22.2 二次函数与一元二次方程课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过回顾一次函数与一元一次方程的数与形联系，类比过渡到二次函数与一元二次方程，以小球飞行高度问题为探究载体，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以真实情境（小球飞行）培养数学眼光，通过图像交点与判别式的对应探究发展数学思维，用表格系统归纳关系体现数学语言。学生能在问题解决中抽象数量关系，教师可借助结构化设计提升教学效率，促进知识迁移。

二次函数与一元二次方程(1) 1 从数的角度,一元一次方程的解就是当函数的函数值为0时的自变量的值; 一次函数 与一元一次方程有什么关系? 回顾与复习 从形的角度,一元一次方程的解就是函数的函数图像与轴交点的横坐标 o x y y=ax+b ax+b=0的解 一次函数 与一元一次方程有什么关系? 回顾与复习 函数 方程 次数升高 次数升高 对应关系 ? 引入新课 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:米)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系 (1)球的飞行高度能否达到15m? 如果能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m? 如果能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m? 如果能,需要多少飞行时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间? 高度为0 已知 求 新知探究1 小球的飞行高度h(单位:米)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系 (1)球的飞行高度能否达到15m? 令,则 =15 (2)球的飞行高度能否达到20m? 令,则 =20.5 (3)球的飞行高度能否达到20.5m? (4)球从飞出到落地要用多少时间 令,则 =20 令,则 =0 一元二次方程 二次函数 解得=1, 方程无解 解得= 解得=0, 自变量的值为方程的根 二次函数 一元二次方程 已知二次函数值求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 取定值 解方程 0换成 归纳小结 问题:函数 图像与轴有几个交点? 两个交点 方程 (-2,0) (1,0) 两个不等实根 交点的函数值为0 =9>0 有几个实数根? 新知探究2 问题:函数 图像与轴有几个交点? 一个交点 方程 (3,0) 两个相等实数根 交点的函数值为0 =0 有几个实数根? 新知探究2 问题:函数 图像与有轴几个交点? 无交点 方程 无实数根 -3<0 有几个实数根? 新知探究2 二次函数图像 图像与x轴的交点 一元二次方程 方程的根 与x轴有两个交点 (-2,0) (1,0) 0 两个不等实根 与x轴有一个交点 (3,0) =0 0 两个相等实根 与x轴无交点 =0 0 无实根 11 二次函数 的图像与轴的交点 一元二次方程 的根 有两个交点 有一个交点 无交点 有两个不相等实根 有两个相等实根 无实根 0 0 0 归纳小结 二次函数的图像与轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系 当二次函数图像与x轴(即直线y=0)有交点时,自变量取交点的横坐标时函数值为0,而交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解;反过来,一元二次方程的解就是对应的二次函数图像与轴(即直线y=0)的交点的横坐标 方法总结:一元二次方程解法之四——图像法 13 利用函数图像求方程的实数根 作函数的图像 观察函数的图像,它与轴的交点的横坐标是-1,3 ∴方程的实数根为 列表: -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 -3 -4 -3 0 5 例题讲解 解:∵方程 函数 对应 (3)球的飞行高度能否达到20.5m? 如果能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m? 如果能,需要多少飞行时间? (1)球的飞行高度能否达到15m? 如果能,需要多少飞行时间? 追问:你还有其他方法解新知探究一的问题吗? 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:米)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系 (4)球从飞出到落地要用多少时间? (4)当球飞行0秒和4秒时, 它的高度为0米.即0秒时球 从地面飞出,4秒时球落回地面. 15 1 3 20 2 20.5 0 4 (2)∴当球飞行2s时, 它的高度为20m. (1)∴当球飞行1s或3s时, 它的高度为15m. (3)∴球的飞行高度达不到20.5m 二次函数的图像与直线的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解;反过来,一元二次方程的解就是对应的二次函数与直线的交点的横坐标 归纳小结 17 追问:你还有其他方法解新知探究一的问题吗? 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:米)与飞行时间t(单位:s)之间具 有函数关系 (1)球的飞行高度能否达到15m? 如果能,需要多少飞行时间? =15 =4t-3 (1,1) y= y=4t-3 (3,9) 二次函数 一次函数 y=4t-3 ∴当球飞行1s或3s时,它的高度为15m. (2,4) (0,0) (4,16) (0,0) 不相交 (2)球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?如果能,需要多少飞行时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间? =20 =4t-4 =20.5 =4t-4.1 =4t 二次函数y一次函数y图像交点的横坐标就是相应一元二次方程的解;反过来,一元二次方程的解是二次函数y一次函数y图像交点的横坐标 归纳小结 二次函数与 一元二次方程 从数的角度 二次函数 一元二次方程 取定值 0换成 从形的角度 二次函数与轴的交点个数 符号 一元二次方程根的情况 数形结合 从特殊到一般 自变量的值 一元二次方程的根 课堂小结 类比 求一元二次方程根 配方法 公式法 因式分解法 图像法 二次函数图像 与直线的交点横坐标 二次函数y与 一次函数y图像的 交点横坐标 近似值 夹逼法 课堂小结 数学建模 1.人教版数学教材47页习题2题和4题 2.竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示,其中(m)是抛出时的高度,(m/s)是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,观察并思考下列问题:(1)h与t的关系式是什么? (2)小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法? (3)小球何时离地面的高度是60m? 你有几种求解方法? 作业布置 14112.0 新录音 null 4296.0 新录音 4 com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 16.5.1 (Build 20F75)) 新录音 3 com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 16.5.1 (Build 20F75)) 新录音 null 24264.0 新录音 2 com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 16.5.1 (Build 20F75)) $