期末复习易错题（32大题型60题）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册+下册高频考点题型归纳与满分必练

期末复习易错题（32大题型60题） 范围：九年级全册 题型一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2 题型二．一元二次方程的解（共2小题） 2．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 3．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 题型三．解一元二次方程-配方法（共1小题） 4．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　 　 ． 题型四．根的判别式（共1小题） 5．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　 ． 题型五．根与系数的关系（共1小题） 6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若36，则t的值是（　　） A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7 题型六．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 题型七．一元二次方程的应用（共1小题） 8．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米． （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示） （2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 题型八．反比例函数系数k的几何意义（共3小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，OA与反比例函数y的图象交于点D，且OD＝2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD＝10，则k的值为（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣15 D．15 10．函数y和y在第一象限内的图象如图，点P是y的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y的图象于点B．给出如下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②PA与PB始终相等； ③四边形PAOB的面积大小不会发生变化； ④CAAP． 其中所有正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝　 　 ． 题型九．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题） 12．如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 13．如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是　 　 ． 题型十．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 14．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 15．如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B． （1）k＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）连接并延长AO，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标． 题型十一．二次函数的图象（共2小题） 16．函数y与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 17．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A．B．C．D． 题型十二．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　 ．（填写正确结论的序号） 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k（k为常数）． （1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值； （2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 20．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数． （1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值． （3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围． 题型十三．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 21．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 22．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　 ． 题型十四．二次函数的最值（共2小题） 23．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 24．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 题型十五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 题型十六．抛物线与x轴的交点（共1小题） 26．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．或﹣12 B．或2 C．﹣12或2 D．或﹣12 题型十七．二次函数的应用（共4小题） 27．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】 28．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分． （1）抛物线C1的最高点坐标为 　 　 ； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　 　 ． 29．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 30．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1） 求抛物线的解析式； （2） 试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 题型十八．二次函数综合题（共9小题） 31．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A． ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 32．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 33．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 35．如图，抛物线yx2x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　 　 ，　 　 ，　 　 ． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 36．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 37．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E． ①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值． 38．抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO时，求点P的坐标； （3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值． 39．【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1． 定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝　 　 ，n＝　 　 ． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 题型十九．菱形的性质（共1小题） 40．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 题型二十．矩形的性质（共4小题） 41．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 42．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　 　 ． 43．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 44．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 题型二十一．矩形的判定与性质（共1小题） 45．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为 　 　 ． 题型二十二．正方形的性质（共4小题） 46．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF，③AF，④S△AEF中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 47．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，PB，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 48．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．1 49．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　 ． 题型二十三．点与圆的位置关系（共1小题） 50．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． 1 B． C．21 D．2 题型二十四．切线的判定与性质（共1小题） 51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，sinB，求ED的长． 题型二十五．比例的性质（共1小题） 52．若，则的值为（　　） A． B．1 C．1.5 D．3 二十六．相似三角形的判定（共2小题） 53．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 54．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 题型二十七．相似三角形的判定与性质（共1小题） 55．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝3，将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE，当点F落在边BC上，且BF＝4CF时，DE•AF的值为 　 　 ． 题型二十八．锐角三角函数的定义（共1小题） 56．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 题型二十九．解直角三角形的应用（共1小题） 57．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 题型三十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 58．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6） 题型三十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 59．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． 题型三十二．简单组合体的三视图（共1小题） 60．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习易错题（32大题型60题） 范围：九年级全册 题型一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2 【答案】B 【解答】解：由一元二次方程的定义可得，解得：m＝2．故选B． 题型二．一元二次方程的解（共2小题） 2．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【答案】D 【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根， ∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0， ∴α2＝2α+4 ∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6 ＝α•（2α+4）+8β+6 ＝2α2+4α+8β+6 ＝2（2α+4）+4α+8β+6 ＝8α+8β+14 ＝8（α+β）+14＝30， 故选：D． 3．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022， 故选：B． 题型三．解一元二次方程-配方法（共1小题） 4．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　14　 ． 【答案】14 【解答】解：x2﹣4x﹣8＝0， 移项，得x2﹣4x＝8， 配方，得x2﹣4x+4＝8+4， ∴（x﹣2）2＝12， ∴m＝2，n＝12， ∴m+n＝2+12＝14， 故答案为：14． 题型四．根的判别式（共1小题） 5．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a且a≠0　 ． 【答案】a且a≠0 【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根 得Δ＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0， 解得a 则a且a≠0 故答案为a且a≠0 题型五．根与系数的关系（共1小题） 6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若36，则t的值是（　　） A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7 【答案】C 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2（t+1）＝2t+2，x1x2＝t2+5， Δ＝[﹣2（t+1）]2﹣4（t2+5）≥0， 解得：t≥2， ∵36， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝36， （2t+2）2﹣2（t2+5）＝36， 解得：t＝3或t＝﹣7， 故t的值只能为3． 故选：C． 题型六．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 题型七．一元二次方程的应用（共1小题） 8．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米． （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示） （2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚与墙平行的一边长（28﹣2a）米； （2）小路的宽为1米． 【解答】（1）解：由题意得：（26+2）﹣2a＝（28﹣2a）米， ∴车棚与墙平行的一边长（28﹣2a）米； （2）解：当a＝10时，28﹣2a＝28﹣2×10＝28﹣20＝8（米）， 设小路的宽为x米， 由题意得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54， 整理得：x2﹣14x+13＝0， 解得：x1＝13＞10（舍去），x2＝1， 答：小路的宽为1米． 题型八．反比例函数系数k的几何意义（共3小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，OA与反比例函数y的图象交于点D，且OD＝2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD＝10，则k的值为（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣15 D．15 【答案】A 【解答】解：∵OD＝2AD， ∴， ∵∠ABO＝90°，DC⊥OB， ∴AB∥DC， ∴△DCO∽△ABO， ∴， ∴， ∵S四边形ABCD＝10， ∴S△ODC＝8， ∴OC×CD＝8， OC×CD＝16， ∴k＝﹣16， 故选：A． 10．函数y和y在第一象限内的图象如图，点P是y的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y的图象于点B．给出如下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②PA与PB始终相等； ③四边形PAOB的面积大小不会发生变化； ④CAAP． 其中所有正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵A、B是反比函数y上的点， ∴S△OBD＝S△OAC，故①正确； 当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误； ∵P是y的图象上一动点， ∴S矩形PDOC＝4， ∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣S△OAC＝43，故③正确； 连接OP， ∴4， ∴ACPC，PAPC， ∴3， ∴ACAP；故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 11．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限， ∴k1＞0，k2＞0， ∵点M、N均在反比例函数y1（k1是非零常数，x＞0）的图象上， ∴S△OAM＝S△OCNk1， ∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2（k2是非零常数，x＞0）的图象上， ∴S矩形OABC＝k2， ∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3， ∴k2﹣k1＝3， ∴k1﹣k2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 题型九．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题） 12．如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D． 由题意，设A（a，）（a＞0）， ∵AO＝AC，AD⊥OC， ∴OC＝2OD＝2a． 又设直线OA为y＝mx， ∴ma． ∴m． ∴直线OA为yx． 联立， ∴x2． ∴x＝±． ∴B（，）． ∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC OC•|yB|OC•|yA| 2a（） k． 又∵S△ABC＝6， ∴k＝6． ∴k＝4． 故选：C． 13．如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是　2　 ． 【答案】2 【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°，OC＝1，AC＝n， ∵∠BAO＝90°， ∴∠CAO+∠BAC＝∠ABD+∠BAC＝90°， ∴∠CAO＝∠DBA， ∴△AOC∽△BAD， ∴，即， ∴AD，BD， ∴B（1，n）， ∵k＝1×n＝（1）（n）， 解得n＝2或n＝﹣0.5（舍去）， ∴k＝1×2＝2， 故答案为：2． 题型十．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 14．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 【答案】A 【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上， ∴k＝6． 又B（m，﹣2）在反比例函数上， ∴m＝﹣3． ∴B（﹣3，﹣2）． 结合图象， ∴当ax+b时，﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：A． 15．如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B． （1）k＝　4　 ，b＝　2　 ； （2）连接并延长AO，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标． 【答案】（1）4；2． （2）点D的坐标为（0，﹣2），（0，）． 【解答】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y（k≠0）的解析式中， ∴k＝1×4＝4； 将A（1，4）代入一次函数y＝2x+b， ∴2×1+b＝4， 解得b＝2． 故答案为：4；2． （2）当点D落在y轴的正半轴上， 则∠COD＞∠ABO， ∴△COD与△ABO不可能相似． 当点D落在y轴的负半轴上， 若△COD∽△AOB， ∵CO＝AO，BO＝DO＝2， ∴D（0，﹣2）． 若△COD∽△BOA，则OD：OA＝OC：OB， ∵OA＝CO，BO＝2， ∴DO， ∴D（0，）， 综上所述：点D的坐标为（0，﹣2），（0，）． 题型十一．二次函数的图象（共2小题） 16．函数y与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误． 解法二： ①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意； ②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意； 故选：B． 17．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 题型十二．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　①③⑤　 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①③⑤ 【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0， 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确； 直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以1，可得b＝2a， a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0， 即a﹣2b+4c＞0，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0）， 当x时，y＝0，即， 整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确； ∵b＝2a， ∴25a﹣20a+4c＝0， ∴5a+4c＝0，即ca； ∵b＝2a，a+b+c＜0， ∴， 即3b+2c＜0，故④错误； 由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值， ∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c， 整理得，a﹣b≥m（am﹣b）； 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k（k为常数）． （1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值； （2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k，得 k2＝12﹣2（k﹣1）+k2k 解得k （2）方法一：数形结合， 对称轴为直线x＝k﹣1， ∵a＞0， ∴离对称轴越远，y值越大， ∴|2k﹣（k﹣1）|＞|k﹣1﹣2|， 解得k＞1； 方法二：代数法， 把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k，得 y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2k＝k2k， 把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k，得 y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2k＝k2k+8， ∵y1＞y2， ∴k2+k＞k2k+8， 解得k＞1； （3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k解析式配方得 y＝（x﹣k+1）2+（） 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为 y＝（x﹣k）2+（） 当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2k﹣1＝k2k， ∴k2k，解得k1＝1，k2 都不合题意，舍去； 当1≤k≤2时，y最小k﹣1， ∴k﹣1 解得k＝1； 当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2k﹣1＝k2k+3， ∴k2k+3 解得k1＝3，k2（舍去） 综上，k＝1或3． 20．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数． （1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值． （3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）（2，﹣1）；（2）或﹣1；（3）m＞1或m． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1经过点（4，3）， ∴16﹣16m+2m+1＝3， 解得m＝1， ∴y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）； （2）∵y＝x2﹣4mx+2m+1＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1； ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m， ∵当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4， ∴当x＝2m﹣3时，y＝4， ∴（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4， 整理得：2m2﹣m﹣3＝0， ∴m或m＝﹣1， 故m的值为或﹣1； （3）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点， ∴或． ∴m＞1或m． 题型十三．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 21．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m， ∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线开口向上． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜﹣2﹣（﹣5）＝3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 22．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　﹣2≤n＜1或n＝2　 ． 【答案】﹣2≤n＜1或n＝2 【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点， ∴n﹣2＝0或， 解得，﹣2≤n＜1或n＝2， 故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2． 题型十四．二次函数的最值（共2小题） 23．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 24．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 【答案】A 【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2． 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a． ∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a， ∴4﹣2a＝﹣1， ∴a， 不合题意，舍去． 当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2． ∴3﹣a2＝﹣1． ∴a2＝4， ∵1≤a≤3， ∴a＝2． 当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小． ∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a． ∴12﹣6a＝﹣1． ∴a． ∵a≥3． ∴不合题意，舍去． 综上：a＝2． 故选A． 题型十五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为n≤1． 题型十六．抛物线与x轴的交点（共1小题） 26．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．或﹣12 B．或2 C．﹣12或2 D．或﹣12 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， Δ＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或； 故选：A． 题型十七．二次函数的应用（共4小题） 27．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】 【答案】（1）y； （2）当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元． 【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b， 将（22，48），（30，40）代入解析式得，， 解得， ∴函数表达式为：y＝﹣x+70； 当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n， 将（30，40），（45，10）代入解析式得，， 解得， ∴函数表达式为：y＝﹣2x+100， 综上，y与x的函数表达式为：y； （2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625， ∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大， ∴当x＝30时，w取得最大值为400； 当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450， 当x＝35时，w取得最大值为450； ∵450＞400， ∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元． 28．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分． （1）抛物线C1的最高点坐标为 　（3，2）　 ； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　4或5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴抛物线 C1 的最高点坐标为的（3，2）． 故答案为：（3，2）． （2）由题得，B（6，1）． 将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴． ∴抛物线C1：y（x﹣3）2+2． ∴当x＝0时，y＝c＝1． （3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是（5，1）～（7，1）， 当经过（5，1）时，1255+1+1， 解得：n． 当经过（7，1）时，1497+1+1， 解得：n， ∴n， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 29．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元； （2）这天售出了64辆轮椅． 【解答】解：（1）y＝（200﹣x）（60+4） ＝﹣0.4x2+20x+12000． ＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250 ＝﹣0.4（x﹣25）2+12250． ∵200﹣x≥180， ∴x≤20． ∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）． 答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元； （2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+12250 0.4（x﹣25）2＝12250﹣12160 0.4（x﹣25）2＝90 （x﹣25）2＝225． 解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10． ∴售出轮椅的辆数为：60+464（辆）． 答：这天售出了64辆轮椅． 30．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1）yx2+x；（2）石块能飞越防御墙AB． 【解答】解：（1）由题意，∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴k＝10． ∴石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10． 把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0， ∴a． ∴y（x﹣20）2+10，即yx2+x． （2）石块能飞越防御墙AB，理由如下： ∵点B与点O的水平距离为28米，且BC＝2米， ∴可令x＝30代入yx2+x得： y900+30＝7.5． ∵7.5＞6， ∴石块能飞越防御墙AB． 题型十八．二次函数综合题（共9小题） 31．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 【答案】B 【解答】解：令x＝0，得：y＝b． ∴C（0，b）． 令y＝0，得：ax2+b＝0， ∴x＝±， ∴A（，0），B（，0）， ∴AB＝2，BC． 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC， ∴2． ∴4×（）＝b2， ∴ab＝﹣3． ∴a，b应满足关系式ab＝﹣3． 故选：B． 32．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）， ∴， 解得， 故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 则点C的坐标为（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4）， 设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F， ∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12， ∵DC＝DE， ∴m2+9＝m2+8m+16+1， 解得m＝﹣1， ∴点D的坐标为（0，﹣1）； （3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1， 根据勾股定理，CD， 在△COD和△DFE中， ∵， ∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF＝∠DCO， 又∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠EDF+∠CDO＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°， ∴CD⊥DE， ①分OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴， 即， 解得DP， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则， 即， 解得DG＝1，PG， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0， 所以点P（，0）， 当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2， 所以，点P（，﹣2）； ②OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴， 即， 解得DP＝3， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则， 即， 解得DG＝9，PG＝3， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8）， 当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10）， 综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 33．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：yx2x． （2）P（2，）或（3，4）． （3）． 【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：yx2x． （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t， 将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t， ∴， 解得． ∵A（4，0），B（1，4）， ∴S△OAB4×4＝8， ∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4， 过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图， ∴S△PAB＝S△PNB+S△PNAPN×BEPN×AMPN＝4， ∴PN． 设点P的横坐标为m， ∴P（m，m2m）（1＜m＜4），N（m，m）， ∴PNm2m﹣（m）． 解得m＝2或m＝3； ∴P（2，）或（3，4）． （3）∵PD∥OB， ∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC， ∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB， ∵，， ∴． 设直线AB交y轴于点F．则F（0，）， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图， ∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF， ∴PD：OB＝PG：OF， 设P（n，n2n）（1＜n＜4）， 由（2）可知，PGn2n， ∴PG（n）2． ∵1＜n＜4， ∴当n时，的最大值为． 34．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y， （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y， 过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图 设D（m，），则点F（m，）， ∴DF（）， ∴S△ADE＝S△ADF+S△EDFDF×AGDF×EH DF×（AG+EH） 4×DF ＝2×（） ， ∴当m时，△ADE的面积取得最大值为． （3）y的对称轴为x＝﹣1， 设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20， 当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2， 解得，n＝1，此时P（﹣1，1）； 当PA2＝AE2时，9+n2＝20， 解得，n，此时点P坐标为（﹣1，）； 当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20， 解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述， P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 35．如图，抛物线yx2x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　（﹣2，0）　 ，　（3，0）　 ，　（0，4）　 ． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）． ②． （3）存在，m． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）； 令y＝0，则x2x+4＝0， ∴x＝﹣2或x＝3， ∴A（﹣2，0），B（3，0）． 故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）①∵CP∥x轴，C（0，4）， ∴P（1，4）， ∴CP＝1，AB＝5， ∵CP∥x轴， ∴． ②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q， ∴直线BC的解析式为：yx+4． 设点P的横坐标为m， 则P（m，m2m+4），Q（m2m，m2m+4）． ∴PQ＝m﹣（m2m）m2m， ∵PQ∥AB， ∴（m）2， ∴当m时，的最大值为． 另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解． （3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3． 过点C作CF∥x轴交抛物线于点F， ∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°， ∴∠MCF＝∠BCP， 延长CP交x轴于点M， ∵CF∥x轴， ∴∠PCF＝∠BMC， ∴∠BCP＝∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形， ∵BC＝5， ∴BM＝5，OM＝8， ∴M（8，0）， ∴直线CM的解析式为：yx+4， 令x2x+4x+4， 解得x或x＝0（舍）， ∴存在点P满足题意，此时m． 36．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】（1）C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）； （2）①P（﹣1，0）或（2，0）． ②a的值为2或． 【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3， ∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3， ∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N， ∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3）， ∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|， ∵MN＝6a， ∴|3am2﹣3am|＝6a， 解得m＝﹣1或m＝2， ∴P（﹣1，0）或（2，0）． ②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3， 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2， 且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）； 当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）； Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2， 函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3； ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a（舍）； Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去； 综上，a的值为2或． 37．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E． ①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值． 【答案】（1）抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①存在，P（，）； ②． 【解答】解：（1）∵x1，x2是x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点， ∴， 解得， ∴抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①存在，理由如下： ∵直线y＝3x+9与x、y轴分别交于点D、E， ∴x＝0时，y＝9， y＝0时，3x+9＝0，x＝﹣3， ∴点D（﹣3，0）、E（0，9）， ∴OD＝3，OE＝9， ∴tan∠OED， 由抛物线可知：当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠FCE＝∠OCB＝45°， ∵∠DFB是△CEF的外角， ∴∠DFB＝∠FCE+∠FEC＝45°+∠FEC， ∵∠DFB＝∠PBF＝∠CBO+∠PBQ＝45°+∠PBQ， ∴∠PBQ＝∠FEC， ∴tan∠PBQ， 设P（m，﹣m2+2m+3），则BQ＝3﹣m，PQ＝m2﹣2m﹣3， ∴， ∴m＝3（舍去）或， ∴P（，）； ②∵过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的解析式 为：y＝﹣x+n， 设直线BM的解析式为y＝k1x+m， 将B（3，0）代入得3k1+m＝0， 解得：m＝﹣3k1， ∴直线BM的解析式为y＝k1x﹣3k1， 设直线CN的解析式为y＝k2x+m1， 将C（0，3）代入得m1＝3， ∴直线CN的解析式为y＝k2x+3； 联立方程组，得x2﹣3x+n﹣3＝0， ∴x1+x2＝3， 将M（x1，y1）代入y＝k1x﹣3k1，y＝﹣x2+2x+3 得： ， ∴（k1﹣2）x1﹣3（k1+1）＝0， ∴（x1﹣3）[x1+（k1+1）]＝0， 解得：k1＝﹣1﹣x1， 将N（x2，y2）代入y＝k2x+3，y＝﹣x2+2x+3 得： ， ∴（ k2﹣2）x2＝0， ∴x2（x2+k2﹣2）＝0， 解得：k2＝2﹣x2， 联立方程组， 得出xQ， ∴点Q在直线x上运动， 在y＝3x+9中，令x＝0，则y＝9，即E（0，9）， 如图，作点E关于直线x的对称点E'，连接DE'交直线x于Q'，连接EQ'，则E'（3，9）， 由轴对称性质可得E′Q'＝EQ'， ∴QD+QE的最小值＝DQ'+EQ'＝DQ'+E'Q'＝DE'， 由两点之间线段最短可得：线段QD+QE的最小值为DE'， ∵DE'， ∴线段QD+QE的最小值为． 38．抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO时，求点P的坐标； （3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值． 【答案】（1）B（5，5）；顶点D（2，﹣4）． （2）点P的坐标为（2，0）或（，0）． （3）的最大值为． 【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x， 解得x＝0或x＝5， ∴B（5，5）； ∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴顶点D（2，﹣4）． （2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E， ∴DE＝2，OE＝4， ∴tan∠DOE， ∵tan∠PDO， ∴∠DOE＝∠PDO， ①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图， ∴P（2，0）； ②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形， ∴OG＝DG， 设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t， 在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2， 解得t， ∴G（0，）， ∴直线DG的解析式为：yx， 令y＝0，则x0， 解得x， ∴P（，0）． 综上，点P的坐标为（2，0）或（，0）． （3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称， ∴M（﹣1，5）． 如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K， ∴N（﹣1，﹣1），MN＝6， ∵点Q横坐标为m， ∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m）， ∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m． ∵S1QK（xB﹣xE），S2MN（xB﹣xE）， ∴（m2﹣5m）（m）2， ∵0， ∴当m时，的最大值为． 提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论． 39．【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1． 定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝　2　 ，n＝　±1　 ． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 【答案】（1）2；±1； （2）①d＝4，e＝5；②2＜x1＜5或x1＜﹣1． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线， ∴22＝m，n2， ∴m＝2，n＝±1， 故答案为：2；±1； （2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5， ∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5）， 又C2始终是C0的伴随抛物线， ∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8）， ∴， ∴d＝4，e＝5； ②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）， 由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9）， 当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5， 抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点， 当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1； ∵若C2是C0的伴随抛物线，则C0也是C2的伴随抛物线，即C0的顶点P（b，c）在C2上， ∴（2，9）在C2上， 当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5； 综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1． 题型十九．菱形的性质（共1小题） 40．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 题型二十．矩形的性质（共4小题） 41．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC10， ∴AO＝DOAC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF， ∴125×EO5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF， 故选：C． 42．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　9或18　 ． 【答案】9或18． 【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1）， ∵∠CED′＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝18； （2）当∠ED′A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E， △CD'E为直角三角形， 即∠CD′E＝90°， ∴∠AD′E+∠CD′E＝180°， ∴A、D′、C在同一直线上， 根据勾股定理得AC30， ∴CD′＝30﹣18＝12， 设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x， 在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2， 即x2+144＝（24﹣x）2， 解得x＝9， 即DE＝9； 综上所述：DE的长为9或18； 故答案为：9或18． 43．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 【答案】（1）当t为3或13时，△ABP和△DCE全等； （2）t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形． 【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等， ∴BP＝CE或AP＝CE， 当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3， 当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13， ∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC， 在Rt△DCE中，CE＝3， ∴DE5， 若△PDE为等腰三角形， 则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE， 当PD＝DE时， ∵PD＝DE，DC⊥BE， ∴PC＝CE＝3， ∵BP＝BC﹣CP＝3， ∴t＝3÷1＝3， 当PE＝DE＝5时， ∵BP＝BE﹣PE， ∴BP＝9﹣5＝4， ∴t＝4÷1＝4， 当PD＝PE时， ∴PE＝PC+CE＝3+PC， ∴PD＝3+PC， 在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2． ∴（3+PC）2＝16+PC2， ∴PC， ∵BP＝BC﹣PC， ∴BP， ∴t1， 综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形． 44．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设运动时间为t， 则AP＝t，CQ＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°， ∴BP＝4﹣t， ∴四边形PBCQ的面积（PB+CQ）•BC4×2＝4（cm）2； （2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形， ∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t， ①当PQ＝DQ＝4﹣t时， 如图1，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∵PH2+HQ2＝PQ2， ∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2， 解得：t＝2，t， ②当PQ＝PD时， 如图2，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∴4﹣2t＝t， ∴t， ③当DQ＝PD时， ∴DQ＝4﹣t， ∴PD＝DQ＝4﹣t， ∵AP2+AD2＝PD2， ∴t2+22＝（4﹣t）2， ∴t， 综上所述，当t＝2秒或t秒或t秒或t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 题型二十一．矩形的判定与性质（共1小题） 45．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为 　2.4　 ． 【答案】2.4 【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小， 此时，S△ABCBC•ACAB•CD， 即4×35•CD， 解得CD＝2.4， ∴线段EF长的最小值为2.4． 故答案为：2.4 题型二十二．正方形的性质（共4小题） 46．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF，③AF，④S△AEF中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°， ∵EC＝1， ∴GB＝DE＝3， ∴AE＝AG＝5， 即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合， ∴∠DAE＝∠BAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°， ∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， ∵DE＝BG， ∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确； ∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1， ∴DE＝3， 设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x， 在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12， 解得x， ∴BF，故②正确； ∴AF，故③错误； ∴GF＝3， ∴S△AEF＝S△AGFAB×GF4，故④正确． 所以正确的有①②④，共3个． 故选：C． 47．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，PB，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故①成立； ∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故②成立； 在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1， ∴EP， 又∵PB， ∴BE， ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE， 故③不成立， 故选：A． 48．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC， ∵∠AOE＝150°， ∴∠BOE＝60°； ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠BOE＝∠COF＝60°， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴△OEF是等腰直角三角形； 过点F作FG⊥OD，如图， ∴∠OGF＝∠DGF＝90°， ∵∠ODC＝45°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴GF＝DGDF＝1， ∴OF＝2GF＝2， ∴EFOF＝2． 故选：C． 49．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 题型二十三．点与圆的位置关系（共1小题） 50．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．1 B． C．21 D．2 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD，即OM的最大值为； 故选：B． 题型二十四．切线的判定与性质（共1小题） 51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，sinB，求ED的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OM，如图1， ∵OC＝OM， ∴∠OCM＝∠OMC， 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CDAB＝BD， ∴∠DCB＝∠DBC， ∴∠OMC＝∠DBC， ∴OM∥BD， ∵MN⊥BD， ∴OM⊥MN， ∵OM过O， ∴MN是⊙O的切线； （2）解：连接DM，CE， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°， 即DM⊥BC，CE⊥AB， 由（1）知：BD＝CD＝5， ∴M为BC的中点， ∵sinB， ∴cosB， 在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4， ∴BC＝2BM＝8， 在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB， ∴ED＝BE﹣BD5． 题型二十五．比例的性质（共1小题） 52．若，则的值为（　　） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型二十六．相似三角形的判定（共2小题） 53．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECD； （2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝5﹣3＝2， 由（1）得：△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD； （3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD； 理由是：过E作EF⊥AD于F， ∵△AED∽△ECD， ∴∠EAD＝∠DEC， ∵∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠EDC， ∵DC⊥BC， ∴EF＝EC， ∵DE＝DE， ∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）， ∴DF＝DC， 同理可得：△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF+DF＝AB+CD． 54．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG， ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴ 解得DF（10﹣t） ∵S△BDEBE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴即， 解得t， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， 即， 解得t． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 题型二十七．相似三角形的判定与性质（共1小题） 55．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝3，将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE，当点F落在边BC上，且BF＝4CF时，DE•AF的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点A，D分别作AL⊥BC，DH⊥BC于点L，H， ∵△ABC为等边三角形，△ADE沿直线DE翻折得到△FDE， ∴∠DFE＝∠DAE＝60°，AD＝DF， ∴∠CFE+∠FEC＝∠CFE+∠DFB＝120°， ∴∠DFB＝∠CEF， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△BDF∽△CFE， ∴， ∴CE， 设CF＝x，（x＞0）， ∵BF＝4CF， ∴BF＝4x， ∵BD＝3， ∴CE， ∵BC＝BF+CF＝4x+x＝5x， ∴AD＝AB﹣BD＝BC﹣BD＝DF＝5x﹣3，AE＝EF＝AC﹣CE＝5x， ∵△BDF∽△CFE， ∴， ∴， 解得x＝2， ∴CF＝2， ∴BC＝5x＝10， 在Rt△ABL中，∠B＝60°， ∴AL＝AB•sin60°＝105， ∴S△ABC10×525， 在Rt△BDH中，∠B＝60°，BD＝3， ∴DHBD， ∴S△BDFBF•DH86， ∵△BDF∽△CFE， ∴（）2＝（）2， ∴S△CEF， ∵A，F为轴对称图形对应点的连线，DE为对称轴， ∴AD＝DF，△ADF为等腰三角形， ∴DE⊥AF， ∴四边形ADFE的面积DE•AF， ∵四边形ADFE的面积＝S△ABC﹣S△BDF﹣S△CEF＝256， ∴DE•AF＝2． 故答案为：． 题型二十八．锐角三角函数的定义（共1小题） 56．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC， 根据勾股定理，AO2， AC， OC， 所以，AO2＝AC2+OC2＝20， 所以，△AOC是直角三角形， cos∠AOB． 故选：B． 题型二十九．解直角三角形的应用（共1小题） 57．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得：四边形DGBF是矩形， ∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG， ∴∠BDG＝53°， ∴∠PDH＝∠BDG＝53°， ∴入射角α的度数为53°； （2）∵BG＝16cm，BC＝7cm， ∴CG＝BG﹣BC＝9（cm）， 在Rt△CDG中，DG＝12cm， ∴DC15（cm）， ∴sinβ＝sin∠GDC， 由（1）得：∠PDH＝53°， ∴sin∠PDH＝sinα， ∴折射率n， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为． 题型三十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 58．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6） 【答案】92米． 【解答】解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D， 则BE＝DN，DB＝NE， ∵斜坡AB的坡度i＝3：4， ∴， ∴设BE＝3a米，则AE＝4a米， 在Rt△ABE中，AB5a（米）， ∵AB＝75米， ∴5a＝75， ∴a＝15， ∴DN＝BE＝45米，AE＝60米， 设NA＝x米， ∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米， 在Rt△ANM中，∠NAM＝58°， ∴MN＝AN•tan58°≈1.6x（米）， ∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米， 在Rt△MDB中，∠MBD＝22°， ∴tan22°0.4， 解得：x＝57.5， 经检验：x＝57.5是原方程的根， ∴MN＝1.6x＝92（米）， ∴大楼MN的高度约为92米． 题型三十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 59．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）60°； （2）（3）km． 【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°， ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°， ∴AD＝AB•sin45°＝33（km）， BD＝AB•cos45°＝33（km）， 在Rt△ADC中，∠ACB＝60°， CD（km）， ∴BC＝BD+CD＝（3）km， ∴检查点B和C之间的距离（3）km． 题型三十二．简单组合体的三视图（共1小题） 60．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线， 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $