3.2 用频率估计概率教学设计2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“用频率估计概率”核心知识点，通过课前6人小组调查10人生日收集真实数据，结合复习回顾摸球概率、图钉问题等旧知，搭建从理论概率计算到复杂事件频率估计的学习支架，梳理概率与频率的关联脉络。 资料以生日问题为主线，通过400人、300人、50人生日相同的问题串引发探究，引导学生自主设计实验方案，经历大量重复试验，结合科学家试验数据与生日概率表理解频率稳定于概率，渗透数学史（雅各布·伯努利大数定律）并播放应用视频，培养学生数据观念、推理意识与创新意识，为教师提供完整活动设计与跨学科素材，助力提升学生统计思维与科学态度。

课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 用频率估计概率 教学目标 1. 经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程，估计一些复杂的随机事件发生的概率。 2. 通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观。 教学重难点 教学重点： 掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率。 教学难点： 试验估计随机事件发生的概率；关键是通过试验、统计活动，体会随机事件的概率。 教学过程 本节课设计了七个教学环节：一、课前准备；二、复习回顾；三、探索新知；四、典例精析；五、巩固应用；六、课堂小结；七、布置作业. 第一环节：课前准备（提前一周布置） 内容：以6人合作小组为单位，开展调查活动：每人课外调查10个人的生日. 目的：收集数据，为本节课的学习提供素材，在课堂中运用源于学生实际调查的真实数据展开教学，能极大地激发学生学习数学的兴趣及学习的积极性与主动性.另一方面，也锻炼了学生的社交能力. 实际效果与注意事项：学生课外收集数据时有可能来自相同的人，各小组课前准备时，教师提醒尽量避免调查相同的人，最好每个小组的调查范围相对确定，如：初一、初二、初三等。 第二环节：复习回顾 内容： 1.（1）在纸箱里面，共放置10个球，其中3个红球，7个黑球。摸出红球的概率是 .概率:事件发生的可能性的大小. （2）在实际摸球中，摸10次一定摸到3次红球吗？你还会发现什么？ 2.投掷一枚图钉，“钉尖向上”的概率是多少？ 目的：以复习回顾开篇，为本节课的内容做铺垫，保证学生掌握本节课的知识基础. 实际效果：学生置身于旧知的回忆中，为本节课的展开夯实知识框架. 第三环节：探索新知 经历试验、统计等活动过程，估计复杂随机事件（生日相同）的概率。 内容： 试验者 抛掷次数n “正面向上”次数m “正面向上”频率 棣莫弗 2048 1061 0.518 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 1.我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,”正面朝上”的概率是0.5,许多科学家曾做过成千上万次的实验,其中部分结果如下表: 观察该表,你获得什么启示? 实验次数越多,频率越接近概率. 2.教师提出问题串 （1）400位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？有什么依据呢？ （2）300位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？ （3）教师提出一个论断：“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”你相信吗？ 对于问题（1），学生能给予肯定的回答“一定”，对于能力比较强的学生可以用“抽屉原理”加以解释。例如，有的学生会给出如下的解释：“一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里—抽屉原理：把m个物品任意放进几个空抽屉里（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。 对于问题（2），学生会给出“不一定”的答案。 对于问题（3），学生会表示怀疑，不太相信。 活动一：每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日有相同的概率. 活动设计目的：通过具体收据数据、实验、统计结果过程，丰富学生的数学活动经验，对本节课有更直观的感知，经历用实验估计理论概率的过程，初步感受到生日相同的概率较大. 设计方案：学生自主设计. 附学生设计的方案： 方案：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，都放进箱子里，随机抽取50次并记录数据，这为一次试验，重复多次试验即可.(具体试验方案见视频播放) 活动过程指导： （1）节约时间，生日表示方式简化成四位数.如“0217” （2）人人参与，大胆发言、交流、讨论从大量的重复试验活动中感受生日相同的概率较大. （3）激励学生提出更好的活动方案，如：产生1～365之间某一自然数随机数的方法；分工制作1～365自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张，记下号码，放回去，再随机抽取，直至抽出50张，多次重复试验，并估计出50人中有2人生日相同的概率，此为模拟试验. 活动评价指导： （1）学生的参与程度，活动过程中的思维方式，与同学合作交流情况. （2）鼓励思维多样性.（3）关注学生能否用实验方法估计一些较复杂随机事件发生的概率. （4）关注学生对概率的理解是否全面.（5）关注实验次数. 实际效果：通过以上探索活动，经历了大量重复试验，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少.约0.9704，很大.这个结果出人意料之处就在于其结果违反了人们的直觉：人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，计算结果却是：如果人数不少于是23人，这种可能性就达50%.看下表是“几个人中至少有2人生日相同”的概率大小表： n p n p n p n p n p 20 0.4114 29 0.6810 38 0.8641 47 0.9548 56 0.9883 21 0.4437 30 0.7105 39 0.8781 48 0.9606 57 0.9901 22 0.4757 31 0.7305 40 0.8912 49 0.9658 58 0.9917 23 0.5073 32 0.7533 41 0.9032 50 0.9704 59 0.9930 24 0.5383 33 0.7750 42 0.9140 51 0.9744 60 0.9941 25 0.5687 34 0.7953 43 0.9239 52 0.9780     26 0.5982 35 0.8144 44 0.9329 53 0.9811     27 0.6269 36 0.8322 45 0.9410 54 0.9839     28 0.6545 37 0.8487 46 0.9483 55 0.9836     归纳类比：频率与概率的关系： 联系：频率：事件发生的频繁程度. 概率：事件发生的可能性大小.（经过大量重复实验，频率将稳定于概率） 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 应用：试验次数越多，频率越趋向于概率． 数学史实：人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．（播放大数定律视频） 第四环节：典例精析 例：一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不许将球倒出来数,那么你能估计出其中的白球数吗? 小明是这样做的：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中.不断重复上述过程.我共摸了200次,其中有80次摸到黑球,因此我估计口袋中大约有12个白球. 分析：假设口袋中有x个白球,通过多次试验,我们可以估计出从口袋中随机摸出一球,它为黑球的概率；另一方面,这个概率又应等于 ,据此可估计出白球数x. 解：设口袋中有x个白球，得 解得: x =12 经检验， x =12是原方程的解且符合题意. 答:口袋中的白球大约有12个．（用频率估计概率：试验次数越多，频率越趋向于概率．）． 第五环节：巩固应用 1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( B　) A．频率等于概率 B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等 2.大运会期间我国射击选手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901 该射手击中靶心的概率的估计值是______（精确到0.01）.（ B ） A．0.89 B．0.90 C．0.92 D．0.95 3.有了“绿水青山就是金山银山”，小樱桃家的鱼塘也更为热闹了，因此她想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回混合后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少？ 【解】设鱼塘中鱼的数量有x条，依题意得， 解得 x=2000. 经检验，x=2000 是原方程的解且符合题意. 所以，估计鱼塘中鱼的数量大约有2000条. 第六环节：课堂小结 弄清了一种关系: 频率与概率的关系 当试验次数很多或试验时样本容量足够大时，事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时，我们可以频率来估计概率. 了解了一种方法: 用多次试验频率去估计概率. 体会了一种思想：统计思想. 拓展：（播放视频：用频率估计概率在生物和体育科目的应用） 第七环节：作业布置 1.必做题：阅读课本70页读一读模拟试验、随堂练习第2题 . 2.选做题：（趣味探究类作业） （1）通过实验，计算某名学生在罚球线上投篮投中的频率，同时估计其投中的概率； （2）通过实验，计算某种子发芽的频率，同时估计该种子发芽的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $