5.2 二次函数的图像和性质 同步基础练习题 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.2 二次函数的图像和性质 同步基础练习题 一．选择题 1．抛物线y＝x2﹣3x﹣4与y轴的交点坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣4） C．（4，0） D．（0，4） 2．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝（x+3）2平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 3．若a＜﹣1，点（a﹣1，y1）（a，y2）（a+1，y3）都在抛物线y＝2x2﹣1上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，则a的值可以是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 5．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．最低点是（2，0） C．可以由y＝﹣x2向左平移2个单位得到 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 6．关于二次函数y＝2（x﹣3）2+4，下列说法正确的是（　　） A．最小值2 B．最小值3 C．最大值4 D．最小值4 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 y … 18 8 2 0 2 当y＜8时，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5 8．若抛物线y＝﹣6x2+2x﹣3k﹣1与y轴的交点位于y轴的负半轴上，则k的值不可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），有以下结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤ 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，﹣m﹣2≤x≤﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（3m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．或 C．或 D． 二．填空题 11．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式　 　 ． 12．二次函数y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴为　 　 ． 13．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　 ． 14．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 　 　 ． 15．对于实数a，b，定义一种运算F（a，b），当a＝b，则F（a，b）＝a＝b，当a＜b，则F（a，b）＝a，当a＞b，则F（a，b）＝b．对于函数y＝F（x+1，x2﹣2x+1），下列结论：①点（3，4）在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量x的值为0.5或1.5；③当x＞﹣1时，函数有最小值为0；④若直线y＝kx+b与函数图象有唯一的公共点，则k＝1，；⑤若直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象有三个公共点，则0＜k＜1．其中正确的结论是　 　 （填序号）． 三．解答题 16．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交于x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）A点坐标为 　 　 ，B点坐标为 　 　 ； （2）抛物线的顶点坐标是 　 　 ； （3）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （4）当0＜y＜3时，求x的取值范围． 17．已知抛物线y＝x2﹣2x． （1）该抛物线的对称轴是 　 　 ，顶点坐标 　 　 ． （2）选取适当的数据填入表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … ﹣1 0 1 2 3 … y … … （3）根据图象直接写出：当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　 ． 18．定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5． （1）求函数yx2﹣2x+3的友好同轴二次函数； （2）当﹣1≤x≤4时，函数y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+3（a≠0且a≠1）的友好同轴二次函数有最大值5，求a的值． 19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … y1 ﹣3 y2 ﹣3 y3 … （1）当y1＝0时， ①求a，b的值； ②点（m﹣1，p），点（m﹣2，q）都在该二次函数的图象上，试比较p与q的大小； （2）若y1，y2，y3中有且只有两个是负数，求a的取值范围． 20．数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： 【观察探究】： 方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　 　 ； 【问题解决】： 若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，分别为x1、x2、x3、x4． ①a的取值范围是 　 　 ； ②计算x1+x2+x3+x4＝　 　 ； 【拓展延伸】： ①将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程； ②观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围 　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A D D A A B B 二．填空题 11．y＝2x2+1（答案不唯一）． 12．直线x＝1． 13．a＞b＞d＞c． 14．8． 15．①③． 三．解答题 16．解：（1）在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 故答案为：（﹣1，0），（3，0）； （2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标是（1，4）； 故答案为：（1，4）； （3）∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，函数有最大值4， 当x＝0时，y＝3， 当x＝3时，y＝﹣32+2×3+3＝0， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4； （4）在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝3时，则﹣x2+2x+3＝3，即x2﹣2x＝0， 解得x＝0或x＝2， 当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴当0＜y＜3时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或2＜x＜3． 17．解：（1）由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣1）． 故答案为：直线x＝1，（1，﹣1）． （2）由题意，根据解析式为y＝x2﹣2x，列表，作图如下． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … （3）由题意，由（2）图，可得当0＜x＜3时，﹣1≤y＜3． 故答案为：﹣1≤y＜3． 18．解：（1）∵解析式中，对称轴为直线，c＝3， ∴的友好同轴二次函数中，对称轴为直线x＝4，c＝3， ∴， （2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴函数y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+3的友好同轴二次函数为y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3， ∴其顶点坐标为（1，﹣a+3）， 当a＜0，函数最大值为﹣a+3＝5， 解得a＝﹣2； 当a＞0时，抛物线开口向上， ∵1﹣（﹣1）＜4﹣1， ∴x＝4时，y最大＝8a+3， ∴8a+3＝5， 解得； 综上所述：a的值为﹣2或． 19．解：（1）①由题知， 将x＝﹣1，y＝0和x＝2，y＝﹣3代入y＝ax2+bx﹣3得， ， 解得， 所以a的值为1，b的值为﹣2． ②由①知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 所以抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝1， 则当m﹣1≤1，即m≤2时，p＜q； 当m﹣2≥1，即m≥3时，p＞q； 当1﹣（m﹣2）＞m﹣1﹣1，即m时，p＜q； 当1﹣（m﹣2）＜m﹣1﹣1，即m时，p＞q； 当1﹣（m﹣2）＝m﹣1﹣1，即m时，p＝q； 综上所述，当m时，p＜q；当m时，p＝q；当m时，p＞q． （2）因为当x＝0和2时，函数值都是﹣3， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以当x＝﹣1和3时，函数值相等， 即y1＝y3． 又因为y1，y2，y3中有且只有两个是负数， 所以这两个只能是y1和y3，且y2≥0， 则a＜0，且a+b﹣3≥0． 又因为， 则b＝﹣2a， 所以a+（﹣2a）﹣3≥0， 所以a≤﹣3， 综上所述，a的取值范围是：a≤﹣3． 20．解：（1）观察探究： ①由图象可知，当函数值为﹣1时，直线y＝﹣1与图象交点的横坐标就是方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解． 故答案为：x＝﹣2或x＝0或x＝2． （2）问题解决： ①若方程（﹣x|﹣1）2＝a有四个实数根，由图象可知a的取值范围是﹣1＜a＜0． 故答案为：﹣1＜a＜0． ②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以x1+x2+x3+x4＝0． 故答案为：0． （3）拓展延伸： ①将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象， ②当2≤y1≤3时，自变量x的取值范围是0≤x≤4． 故答案为：0≤x≤4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/18 22:28:51；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $