5.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.4 二次函数与一元二次方程 同步基础练习题 一．选择题 1．抛物线y＝（x+1）2的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（0，1） 2．对于二次函数y＝（x+2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A．与y轴交点坐标为（0，1） B．与x轴有两个公共点 C．当x＜2时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线x＝﹣2 3．二次函数y＝x2+x﹣2的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或x＞1 4．下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（　　） A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．x＜﹣1或x＞5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．﹣1＜x＜5 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0正根在3与4之间 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④关于x的方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题 8．写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式 　 　 ． 9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下： x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则方程ax2+bx+c＝﹣5的解为 　 　 ． 10．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图，则关于x的不等式x2+bx＜x﹣c的解集是 　 　 ． 11．已知二次函数y＝2x2+bx+c的图象与x轴有且只有一个公共点，且过A（m﹣2，n），B（m+4，n）两点，则n的值为　 　 ． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣3，0），则点Q的坐标为 　 　 ． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．下面描述： ①2a+b＝0； ②若C点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，则a； ③若M（﹣m2﹣1，y1），N（m2+4，y2）均在抛物线上，则y1＜y2； ④若M（x1，y1），N（x2，y2）均在抛物线上，且1＜x1＜x2，则； ⑤若△ABC为等腰三角形，则a的值为4个． 其中正确的有 　 　 ．（填写所有正确的序号） 三．解答题 14．已知二次函数y＝x2﹣4x+a． （1）若该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长为6，求a的值． 15．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，∠BAC＝45°． （1）求a的值； （2）点D为第三象限内抛物线上的一点，当△DAC的面积为3时，直接写出点D的坐标． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣3 0 1 0 ﹣3 … （1）根据上表画出函数图象，并填空： ①该函数的顶点坐标为 　 　 ； ②抛物线与坐标轴的交点坐标为 　 　 ； ③当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是 　 　 ； （2）求该二次函数的解析式． 17．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3． （1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+1的形式； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … （3）x取何值时，y＞0？ 18．请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式：x2﹣3x＜0． 解：设x2﹣3x＝0，解得x1＝3，x2＝0，则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点坐标为（3，0）和（0，0）．画出y＝x2﹣3x的大致图象： 由图象可知：当0＜x＜3时函数图象在x轴下方，此时y＜0，所以一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜3． 通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中渗透了下列数学思想中的 　 　 和 　 　 （只填序号）． ①分类讨论思想；②转化思想；③数形结合思想． （2）用类似方法解x2﹣3x＜0的解集 　 　 ． （3）用类似的方法求一元二次不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少． 20．某“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣3 0 1 0 1 0 ﹣3 … 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中已经画出了函数图象的一部分，请你结合表中的数据画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：　 　 ． （2）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|＝1有　 　 个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|＝a有2个实数根时，a的取值范围是　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D D C A D B 二．填空题 8．y＝x2+3（答案不唯一）． 9．x1＝3，x2＝﹣1． 10．1＜x＜3． 11．18． 12．（1，0）． 13．①②③． 三．解答题 14．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a＞0， 解得a＜4， 即a的取值范围为a＜4； （2）∵抛物线的对称轴为直线x2， 而该二次函数的图象在x轴上截得的线段长为6， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0）， 把（﹣1，0）代入y＝x2﹣4x+a得1+4+a＝0， 解得a＝﹣5． 15．解：（1）令y＝a（x﹣1）（x+3）＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， 故点A，B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）， 则OA＝3， 由题意可得：OC＝OA＝3， 故点C（0，﹣3）， ∴﹣3＝a（0﹣1）（0+3）， 解得a＝1； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入直线AC的解析式y＝kx+b得， 解得， 故直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 由（1）知抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3， 过点D作y轴的平行线交AC于点H， 设点D（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3）， 则， 解得x＝﹣1或x＝﹣2， 将x＝﹣1代入y＝x2+2x﹣3， 得y＝﹣4， 将x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3， 得y＝﹣3， 故点D的坐标为（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）． 16．（1）解：如图所示， ①该函数的顶点坐标为（1，1）； ②抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，0），（2，0）； ③当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是﹣3＜y≤1； 故答案为：①（1，1）；②（0，0），（2，0）；③﹣3＜y≤1； （2）由题意可得： ， 解得， ∴y＝﹣x2+2x． 17．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4； （2）当x的值为﹣1，0，1，2，3时对应的y的值分别为：0，﹣3，﹣4，﹣3，0， 故答案为：﹣1，0，1，2，3；0，﹣3，﹣4，﹣3，0； 图象如图所示： （3）由图象得：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0． 18．解：（1）上述解题过程中渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合的思想； 故答案为：②，③； （2）设x2﹣3x＝0， 解得x1＝3，x2＝0， 则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点坐标为（3，0）和（0，0）， 画出y＝x2﹣3x的大致图象： 由图象可知：当0＜x＜3时函数图象在x轴下方，此时y＜0， 所以一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜3． 故答案为：0＜x＜3； （3）设x2﹣3x﹣4＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣1， 则抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴的交点坐标为（4，0）和（﹣1，0）， 画出y＝x2﹣3x﹣4的大致图象： 由图象可知：当x＜﹣1或x＞4时函数图象在x轴上方，此时y＞0， 所以一元二次不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集为x＜﹣1或x＞4． 19．解：（1）在矩形OABC中，OA＝3，OC＝4， ∴点B（3，4）， ∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4； （2）如答图1，连接CE，过点P作PH⊥x轴，交BC于点F，交CE于点G， 当y＝﹣x2+3x+4＝0时， 解得 x＝﹣1，x2＝4， ∴E（4，0）， 设直线CE为y＝kx+n， 将C（0，4），E（4，0）代入可得，， 解得， ∴直线CE为y＝﹣x+4， 设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+3m+4）， ∵PH⊥x轴，点F在BC上，点G在CE上， ∴H（m，0），F（m，4），G（m，﹣m+4）， ∴S四边形OCPE＝S△OCE+S△PCE ＝﹣2m2+8m+8＝﹣2（m﹣2）2+16， ∵﹣2＜0， ∴函数有最大，当m＝2时，P（2，6）， 此时四边形OCPE的面积最大为16． 20．（1）解：画出函数图象如下： 性质：其图象关于y轴对称（答案不唯一）； （2）①如图， ∴方程﹣x2+2|x|＝1有2个实数根， 故答案为：2； ②如图，当a＜0或a＝1时，直线y＝a与函数y＝﹣x2+2|x|的图象有两个交点， 即关于x的方程﹣x2+2|x|＝a有2个实数根， 故答案为：a＜0或a＝1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/18 22:42:50；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $