第22讲：数列的概念与通项公式【知识梳理+7个题型归纳方法总结+课后针对训练】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦数列的概念与通项公式核心知识点，系统梳理从定义（有序数列为特殊函数）、表示方法（通项公式、递推公式）到分类（有穷/无穷、增减性等）及前n项和与通项关系的知识脉络，搭建完整学习支架。 资料通过概念比较表（如数列与函数区别）、易错辨析（验证首项等）及题型分类（观察法求通项等）设计，培养学生数学思维（推理意识）与数学语言（模型意识），课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第22讲：数列的概念与通项公式】 总览 题型梳理 1.数列的基本定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，记作（其中，即正整数集）. 项：数列中的每一个数叫做数列的项，第项记为（下标为项数，对应正整数）； 首项：数列的第一个项（注意：项数从1开始，而非0，与函数定义域常从0开始区分）； 数列的本质：特殊的函数，定义域为正整数集（或其有限子集），值域为数列的各项组成的集合，对应关系为. 2.数列的表示方法 （1）列表法：将项数与对应项一一列出（如），直观但不适合无穷数列； （2）通项公式法：如果数列的第项与项数之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式，即； （3）递推公式法：通过给出数列的首项（或前几项），以及相邻项之间的关系（递推关系）来表示数列（如）； （4）图像法：在平面直角坐标系中，以为坐标的点构成的图形（是一群孤立的点，而非连续曲线，区别于函数图像）. 3.数列的分类 （1）按项数多少分： 有穷数列：项数有限的数列（如，共4项）； 无穷数列：项数无限的数列（如）. （2）按项的增减性分（单调性）： 递增数列：对任意，都有； 递减数列：对任意，都有； 常数列：对任意，都有（如）； 摆动数列：既不是递增也不是递减的数列（如）. （3）按项的有界性分： 有界数列：存在正数，对任意，都有； 无界数列：不存在这样的正数（如）. 4.数列的前项和与通项的关系 设数列的前项和为（即），则与的关系为： 核心提醒：利用此关系求通项时，必须验证时的表达式是否满足时的通项公式，若满足则合并为一个式子，若不满足则分段表示. 二、概念比较（易混概念辨析） 1.数列与函数的区别与联系 维度 数列 函数 定义域 正整数集（或其有限子集），离散型 可是实数集（或其子集），可连续可离散 图像 孤立的点 连续曲线（或折线、孤立点） 对应关系 项数→第项，有序性强 自变量→函数值，有序性可弱 联系 数列是特殊的函数，其定义域为离散的正整数集，可利用函数的性质（单调性、最值）研究数列 2.通项公式与递推公式的区别与联系 维度 通项公式 递推公式 核心特征 直接给出与的关系，可直接求任意项 给出首项（或前几项）+相邻项关系，需递推计算后续项 优点 求任意项便捷，易分析数列整体性质 形式简洁，部分数列无通项公式但有递推公式（如斐波那契数列） 缺点 并非所有数列都有通项公式 求第项需先求前项，计算繁琐 联系 可通过递推公式推导通项公式，通项公式也可验证递推关系的正确性 3.项与项数的区别 项：数列中的具体数值（如数列中，“4”是第2项，是具体的数）； 项数：表示项在数列中的位置的正整数（如上述数列中，“4”对应的项数是2，是位置标识）； 关键提醒：项数一定是正整数，而项可以是任意实数（正数、负数、0）. 4.有穷数列与无穷数列的区别 有穷数列：项数有限，存在最后一项（末项）； 无穷数列：项数无限，不存在最后一项； 易错点：判断时需看“项数是否有限”，而非“项是否有界”（如是有界但无穷的数列）. 三、易错辨析（高频错误+规避方法） 1.混淆“项”与“项数” 错误示例：已知数列中，，误认为“3是项，5是项数”；或求“第5项”时，错代计算. 规避方法：牢记“项数是位置（正整数），项是位置对应的数值”，记准符号规则——中“是项数，是第项”. 2.认为“所有数列都有通项公式” 错误示例：试图为所有数列写出通项公式，如“1,3,2,5,4,7,6,...”（无固定规律的摆动数列），不存在统一的通项公式. 规避方法：明确“通项公式是数列的‘显性表示’，但并非所有数列都能写出通项公式”，存在大量只有递推关系或列表表示的数列. 3.利用求时忽略验证的情况 错误示例：已知，直接得出，未验证（实际，不满足，正确通项应为分段形式）. 规避方法：严格遵循“分段求解”规则——先求时的，再求时的，最后验证是否符合的表达式，再决定是否合并. 4.数列单调性判断时忽略“任意”的条件 错误示例：已知数列，因就判断为递增数列，忽略了的情况. 规避方法：单调性的定义是“对任意正整数，都有（递增）或（递减）”，需满足所有相邻项的关系，不能仅凭前几项判断. 5.误将数列图像当作连续曲线 错误示例：将的图像画成直线（连续曲线），忽略数列定义域是正整数集，图像应为孤立点. 规避方法：牢记“数列是特殊的离散函数”，其图像是平面直角坐标系中一群孤立的点，横坐标为正整数，纵坐标为对应项的值. 四、重点记忆+常考结论 1.核心基础记忆 数列的本质：定义域为（或其有限子集）的离散函数，核心是“有序性”； 通项公式与递推公式的核心区别：通项直接关联与，递推关联相邻项； 前项和与通项的关系：，验证是关键； 数列单调性的判定标准：对任意，（递增）、（递减）、（常数列）. 2.常考结论（高频考点） （1）通项公式的特征： 若数列的通项公式为（为常数），则数列是等差数列（一次函数型数列）； 若通项公式为（为常数，），则数列是等比数列相关的数列（指数函数型数列）； 若通项公式含，则数列是摆动数列（如）. （2）递推公式的常见类型及通项求解方向： 累加法：递推关系为（如），通项为； 累乘法：递推关系为（如），通项为； 常数型递推：（等差数列）、（等比数列）. （3）数列单调性与最值的关系： 递增数列的最小项是首项，无最大项（无穷递增数列）； 递减数列的最大项是首项，无最小项（无穷递减数列）； 有界摆动数列可能存在多个最值（如，最大项，最小项）. （4）前项和的常见特征： 若（为常数，无常数项），则数列是等差数列； 若（，常数项与含项的系数互为相反数），则数列是等比数列； 若数列含负项，求前项和的最值时，可先找正负项分界点（即或反之），再计算即为对应最值. （5）含绝对值的数列前项和求解思路： 先判断数列各项的正负性，找到正负项的分界项数； 当时，绝对值可直接去掉（项为正），； 当时，（为前项正项和，减去后续负项的绝对值等价于减去两倍超出部分的和）. （6）数列最值的求解方法： 单调性法：先判断数列单调性，递增数列最小项为，递减数列最大项为； 不等式组法：若存在第项为最大值，则满足，首项最大值只需满足；最小值同理，将“”改为“”. 考点频率与难度分析表 题型大类 考点编号 具体考点 出现频率 难度系数 核心考查点 高频易错点 核心概念辨析 1.1 数列定义与项、项数辨析 ★★★★☆ ★★☆☆☆ 数列有序性、项与项数的区别 混淆项与项数 1.2 数列与函数关系辨析 ★★★★☆ ★★☆☆☆ 数列的离散函数本质 误将数列图像当作连续曲线 1.3 数列分类判断 ★★★☆☆ ★★☆☆☆ 分类标准（项数、增减性、有界性） 混淆有界与有穷 数列表示方法 2.1 通项公式与观察法求通项 ★★★★★ ★★★☆☆ 通项公式定义、规律归纳方法 遗漏符号规律、分式规律分析不全 2.2 递推公式理解与应用 ★★★★☆ ★★★☆☆ 递推关系本质、逐项递推方法 忽略限制、遗漏首项 与的关系 3.1 已知求 ★★★★★ ★★★☆☆ 分段关系式应用、首项验证 跳过首项验证步骤 3.2 已知求 ★★★☆☆ ★★☆☆☆ 前项和定义 混淆与 数列简单性质应用 4.1 单调性判定 ★★★☆☆ ★★★☆☆ 单调性定义、作差判定方法 仅凭前几项判断单调性 4.2 有界性判定 ★★★☆☆ ★★★☆☆ 有界性定义、全称量词条件 忽略“任意” 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：数列的定义与项、项数辨析】 【解题策略】 核心定义：按确定顺序排列的一列数称为数列，记作（，即正整数集）；数列中的每一个数称为项，第项记为，其中为项数（表示项的位置序号）. 核心特征：数列的核心属性是“有序性”，改变项的排列顺序即为不同数列；项数必为正整数，项可为任意实数（正数、负数、0）. 解题策略：判断类问题紧扣“有序性”和“项与项数的本质区别”（项是数值，项数是位置），用定义法直接判定. 易错警示：混淆“项”与“项数”（如误将中的“5”当作项、“10”当作项数）；忽略数列的有序性. 【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）下列给出的命题中正确的有（   ）经典例题例题 A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，的值为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 【多选题】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ）小试牛刀1 A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【多选题】（25-26高二上·江苏南通·月考）下列有关数列的说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 （24-25高二·全国·课堂例题）已知下列数列：小试牛刀3 （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3），…； （4）1，0.2，，，…； （5）0，－1，0，…，，…． 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ．（填序号） 【题型2:数列与函数的关系辨析】 【解题策略】 核心结论：数列是特殊的离散函数，定义域为正整数集（或其有限子集），对应关系为（项数映射到第项），图像为平面直角坐标系中孤立的点. 与连续函数的区别：数列图像是孤立点，连续函数图像多为连续曲线；数列的定义域仅为正整数，连续函数定义域可为任意实数子集. 解题策略：借助函数的定义域、对应关系属性理解数列本质，区分数列与连续函数的核心差异在于“离散性”. 易错警示：将数列图像误视为连续曲线（如将的图像当作直线）；忽略通项公式中的定义域限制. 【多选题】（23-24高三上·河南周口·月考）设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ）小试牛刀1 A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【多选题】（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．数列为周期数列 C．数列为单调递增数列 D．数列为常数列 【多选题】（22-23高二下·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ）小试牛刀3 A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【题型3:数列的分类判断】 【解题策略】 核心分类标准： 按项数划分：有穷数列（项数有限，存在最后一项）、无穷数列（项数无限，无最后一项）； 按增减性划分：递增数列（对任意，均有）、递减数列（对任意，均有）、常数列（对任意，均有）、摆动数列（非上述三类的数列）； 按有界性划分：有界数列（存在正数，对任意，均有）、无界数列（不存在满足上述条件的正数）. 解题策略：按分类标准逐一验证判定，优先判断“项数”和“增减性”，再分析有界性；判定有界性时需紧扣“任意”的条件. 易错警示：将“有界数列”等同于“有穷数列”（如是有界但无穷数列）；仅凭前几项判断数列增减性. （24-25高二上·全国·课前预习）指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？经典例题例题 (1)2011，2015，2019，2023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，，，…，，…. （22-23高二上·重庆永川·月考）【多选题】下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）．小试牛刀1 A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… （23-24高二下·全国·课后作业）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？小试牛刀2 (1)2017，2018，2019，2020，2021； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)9，9，9，9，9，9. （23-24高二下·全国·课后作业）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？小试牛刀3 (1)，，，，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)，，，，，，…. 【题型4:通项公式（显性表示法）】 【解题策略】 核心定义：若数列的第项与项数之间的关系可通过一个式子表示，该式子即为通项公式，记为（）. 核心特征：可直接通过项数求出对应项；并非所有数列都存在通项公式；一个数列的通项公式可能不唯一. 观察法求通项的核心方法： 拆符号：摆动数列优先分析符号规律，常用或调节符号； 拆数值：将项的数值拆分为整数、分式等形式，分别分析与项数的关联（常见关联：自然数列、偶数列、奇数列、平方数列等）； 验规律：将归纳的规律代入前几项验证，确保一致性. 易错警示：遗漏摆动数列的符号规律；分式数列分子、分母规律分析不全面；误将“存在通项公式”当作所有数列的共性. （25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：小试牛刀1 (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． （24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型5:递推公式（隐性表示法）】 【解题策略】 核心定义：通过给出数列的首项（或前几项），以及相邻项（或隔项）之间的关系来表示数列的表达式，称为递推公式（如）. 核心特征：无法直接求任意项，需通过首项（或前几项）逐项递推计算后续项；所有数列都可通过递推公式表示（区别于通项公式）。 核心应用方法： 由递推公式求后续项：从首项开始，严格遵循递推关系，按项数递增顺序逐项代入计算； 由数列规律写递推公式：提炼相邻项的固定关系（如差为常数、比为常数等），补充首项（或前几项）及项数限制条件（如）. 易错警示：忽略递推公式中的项数限制（如用求首项）；写递推公式时遗漏首项（或前几项）的限定. （24-25高二上·江苏苏州·月考）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高二上·湖北孝感·月考）数列满足：，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，求数列的通项公式.小试牛刀2 （25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 小试牛刀3 【题型6:与的关系（核心必考）】 【解题策略】 1.3.1核心定义与公式 前项和定义：数列的前项和是数列前项的和，即；特别地，. 核心关系式（规范表述）： 2.3.2核心应用方法 {}已知求（黄金三步法）： 第一步：求首项：代入，得； 第二步：求时的：代入关系式，化简得出表达式； 第三步：验证合并：判断时的是否满足时的表达式，若满足则合并为一个式子，若不满足则分段表示. {}已知求：紧扣前项和的定义，将代入，合并同类项化简即可（本节仅涉及定义法求和）. 3.易错警示：跳过“验证”的步骤，导致通项公式错误；混淆与的概念（如误将直接等同于）. （25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，则 .经典例题例题 （25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，则 .小试牛刀1 （2025高三上·重庆永川·专题练习）设数列的首项是1，前项和，则 .小试牛刀2 （24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式 .小试牛刀3 【题型:数列简单性质应用+周期性（能力延伸）】 【解题策略】 1.4.1单调性判定 核心定义（严格表述）：对任意，若，则数列为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列. 核心判定方法： 定义法：计算，判断其符号是否对任意恒成立； 函数法：将视为函数在上的取值，借助函数单调性辅助判断（需注意数列的离散性）. 易错警示：仅凭前几项的大小关系判断数列单调性，忽略“任意”的核心条件. 2.4.2有界性判定 核心定义（严格表述）：若存在正数，使得对任意，都有，则称数列为有界数列；否则为无界数列. 核心判定方法： 有界性判定：寻找满足条件的正数，验证对所有项均成立； 无界性判定：证明不存在这样的正数（即对任意正数，存在某一项使得）. 易错警示：对“任意”理解不透彻，误将“部分项有界”当作“整个数列有界”（如误将判定为有界数列）. （25-26高二上·内蒙古通辽·月考）已知数列的首项为2，满足，则 经典例题例题 （25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ．小试牛刀1 （25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·山东·月考）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 4．（24-25高二下·江西上饶·期中）数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 6．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·甘肃定西·期末）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 三、填空题 8．（2025高三上·广东中山·专题练习）已知数列满足，则 ； 9．（25-26高三上·吉林长春·月考）记为数列的前项和，满足，且，则 ． 10．（25-26高二上·天津滨海新·月考）若数列的前项和是，则数列的通项公式是 . 11．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 四、解答题 12．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第22讲：数列的概念与通项公式】 总览 题型梳理 1.数列的基本定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，记作（其中，即正整数集）. 项：数列中的每一个数叫做数列的项，第项记为（下标为项数，对应正整数）； 首项：数列的第一个项（注意：项数从1开始，而非0，与函数定义域常从0开始区分）； 数列的本质：特殊的函数，定义域为正整数集（或其有限子集），值域为数列的各项组成的集合，对应关系为. 2.数列的表示方法 （1）列表法：将项数与对应项一一列出（如），直观但不适合无穷数列； （2）通项公式法：如果数列的第项与项数之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式，即； （3）递推公式法：通过给出数列的首项（或前几项），以及相邻项之间的关系（递推关系）来表示数列（如）； （4）图像法：在平面直角坐标系中，以为坐标的点构成的图形（是一群孤立的点，而非连续曲线，区别于函数图像）. 3.数列的分类 （1）按项数多少分： 有穷数列：项数有限的数列（如，共4项）； 无穷数列：项数无限的数列（如）. （2）按项的增减性分（单调性）： 递增数列：对任意，都有； 递减数列：对任意，都有； 常数列：对任意，都有（如）； 摆动数列：既不是递增也不是递减的数列（如）. （3）按项的有界性分： 有界数列：存在正数，对任意，都有； 无界数列：不存在这样的正数（如）. 4.数列的前项和与通项的关系 设数列的前项和为（即），则与的关系为： 核心提醒：利用此关系求通项时，必须验证时的表达式是否满足时的通项公式，若满足则合并为一个式子，若不满足则分段表示. 二、概念比较（易混概念辨析） 1.数列与函数的区别与联系 维度 数列 函数 定义域 正整数集（或其有限子集），离散型 可是实数集（或其子集），可连续可离散 图像 孤立的点 连续曲线（或折线、孤立点） 对应关系 项数→第项，有序性强 自变量→函数值，有序性可弱 联系 数列是特殊的函数，其定义域为离散的正整数集，可利用函数的性质（单调性、最值）研究数列 2.通项公式与递推公式的区别与联系 维度 通项公式 递推公式 核心特征 直接给出与的关系，可直接求任意项 给出首项（或前几项）+相邻项关系，需递推计算后续项 优点 求任意项便捷，易分析数列整体性质 形式简洁，部分数列无通项公式但有递推公式（如斐波那契数列） 缺点 并非所有数列都有通项公式 求第项需先求前项，计算繁琐 联系 可通过递推公式推导通项公式，通项公式也可验证递推关系的正确性 3.项与项数的区别 项：数列中的具体数值（如数列中，“4”是第2项，是具体的数）； 项数：表示项在数列中的位置的正整数（如上述数列中，“4”对应的项数是2，是位置标识）； 关键提醒：项数一定是正整数，而项可以是任意实数（正数、负数、0）. 4.有穷数列与无穷数列的区别 有穷数列：项数有限，存在最后一项（末项）； 无穷数列：项数无限，不存在最后一项； 易错点：判断时需看“项数是否有限”，而非“项是否有界”（如是有界但无穷的数列）. 三、易错辨析（高频错误+规避方法） 1.混淆“项”与“项数” 错误示例：已知数列中，，误认为“3是项，5是项数”；或求“第5项”时，错代计算. 规避方法：牢记“项数是位置（正整数），项是位置对应的数值”，记准符号规则——中“是项数，是第项”. 2.认为“所有数列都有通项公式” 错误示例：试图为所有数列写出通项公式，如“1,3,2,5,4,7,6,...”（无固定规律的摆动数列），不存在统一的通项公式. 规避方法：明确“通项公式是数列的‘显性表示’，但并非所有数列都能写出通项公式”，存在大量只有递推关系或列表表示的数列. 3.利用求时忽略验证的情况 错误示例：已知，直接得出，未验证（实际，不满足，正确通项应为分段形式）. 规避方法：严格遵循“分段求解”规则——先求时的，再求时的，最后验证是否符合的表达式，再决定是否合并. 4.数列单调性判断时忽略“任意”的条件 错误示例：已知数列，因就判断为递增数列，忽略了的情况. 规避方法：单调性的定义是“对任意正整数，都有（递增）或（递减）”，需满足所有相邻项的关系，不能仅凭前几项判断. 5.误将数列图像当作连续曲线 错误示例：将的图像画成直线（连续曲线），忽略数列定义域是正整数集，图像应为孤立点. 规避方法：牢记“数列是特殊的离散函数”，其图像是平面直角坐标系中一群孤立的点，横坐标为正整数，纵坐标为对应项的值. 四、重点记忆+常考结论 1.核心基础记忆 数列的本质：定义域为（或其有限子集）的离散函数，核心是“有序性”； 通项公式与递推公式的核心区别：通项直接关联与，递推关联相邻项； 前项和与通项的关系：，验证是关键； 数列单调性的判定标准：对任意，（递增）、（递减）、（常数列）. 2.常考结论（高频考点） （1）通项公式的特征： 若数列的通项公式为（为常数），则数列是等差数列（一次函数型数列）； 若通项公式为（为常数，），则数列是等比数列相关的数列（指数函数型数列）； 若通项公式含，则数列是摆动数列（如）. （2）递推公式的常见类型及通项求解方向： 累加法：递推关系为（如），通项为； 累乘法：递推关系为（如），通项为； 常数型递推：（等差数列）、（等比数列）. （3）数列单调性与最值的关系： 递增数列的最小项是首项，无最大项（无穷递增数列）； 递减数列的最大项是首项，无最小项（无穷递减数列）； 有界摆动数列可能存在多个最值（如，最大项，最小项）. （4）前项和的常见特征： 若（为常数，无常数项），则数列是等差数列； 若（，常数项与含项的系数互为相反数），则数列是等比数列； 若数列含负项，求前项和的最值时，可先找正负项分界点（即或反之），再计算即为对应最值. （5）含绝对值的数列前项和求解思路： 先判断数列各项的正负性，找到正负项的分界项数； 当时，绝对值可直接去掉（项为正），； 当时，（为前项正项和，减去后续负项的绝对值等价于减去两倍超出部分的和）. （6）数列最值的求解方法： 单调性法：先判断数列单调性，递增数列最小项为，递减数列最大项为； 不等式组法：若存在第项为最大值，则满足，首项最大值只需满足；最小值同理，将“”改为“”. 考点频率与难度分析表 题型大类 考点编号 具体考点 出现频率 难度系数 核心考查点 高频易错点 核心概念辨析 1.1 数列定义与项、项数辨析 ★★★★☆ ★★☆☆☆ 数列有序性、项与项数的区别 混淆项与项数 1.2 数列与函数关系辨析 ★★★★☆ ★★☆☆☆ 数列的离散函数本质 误将数列图像当作连续曲线 1.3 数列分类判断 ★★★☆☆ ★★☆☆☆ 分类标准（项数、增减性、有界性） 混淆有界与有穷 数列表示方法 2.1 通项公式与观察法求通项 ★★★★★ ★★★☆☆ 通项公式定义、规律归纳方法 遗漏符号规律、分式规律分析不全 2.2 递推公式理解与应用 ★★★★☆ ★★★☆☆ 递推关系本质、逐项递推方法 忽略限制、遗漏首项 与的关系 3.1 已知求 ★★★★★ ★★★☆☆ 分段关系式应用、首项验证 跳过首项验证步骤 3.2 已知求 ★★★☆☆ ★★☆☆☆ 前项和定义 混淆与 数列简单性质应用 4.1 单调性判定 ★★★☆☆ ★★★☆☆ 单调性定义、作差判定方法 仅凭前几项判断单调性 4.2 有界性判定 ★★★☆☆ ★★★☆☆ 有界性定义、全称量词条件 忽略“任意” 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：数列的定义与项、项数辨析】 【解题策略】 核心定义：按确定顺序排列的一列数称为数列，记作（，即正整数集）；数列中的每一个数称为项，第项记为，其中为项数（表示项的位置序号）. 核心特征：数列的核心属性是“有序性”，改变项的排列顺序即为不同数列；项数必为正整数，项可为任意实数（正数、负数、0）. 解题策略：判断类问题紧扣“有序性”和“项与项数的本质区别”（项是数值，项数是位置），用定义法直接判定. 易错警示：混淆“项”与“项数”（如误将中的“5”当作项、“10”当作项数）；忽略数列的有序性. 【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）下列给出的命题中正确的有（   ）经典例题例题 A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，的值为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 【答案】BCD 【分析】由数列的定义判断A；由求参数判断B，通过观察及代入验证判断C、D. 【详解】A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错； B：令，则且，可得，即对应第11项，对； C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对； D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对. 故选：BCD 【多选题】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ）小试牛刀1 A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【答案】ABD 【分析】根据数列的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误. 故选：ABD. 【多选题】（25-26高二上·江苏南通·月考）下列有关数列的说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC （24-25高二·全国·课堂例题）已知下列数列：小试牛刀3 （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3），…； （4）1，0.2，，，…； （5）0，－1，0，…，，…． 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ．（填序号） 【答案】 （1） （2）（3）（4）（5） （3） （4） （1） （2）（5） 【分析】利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义逐个分析判断即可. 【详解】（1）是常数列且是有穷数列； （2）是无穷摆动数列； （3）是无穷递增数列（因为）； （4）是无穷递减数列； （5）是无穷摆动数列． 故答案为：（1）；（2）（3）（4）（5）；（3）；（4）；（1）；（2）（5）. 【题型2:数列与函数的关系辨析】 【解题策略】 核心结论：数列是特殊的离散函数，定义域为正整数集（或其有限子集），对应关系为（项数映射到第项），图像为平面直角坐标系中孤立的点. 与连续函数的区别：数列图像是孤立点，连续函数图像多为连续曲线；数列的定义域仅为正整数，连续函数定义域可为任意实数子集. 解题策略：借助函数的定义域、对应关系属性理解数列本质，区分数列与连续函数的核心差异在于“离散性”. 易错警示：将数列图像误视为连续曲线（如将的图像当作直线）；忽略通项公式中的定义域限制. 【多选题】（23-24高三上·河南周口·月考）设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各个选项的条件求得，的通项公式，依照题意分析即可. 【详解】对于A，若， 则 ， 所以，此时，符合题意，故A正确； 对于B，若， 则 ， 所以， 此时，不可能有相等的项，故B错误； 对于C，若， 则， ， 所以， 此时，符合题意，故C正确； 对于D，若， 则， ， 所以，此时，不可能有相等的项，故D错误， 故选：AC. （24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ）小试牛刀1 A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 【多选题】（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．数列为周期数列 C．数列为单调递增数列 D．数列为常数列 【答案】AC 【分析】根据给定函数式求出，求出的范围判断A；利用周期数列、递增数列、常数列的意义判断BCD. 【详解】依题意，，， 对于A，，则，A正确； 对于BCD，显然，则，即恒成立， 因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误. 故选：AC 【多选题】（22-23高二下·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ）小试牛刀3 A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【分析】根据数列的知识确定正确答案. 【详解】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点. 故选：B 【题型3:数列的分类判断】 【解题策略】 核心分类标准： 按项数划分：有穷数列（项数有限，存在最后一项）、无穷数列（项数无限，无最后一项）； 按增减性划分：递增数列（对任意，均有）、递减数列（对任意，均有）、常数列（对任意，均有）、摆动数列（非上述三类的数列）； 按有界性划分：有界数列（存在正数，对任意，均有）、无界数列（不存在满足上述条件的正数）. 解题策略：按分类标准逐一验证判定，优先判断“项数”和“增减性”，再分析有界性；判定有界性时需紧扣“任意”的条件. 易错警示：将“有界数列”等同于“有穷数列”（如是有界但无穷数列）；仅凭前几项判断数列增减性. （24-25高二上·全国·课前预习）指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？经典例题例题 (1)2011，2015，2019，2023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，，，…，，…. 【答案】(1)是有穷数列 (2)是无穷数列 (3)是无穷数列 (4)是无穷数列 【分析】根据项数的个数即可逐一求解. 【详解】（1）由于该数列只有4项，所以是有穷数列 （2）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 （3）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 （4）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 （22-23高二上·重庆永川·月考）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）．小试牛刀1 A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 【答案】BD 【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解. 【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误； 对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误； 对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确. 故选：BD. （23-24高二下·全国·课后作业）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？小试牛刀2 (1)2017，2018，2019，2020，2021； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)9，9，9，9，9，9. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】根据有穷数列，递增数列，递减数列，常数列的概念辨析即可. 【详解】（1）因数列（1）只有5项，且依次增大，故（1）为有穷数列，且为递增数列. （2）因数列（2）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，也增大，故为递增数列. （3）因数列（3）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，减小，故为递减数列. （4）因数列（4）有无限项，所以不是有穷数列，因数列正负交替，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列. （5）因数列（5）有无限项，所以不是有穷数列，因数列为1，0，-1，0循环，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列. （6）因数列（6）只有5项，故（1）为有穷数列，且各项均为9，故为常数数列. （23-24高二下·全国·课后作业）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？小试牛刀3 (1)，，，，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)，，，，，，…. 【答案】(1)无穷数列，递减数列 (2)无穷数列，递增数列 (3)无穷数列，常数列 (4)无穷数列，递减数列 (5)有穷数列，递减数列 (6)无穷数列 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列的定义逐个分析判断即可. 【详解】（1）数列有无穷多个项，从第2项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为无穷数列，递减数列； （2）数列有无穷多个项，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，故该数列为无穷数列，递增数列； （3）数列有无穷多个项，项不变，故该数列为无穷数列，常数列； （4）数列有无穷多个项，从第2项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为无穷数列，递减数列； （5）该数列共10项，从第2项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为有穷数列，递减数列； （6）数列有无穷多个项，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，故该数列为无穷数列，摆动数列. 13．（24-25高二下·贵州遵义·月考）数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到． 【详解】根据题意分子为，所以分子通项为， 分母为，所以分母通项为， 又数列除第一项外，奇数项为正，偶数项为负，符号满足， 综上，． 故选：D． 【题型4:通项公式（显性表示法）】 【解题策略】 核心定义：若数列的第项与项数之间的关系可通过一个式子表示，该式子即为通项公式，记为（）. 核心特征：可直接通过项数求出对应项；并非所有数列都存在通项公式；一个数列的通项公式可能不唯一. 观察法求通项的核心方法： 拆符号：摆动数列优先分析符号规律，常用或调节符号； 拆数值：将项的数值拆分为整数、分式等形式，分别分析与项数的关联（常见关联：自然数列、偶数列、奇数列、平方数列等）； 验规律：将归纳的规律代入前几项验证，确保一致性. 易错警示：遗漏摆动数列的符号规律；分式数列分子、分母规律分析不全面；误将“存在通项公式”当作所有数列的共性. （25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. （2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：小试牛刀1 (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【详解】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． （24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法得到数列的通项公式即可. 【详解】对于A，，与题意不符，故A错误， 对于B，，， ，，，故B正确， 对于C，，与题意不符，故C错误， 对于D，，与题意不符，故D错误. 故选：B 【题型5:递推公式（隐性表示法）】 【解题策略】 核心定义：通过给出数列的首项（或前几项），以及相邻项（或隔项）之间的关系来表示数列的表达式，称为递推公式（如）. 核心特征：无法直接求任意项，需通过首项（或前几项）逐项递推计算后续项；所有数列都可通过递推公式表示（区别于通项公式）。 核心应用方法： 由递推公式求后续项：从首项开始，严格遵循递推关系，按项数递增顺序逐项代入计算； 由数列规律写递推公式：提炼相邻项的固定关系（如差为常数、比为常数等），补充首项（或前几项）及项数限制条件（如）. 易错警示：忽略递推公式中的项数限制（如用求首项）；写递推公式时遗漏首项（或前几项）的限定. （24-25高二上·江苏苏州·月考）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推式特征，得到为常数列可得答案. 【详解】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A （24-25高二上·湖北孝感·月考）数列满足：，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. （2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，求数列的通项公式.小试牛刀2 【答案】 【分析】将已知条件中的递推公式进行变形，再利用累加法即可求解. 【详解】，， 当时， ， 当时，，与相符， 数列的通项公式为. （25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 【题型6:与的关系（核心必考）】 【解题策略】 1.3.1核心定义与公式 前项和定义：数列的前项和是数列前项的和，即；特别地，. 核心关系式（规范表述）： 2.3.2核心应用方法 {}已知求（黄金三步法）： 第一步：求首项：代入，得； 第二步：求时的：代入关系式，化简得出表达式； 第三步：验证合并：判断时的是否满足时的表达式，若满足则合并为一个式子，若不满足则分段表示. {}已知求：紧扣前项和的定义，将代入，合并同类项化简即可（本节仅涉及定义法求和）. 3.易错警示：跳过“验证”的步骤，导致通项公式错误；混淆与的概念（如误将直接等同于）. （25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，则 .经典例题例题 【答案】 【分析】取得到，时，根据计算得到答案. 【详解】当时，； 当时，， 所以， 代入得； . 故答案为： （25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】分和两种情况，根据题意结合前n项和与通项之间的关系运算求解. 【详解】因为， 若，则； 若，则， 两式相减可得； 且不符合，所以，. 故答案为：. （2025高三上·重庆永川·专题练习）设数列的首项是1，前项和，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】取得到，时，根据计算，然后检验即可求解. 【详解】当时，； 当时，， 所以， 代入得； 所以 . 故答案为： （24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式 .小试牛刀3 【答案】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 【题型:数列简单性质应用+周期性（能力延伸）】 【解题策略】 1.4.1单调性判定 核心定义（严格表述）：对任意，若，则数列为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列. 核心判定方法： 定义法：计算，判断其符号是否对任意恒成立； 函数法：将视为函数在上的取值，借助函数单调性辅助判断（需注意数列的离散性）. 易错警示：仅凭前几项的大小关系判断数列单调性，忽略“任意”的核心条件. 2.4.2有界性判定 核心定义（严格表述）：若存在正数，使得对任意，都有，则称数列为有界数列；否则为无界数列. 核心判定方法： 有界性判定：寻找满足条件的正数，验证对所有项均成立； 无界性判定：证明不存在这样的正数（即对任意正数，存在某一项使得）. 易错警示：对“任意”理解不透彻，误将“部分项有界”当作“整个数列有界”（如误将判定为有界数列）. （25-26高二上·内蒙古通辽·月考）已知数列的首项为2，满足，则 经典例题例题 【答案】/ 【分析】根据数列的周期性求得正确答案. 【详解】， ，， ，， 以此类推，可得数列是周期为的周期数列， 所以. 故答案为： （25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. （25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. （25-26高三上·山东·月考）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由数列单调性得恒成立，作差化简得到对任意恒成立，接着利用函数性质求出即可得解. 【详解】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【分析】根据题设，令求参数即可得. 【详解】由题设，令，可得， 所以是这个数列的第23项. 故选：C 4．（24-25高二下·江西上饶·期中）数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数列的递推关系可求. 【详解】因为，故为奇数，故， 而为偶数，，因为偶数，故， 故选：B. 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 6．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则对恒成立， 即， 整理可得，对恒成立， 因函数在时单调递增，则得. 故选：B 二、多选题 7．（24-25高二下·甘肃定西·期末）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误； 对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误； 对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题 8．（2025高三上·广东中山·专题练习）已知数列满足，则 ； 【答案】 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】， ， ．显然满足上式， ． 故答案为：. 9．（25-26高三上·吉林长春·月考）记为数列的前项和，满足，且，则 ． 【答案】38 【分析】利用与的关系，代入解方程求解前4项，然后利用与的关系得到，进而由累乘法即可求得. 【详解】因为，且， 所以当时，， 则，结合，即①； 当时，②； 当时，③； 将③代入②可得，结合代入①可得. 即，，，， 因为，所以当时，， 则，即， 可得． 故答案为：38 10．（25-26高二上·天津滨海新·月考）若数列的前项和是，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】利用与之间关系直接求解即可. 【详解】当时，； 当时，，不满足； . 故答案为：. 11．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 四、解答题 12．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【详解】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $