2.2用配方法求解一元二次方程教学设计 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级上 学期 秋季 课题 用配方法求解一元二次方程（第一课时） 教学目标 1. 会用开方法解形如的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 2. 熟练地用配方法解“二次项系数为1”的一元二次方程。 3.在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能 教学重难点 教学重点： 1. 掌握配方法，熟练地解一元二次方程。 教学难点： 1. 掌握配方法，熟练地解一元二次方程。 教学过程 第一环节：复习回顾 1.如果 x²=a,则x叫做a的 . 2.如果 x²=a(a ≥0),则x= . 3.任何数都有平方根吗？ 学生活动：学生回忆平方根的概念和完全平方公式。 （设计意图）通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生后面配方法的学习作好铺垫。 学生活动：学生根据一元二次方程的定义及刚复习完的平方根的定义，反思自己会解哪些一元二次方程。 （设计意图）让学生初步体会根据平方根定义，在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质和知识迁移的能力。 问题1：解下列方程，并说明你所用的方法. （1）x²=4 （2）x²=0 （3）x²+1=0 学生活动：根据平方根定义，能否解出一元二次的根。 （设计意图）根据平方根意义，通过一元二次方程直接开方法的考查，巩固用配方法解一元二次方程的方法． 问题2：那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？ （1）x²=5， （2）2x²+3=5 学生活动：思考能否根据平方根定义解决。 （设计意图）观察学生是否会用直接开方法解方程，是否理解直接开方法解一元二次方程的条件与依据，是否能用自己的语言表达出来。 归纳总结：(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根。 (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 ； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x²≥0 ，所以方程(I)无实数根. 思考： 对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）²=5 学生活动：尝试能否解出一元二次方程的根。 （设计意图）观察学生是否会用直接开方法解形如（x+m）²=n（n≥0）的方程，是否理解直接开方法解一元二次方程的条件与依据，是否能用自己的语言表达出来。 总结：直接开平方法 解一元二次方程的思路是讲方程化为(x+m)²=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n>0（n=0)时，两边同时开方，转化为一元一次方程，便可求出它的解. 解题归纳： 直接开平方法：形如（x + m）² = n (n≥0) 基本思路：将方程转化为（x + m）² = n (n≥0)的形式，再用直接开平方法， 直接求根. 第三环节：讲授新课 活动内容1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方） 问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如的式子如何配成完全平方式？ 学生活动：明确常数项与一次项系数的关系。 （设计意图）配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备 活动内容2：解决例题 （1）解方程：x²+8x-9=0.（师生共同解决） 解:可以把常数项移到方程的右边，得 x²+8x＝9 两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x＋42=9＋42. （x+4）²=25 开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5,或x+4=-5. 所以 x1=1, x2=-9. 学生活动：师生共同解决例1，充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键。 （设计意图）通过对例1的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成形式。 活动内容3：及时小结、整理思路 用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？ 引出配方法的定义：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 通过例题的学习和分析，归纳总结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ (1)移，移项，使方程左边为二次项和一次项。 (2)配，配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变成形式。 (3)开，如果方程的右边是非负数，就可左右两边开平方得到x+m= ± (4)解，即方程的解为x=-m±。如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否符合实际意义。 学生活动：学生思考后总结解题思路和关键，小结用配方法解方程的步骤 （2）解决梯子底部滑动问题：（仿照例1，学生独立解决） 解：移项得 x²+12x=15， 两边同时加上62得，x²+12x+62=15+36，即(x+6)²=51 两边开平方，得x+6=± 所以：,， 但因为表示梯子底部滑动的距离 所以 不合题意舍去。 答：梯子底部滑动了米。 学生活动：仿照例1，学生独立解决。 （设计意图）提醒学生注意：有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。 第三环节：练习与提高 活动内容：1.P37随堂练习 （解下列方程） 解方程：2x²—3X=5 活动内容四：及时小结、整理思路 用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？（小组合作交流） 引出配方法的定义：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 通过例题的学习和分析，归纳总结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ （小组合作交流，教师总结） (1)移，移项，使方程左边为二次项和一次项。 (2)配，配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变成形式。 (3)开，如果方程的右边是非负数，就可左右两边开平方得到x+m= ± (4)解，即方程的解为x=-m± 。如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否符合实际意义。 学科网（北京）股份有限公司 $