以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的三角形面积问题 以二次函数为背景的四边形面积问题 考点一 以二次函数为背景的三角形面积问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，则 ． 例2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值． 例3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 例4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点（M不与B，C重合），连接，． 已知在点从点运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·山东威海·月考）抛物线过点，点，顶点为，与轴相交于点．点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为（）． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图，连接，，，若的面积为3，求的值． 变式4．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图，抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点动点M（不与点B、C重合）： ①若点M是抛物线的顶点，判断是否为直角三角形，并说明理由； ②求出面积的最大值及此时的点的坐标． 考点二 以二次函数为背景的四边形面积问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标________． 例2．（25-26九年级上·湖北随州·月考）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 变式1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 变式2．（25-26九年级上·山东威海·期中）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时： ①求证：； ②抛物线上存在点Q，且，求点Q的坐标． 变式3．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)若点，求m的值； (2)如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点M为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为S最大值及此时点M的坐标； (3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当时m的取值范围． 变式4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点． (1)若抛物线的对称轴为，且点的坐标为，求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点在上． ①求的最小值； ②若，点在抛物线上，点P与Q点关于原点对称．连接，求以为边，为对角线的平行四边形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的三角形面积问题 以二次函数为背景的四边形面积问题 考点一 以二次函数为背景的三角形面积问题 例1.(25-26九年级上·黑龙江大庆期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）， 点A的坐标为-1,0)，与y轴交于点C(0,3),作直线BC.动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线 于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式： (2)当点P在线段OB上运动时，连接MB,求△MBC面积的最大值； (3)当m-1≤x≤m+1时，抛物线的最大值为3，则m=-, 【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3,直线BC解析式为y=-x+3 o号 (3)m的值为3或-1 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为-1,0)，与 y轴交于点C(0,3), 将点A,点C的坐标分别代入得： -1-b+c=0 c=3 [b=2 解得： c=3' 抛物线解析式为y=-x2+2x+3, 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 当y=0时，得：-x2+2x+3=0, 解得：x1=-1,x2=3, B点坐标为B(3,0), 设直线BC解析式为y=x+s,将点B、点C的坐标分别代入得： 3k+s=0 5=3 解得： k=-1 5=3’ 直线BC解析式为y=-x+3. (2)解：~PM⊥x轴，点P的横坐标为m, ∴Mm,-m2+2m+3)、N(m,-m+3), P在线段OB上运动， M点在N点上方， w=+2如+3-(9-4测=g 8 道号时、△M8C的面织有最大雀，最大值为。 (3)解：抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,其对称轴为直线x=1, ①当m+1<1,即m<0时，在m-1≤x≤m+1上，y随x的增大而增大， 当x=m+1时，y有最大值3， -(m+1)+2(m+1)+3=3, 解得m=-1或1（不合题意，舍去）： ②当m-1≥1，即m≥2时，在m-1≤x≤m+1上，y随x的增大而减小， ∴当x=m-1时，y有最大值3， -m-1)+2(m-1+3=3, 解得m=1(不合题意，舍去)或m=3; ③当m-1<1<m+1,即0<m<2时，当x=1时，y有最大值4≠3，这种情况不存在； 2 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 综上所述，m的值为3或-1. 例2.(2526九年级上江苏宿迁月考)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线y=-x+bx+c(b, c是常数)交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上.设抛物线与x轴的另一个交点为点C. VA 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)如图1，直线AB上方抛物线上是否存在点M,使得△MAB的面积等于3，若存在，求出点M的坐标，若不存在， 请说明理由. (③)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D,记△ADP, △4D0的面积分别为S,S,求的最大值， S2 【答案】0y=-x44 3号 【详解】(1)解：直线y=x+4与坐标轴交于A、B两点， 令y=0时，则有x=-4,令x=0时，则有y=4, ∴点A、B的坐标分别为：（-4,0)、(0,4)， ×16-4b+c=0 由题意得： 2 c=4 b=-1 解得： c=4’ 则地物线的表达式为：y=分-44： (2)解：存在，理由如下： 由1)可知：抛物线的表达式为：y=号式-+4，点4-4.0，点80,4， 过点M作MG∥y轴交AB于点G,如图所示： 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 M A 图1 设点mm-m+4,则点Gm,m+4, 1 则GM=- m-m+4m+利=-2m 则△w8的面积=-小wG-4r-2n ~△MAB的面积等于3， ox4-n-2m)-3. 1 解得：x1=-3,x2=-1, 即点或-) (3)解：过点P作PH∥y轴交AB于点H,如图所示： 图2 设点P-1+4,则点1+4. 2 则PH=-2-1+4-+4=-2-2, 2 PH∥y轴， APDH∽△ODB, ·PDPH 2-21 =、2 OD OB 4 82 S=PD=-1_11 0D821=8+2+ 1 -t=- ”-4<1<0,且-<0， 8 4 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 当1=-2时， 景有最大值，最大值为好 例3.(25-26九年级上广东广州期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）， 点A的坐标为-1,0)，与y轴交于点C(0,3),作直线BC,动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线 于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m. M (I)求抛物线的解析式和直线BC的解析式； (②)当点P在线段OB上运动时，求△MBC面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (③)当点P在线段OB上运动时，若aCMN是等腰三角形时，直接写出m的值为 【答案】(1)y=-x2+2x+3,y=-x+3 回子，的坐标为信到 315 (3)1或2 【详解】(1)解：将点A(-l,0)、C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c, -(-1)2+b(-1+c=0 得 C=3 b=2 解得 (c=3' 抛物线解析式为y=-x2+2x+3, 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1,x2=3, 故点B(3,0, 设直线BC解析式为y=+3, 将B(3,0)代入得3k+3=0, 解得k=-1, 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 直线BC解析式为y=-x+3; (2)解：由题意，点P(m0), 则M,-m2+2m+3,N(m,-m+3),其中0<m<3, MN=（-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3n, 配方得Aw=-m多+子， 当时，极大值为}， 3 S C=S.MNC+S.MN8= LMNxOB-3MN, :当MN最大时，SaMc最大，最大值为 8 将m=代入-m3+2m+3,得5， 3 4 故M的坐标为24) 315) (3)解：由(2)知MN=-m2+3m,点C(0,3),点M(m,-m2+2m+3,点N(m,-m+3), CM=Vm2+(-m2+2m+3-3)2=Vm2+(-m2+2m)2, CN=Vm2+(-m+3-3)2=Vm2+m2=√2m, 当MN=CM时，-m2+3m=Vm2+(-m2+2m)2, 解得m=2(m=0舍)： 当MN=CN时，-m2+3m=√2m, 解得m=3-√2（不合题意舍）， 当CM=CN,Vm2+(←m2+2m2=V2m, 解得m=l(m=3舍去)， 综上m=1或2. 例4.(25-26九年级上·黑龙江绥化月考)己知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的 图象与x轴交于点A(3,0)和点B(-1,0),与y轴交于点C. 6 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 备用图 (1)求b的值； (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接PC,PA,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在第2问的条件下，N为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的N点，使△APN为直角三角形，若存在， 请直接写出符合条件的点N的坐标， 【答案】(1)b=-2 ②△4CP面积的最大值为号此时aP坐标为行，号) 315 ⑧存在，点N的坐标为-15而我L-5, 或对)( 【详解】(1)解：将A(3,0)、B-1,0)入y=ax2+bx-3得： [9a+3b-3=0 a-b-3=0 a=1 解得： b=-2' ∴抛物线解析式为y=x2-2x-3 (2)解：将x=0代入y=x2-2x-3得：y=-3, .C(0,-3, 设直线AC的表达式为：y=kx+n, 将点A,C的坐标代入上式得： 3k+n=0 n=-3’ [k=1 解得： n=-3 即直线AC的表达式为：y=x-3, 过点P作PH∥y轴交AC于点H, 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 B O 设点Px,x22x3),则H(x,x3), 则△40P面限=m+5mmx40-分--(-2r-训-+号=引+ 故△ACP面积有最大值， 当x弓时，△4CP面积的最大值为号，比时点P坐标为})】 315 (3)解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为1=2又 -2 =1, 设点N1,m), 由勾股定理得：AN2=(3-1)2+m2=m2+4, 同避可行：4P3-)w-旷+ 由△APN为直角三角形，分三种情况讨论： 当AP2=AW2+PN时， 别3=a+43八+@+ 解得：m=-15+16 8 ，m,=-l5-6 事-55 当AN2=AP2+PN2时， 则m+43-a 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 精：=引 即点-8： 当PN2=AP2+AN2时， 则}+m+++m+4 解得：m= 5 即a引 综上，点N的坐标为： 3 变式1.(25-26九年级上四川泸州期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B(5,0),与y轴交 于点C(0,-3),连接BC,点E是对称轴上的一个动点.点P在抛物线上. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)当点P在第一象限内，连接PB,PC,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及最大面积 (3)在抛物线上是否存在点P,使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由. 政大面积宫 (3)存在，(0，-3)， 得)6-，售》 【详解】(1)解：抛物线y=- 3x2+bx+c经过B(5,0),C0,-3, -15+5b+c=0 18 b= c=-3 解得5， (c=-3 越抛物线的解祈式为y三+月 x-3 5 以二次函数为背景的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 (2)解：y=-3x+18 x-3, 5 5 18 5 抛物线对称轴为直线x=- =3, 3】 2× ~点A与B(5,0)关于直线x=3对称， ÷A1,0), 设直线BC的解析式为y=ax+b, 3 0=5a+b a= 把8(5,0)，C0,-3到代入可得-3=6，解得： 5， b=-3 3 直线BC的解析式为y=亏x-3, 设点P坐标为+货-加<5， 如图，过点P作PD上x轴交BC于点D,则点D的坐标为-3， B D 图acc+5PDoB+3n+5 2 2, 对于=次函致9=+与，虎中a= 2 :-?<0,函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， 15 b 2 5 对称轴为x=一 2a 3) 2x2) 指代入清：=图+肾-号 5 10