过界面，不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求的大小； (2)求的大小及②情况下离子到达界面时与x轴之间的距离； (3)现测得离子入射速度大小随变化的关系为，为回收离子，今在界面右侧加一宽度也为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面，求所加电场的电场强度至少为多大？ 【变式2-3】（2025·广东惠州·模拟）如图（a）所示，空间存在竖直向上的匀强电场，大小相等的两金属小球A和B位于同一水平高度处，其中A球带电量为，质量为，B球不带电，质量为3m。现给A球竖直向下的初速度，给B球水平指向A的初速度。经过一段时间后A的速度减小为零，B正好与A发生弹性正碰，碰撞后两者电量平分。碰撞结束后瞬间（此时），空间再施加图（b）所示的垂直纸面磁场（向外为正方向），其中L为已知量，。不考虑碰撞后B对A的运动带来的影响，不计空气阻力，重力加速度为。求： (1)电场强度的大小； (2)碰撞结束后，小球A的速度大小； (3)在时间内，小球A在竖直方向上的位移大小。 考向03 带电粒子在立体空间中的运动 【例3-1】 （2025·广东省·部分学校10月联考）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 【例3-2】（2024·湖南高考题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电荷量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 粒子在立体空间常见运动及解题策略 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动中将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 【变式3-1】（2025·广东深圳·二调）如图所示，在三维坐标系Oxyz中，的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场II，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿y轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　） A．电场强度大小为 B．带电粒子的比荷为 C．第二次经过xOy平面的位置坐标为（a，0，） D．粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为 【变式3-2】（2025·广东汕头·一模）如图所示，三维坐标系中，在的空间同时存在沿轴正方向的匀强电场和沿轴负方向的匀强磁场，在的空间存在轴正方向的匀强磁场。带负电的离子从以速度在平面内沿轴正方向发射，恰好做匀速直线运动。两处磁场磁感应强度大小均为，不计离子重力，答案可含。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)撤去空间内的匀强磁场，离子仍从点以相同速度发射，且经进入的磁场空间，求离子在点的速度； (3)离子在的磁场空间中速度第一次垂直轴时，求离子的坐标。 【变式3-3】（2024·北京高考题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B1；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为＋e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为m、电荷量为－e；对于氙离子，仅考虑匀强电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小B2； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 考向04 带电粒子在现代科技中的应用 【例4-1】（2025·广东两校·三模）质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造如图所示。粒子源S产生的各种不同正粒子束（速度可视为零），粒子质量为m、带电量为q，粒子重力不计，经电压为U的加速电场加速后，从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的M点。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场的速度大小为 B．若粒子束q相同而m不同，则MN距离越大对应的粒子质量越小 C．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的比荷一定相等 D．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的电荷量一定相等 【例4-2】（2025·广东深圳福田·五模）如图所示为某质谱仪的简化示意图，它由加速电场、静电偏转区、真空通道和磁场偏转区组成。现有一α粒子在P点从静止开始经电压恒定的电场加速后进入静电偏转区，然后匀速通过真空通道后进入磁场偏转区，最终打到M点，运动轨迹如图中虚线所示。α粒子在静电偏转区和磁场偏转区中均做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．静电偏转区内的电场是匀强电场 B．磁场偏转区内磁场方向垂直于纸面向外 C．仅将α粒子改为质子，质子仍能在静电偏转区沿虚线运动 D．仅将α粒子改为氘核（H），氘核仍会沿虚线运动到M点 常规回旋加速器的几个要点 1. 为使粒子在加速器中不断被加速，加速电场的周期必须等于粒子做圆周运动的周期． 2. 将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为0的匀加速直线运动，带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，所有回旋半径之比为1∶∶… 3. 带电粒子在回旋加速器内运动时间的长短，与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒子在磁场中转动的圈数有关．设带电粒子在磁场中转动的圈数为n，加速电压为U.因每加速一次粒子获得能量为qU，每圈有两次加速，则Ek＝2nqU＝mv＝，则n＝，带电粒子在回旋加速器内偏转的时间t＝nT＝. 质谱仪 1.作用 测量带电粒子质量和分离同位素。 2.原理(如图1所示) (1)加速电场：qU＝mv2。 (2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得r＝，m＝，＝。 磁流体发电机 1.原理： 如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它把离子的动能通过磁场转化为电能。 2.电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极。 3.电源电动势E：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R。当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U(即电源电动势为U)，则q＝qvB，即U＝Blv。 4.电源内阻：r＝ρ。 5.回路电流：I＝。 电磁流量计 1.流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。 2.导电液体的流速(v)的计算 如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当q＝qvB时，a、b间的电势差(U)达到最大，可得v＝。 3.流量的表达式：Q＝Sv＝·＝。 4.电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。 【变式4-1】（2025·广东清远·二模）左装置为回旋加速器的示意图，两个靠得很近的D形金属盒处在磁感应强度大小为B且垂直盒面的匀强磁场中。右装置为质谱仪的示意图，离子源S产生质量不同带电量相同的离子（速度可看作零），经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P点。不计粒子的重力，以下说法正确的是（　　） A．右装置中，加速电场方向竖直向上 B．左装置中，带电粒子通过磁场后动能增大 C．左装置中，电压U越大，带电粒子获得的最大动能也越大 D．右装置中，打在P点的粒子质量大，在磁场中运动的速率大 【变式4-2】 （2025·广西南宁·一测）某种回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两极板的板面中部各有一沿OP方向的狭长狭缝，带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示。两虚线外侧区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。如果离子打到器壁或离子源外壁即被吸收。O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为，图乙磁场的磁感应强度B大小可调，下列说法正确的是( ) A．离子能从P射出，可能的磁感应强度B的最小值为 B．若，则离子一定不能从P射出 C．若，，离子从P射出时的动能为16qU D．若，，离子从P射出时的动能为9qU 1．（2025·广东·真题）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了 C．第k次加速后．离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 2．（2024·广东·真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 3．（2025·天津·高考）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 4．（2025·海南·高考真题）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 5．（2025·广西·高考真题）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 6．（2025·湖南·真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 7．（2025·河南·真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 8．（2025·福建·真题）  如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电量为q（q>0）的带电微粒从M点以初速度v入射，沿着MN做匀速直线运动。微粒到N点时撤去磁场，一段时间后微粒运动到P点。已知M、N、 P三点处于同一竖直平面内，MN与水平方向呈45°，N点与P等高，重力加速度为,则（　　） A．电场强度大小为 B．磁场强度大小为 C．N、P两点的电势差为 D．从N点运动到P的过程中，微粒到直线NP的最大距离为 9．（2025·云南·高考）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 10．（2025·广东·模拟）托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，其结构如图所示。在简化模型中，我们认为等离子体中带电粒子的动能与等离子体的温度成正比。当等离子体温度为，磁感应强度大小为时，带电粒子在环向场线圈磁场中的运动半径为；如果等离子体温度为，为了使等离子体在环向场线圈磁场中的运动半径仍为，则所需的磁感应强度应为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·广东深圳福田红岭中学·适应性）在芯片制造过程，离子注入是芯片制造重要的工序。图a是我国自主研发的离子注入机，图b是简化的原理图。静止于A处的离子，经电压为的电场加速后，沿图中半径为的圆弧虚线通过磁分析器，然后从点垂直进入矩形区域。已知磁分析器截面是四分之一圆环，内部为垂直纸面向里的匀强磁场；，。整个装置处于真空中，离子的质量为、电荷量为，离子重力不计。求： (1)离子进入匀强磁场区域点时的速度大小及磁分析器通道内磁感应强度大小； (2)若区域内只存在方向平行CD的匀强电场，要求离子刚好打在点上，求电场强度的大小； (3)若区域内只存在垂直纸面向里的磁场，要求离子能最终打在边上，求磁场磁感应强度的取值范围； 12．（2025·广东省·珠海实验&中山实验&东莞六中&河源高级&博罗中学·模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中，区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E。质量为m、电荷量为+q的粒子从出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b（2L，0）处第一次进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力。求： (1)带电粒子初速度v₀的大小； (2)带电粒子第一次从磁场返回电场的位置； (3)带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间。 13．（2025·广东·5月联考）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在平面的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场点位于轴负半轴上，在处放有可以接收粒子的接收板，其长度为，厚度不计。在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，以坐标原点为圆心，半径为的半圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场；剩余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。某一带正电粒子（已知荷质比为）从轴上的点以速度大小射入电场，与轴负方向的夹角为，该粒子经电场偏转后，以垂直于轴的方向从轴上的点进入第二象限。已知长度为，不计粒子重力，计算结果可保留根号。（仅为已知值） (1)求该粒子在第一象限中运动的时间和电场强度的大小； (2)要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收，求磁场的取值范围； (3)若，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场，且经过磁场边界时速度方向与边界线垂直，最终回到点，求磁场和的大小之比。 14．（2025·广东·信息卷）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的A点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到A点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，A点到第1次最低点的水平位移。 15．（2025·广东·一模）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。    (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)如图丙，电子在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。 16．（2025·广东湛江·一模）如图所示，半径为r的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，其右侧空间一棱长为l的正方体abcd﹣a′b′c′d′区域内存在竖直向上的匀强电场。一电荷量为q、质量为m的带正电的离子（初速度为零，重力不计）经磁场下方电势差为U的电场加速后，由竖直向上指向圆心O的方向射入磁场，经磁场偏转并从圆周上的O1点水平射出后，从正方形add′a′的中心垂直电场方向进入匀强电场区域，最后恰好从b′c′边的中点飞出电场区域。求： (1)离子进入圆形磁场时的速度v的大小； (2)圆形磁场的磁感应强度B的大小； (3)正方体abcd﹣a′b′c′d′内匀强电场场强E的大小。 17．（2025·广东·质量检测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场I，在第二象限内有沿轴正向的匀强电场，在区域内有垂直于坐标平面向里的磁场II（未画出），其磁感应强度大小沿轴负方向按的规律均匀变化，为该磁场中某点到轴的距离，为已知的常数且，磁场II中有一平行于轴的足够长的荧光屏，荧光屏到轴的距离为，在轴上坐标为（-d，0）的点沿坐标平面向轴正向和轴正向之间的各个方向射出速度大小均为的质量均为、电荷量均为的带正电粒子，沿轴正向射出的粒子进磁场时速度方向与轴正向成角，此粒子经磁场偏转刚好能沿轴负方向进磁场，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)磁场I的磁感应强度大小； (3)使所有粒子均不打到荧光屏上时的最小值。 18．（2025·广东省深圳市深圳中学·标准学术能力诊断性测试（一模））如图所示，在边长为的正方形区域内，有沿方向的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为，电荷量为带电的粒子（不计重力）从原点进入场区，恰好能以的速度沿直线匀速通过场区。 (1)分析推断粒子的初速度方向，判定磁感应强度方向。 (2)若撤去电场，只保留磁场，其他条件不变，该带电粒子恰好从点离开场区，求磁感应强度的大小。 (3)若撤去磁场，只保留电场，其他条件不变，求粒子离开场区的位置。 19．（2025·广东·一模）如图所示为某实验小组设计的离子控制装置示意图。在平面直角坐标系中，虚线上方和轴下方的区域存在着垂直纸面的匀强磁场，虚线和轴之间区域依次为加速电场、离子源和吸收板，其中加速电场分布在到之间，离子源位于坐标原点处，吸收板左、右两端分别位于和处。离子源可以产生初速度不计、比荷为的正离子，经电压为（值大小可调）的电场（图中未画出）加速后，沿轴负方向射入下方磁场。已知轴左侧加速电场的电压为，当匀强磁场垂直纸面向里且时，正离子恰好打在吸收板的中点处。 (1)求磁感应强度的大小； (2)保持磁感应强度的大小不变，方向改为垂直纸面向外，若所有离子都能进入轴左侧加速电场进行加速，求： ①的取值范围； ②值在①中范围变化时，吸收板上表面有离子打到的区域长度。 20．（2025·广东茂名·一模）如图甲所示是一款治疗肿瘤的质子治疗仪工作原理示意图，质子经加速电场后沿水平方向进入速度选择器，再经过磁分析器和偏转系统后，定向轰击肿瘤。已知速度选择器中电场强度的大小为E、方向竖直向上，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外，磁分析器截面的内外半径分别为和，入口端面竖直，出口端面水平，两端中心位置M和N处各有一个小孔。偏转系统下边缘与肿瘤所在平面距离为L，偏转系统截面高度与宽度均为H。当偏转系统不工作时，质子恰好垂直轰击肿瘤靶位所在平面上的O点；当偏转系统施加如图乙所示变化电压后，质子轰击点将发生变化且偏转电压达到峰值（或）时质子恰好从偏转系统下侧边缘离开（质子通过偏转系统时间极短，此过程偏转电压可视为不变），已知整个系统置于真空中，质子电荷量为q、质量为m。求： (1)质子到达M点速度大小； (2)要使质子垂直于磁分析器下端边界从孔N离开，请判断磁分析器中磁场方向，并求磁感应强度的大小； (3)在一个电压变化周期内，质子轰击肿瘤宽度是多少？实际治疗过程中发现轰击宽度小于肿瘤宽度，若只改变某一物理参数达到原宽度，如何调节该物理参数？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $