专题 5.6 一次函数与几何综合专项训练（9大考点13类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.6 一次函数与几何综合专项训练（9大考点13类题型） 目录 考点1：一次函数与坐标轴围成的三角形问题 1 【题型1】求一次函数与坐标轴的交点坐标 1 【题型2】一次函数与坐标轴围成的三角形面积 3 考点2：一次函数与线段长度的综合 5 【题型3】已知一次函数上的点到坐标轴的距离 5 考点3：一次函数与轴对称图形的综合 6 【题型4】一次函数图象上点的轴对称变换 6 【题型5】一次函数图象的轴对称变换（求对称直线解析式） 8 考点4：一次函数与角的综合 11 【题型6】一次函数图象之间夹角问题 11 考点5：一次函数与存在性问题 14 【题型7】一次函数与存在性问题 14 考点6：一次函数与平移、折叠几何变换综合 20 【题型8】一次函数图象的平移与几何图形的结合 20 【题型9】一次函数与几何折叠问题 24 考点7：一次函数与几何最值问题 28 【题型10】一次函数图象为背景的与几何最值 28 考点8：一次函数与几何图形的坐标规律探究 32 【题型11】一次函数图象上几何图形的坐标规律 32 考点9：一次函数与几何综合的实际应用 36 【题型12】几何图形的周长与面积的一次函数建模 36 【题型13】几何路径的一次函数优化问题 40 考点1：一次函数与坐标轴围成的三角形问题 【题型1】求一次函数与坐标轴的交点坐标 【例题1】（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点坐标求法，解题关键是利用坐标轴上点的坐标特征计算． 求一次函数图象与坐标轴的交点坐标：与轴交点，令，解方程求；与轴交点，令，直接求． 解：对于一次函数 ， 令 ，得 ，故与y轴交点坐标为 ； 令 ，得 ，解得 ，即 ，故与x轴交点坐标为 ． 故答案为：，． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度，则所得的函数图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的平移和坐标轴的交点问题，将函数图象向上平移3个单位，新函数解析式为，再求与x轴交点，即令解方程． 解：∵将向上平移3个单位， ∴新函数为， 令，则， ∴， ∴． ∴交点坐标为， 故选C 【变式2】已知一次函数图象经过点 （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）交轴于点，交轴于点 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将，分别代入，即可算得答案． 解：（1）解：设一次函数为，代入， ， 解得， ； （2）解：当时，； 当时，，； 那么图象交轴于点，交轴于点． 【题型2】一次函数与坐标轴围成的三角形面积 【例题2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2） 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据、两点分别在、轴上，令求出的值；再令求出的值即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 解：（1）解：依题意得，对于直线， 当时，，解得，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为． （2）点的坐标为，点的坐标为， ，． ． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题．先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算． 解：对于一次函数， 令，得， 故点的坐标为； 令，得， 解得， 故点的坐标为； 故的面积． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 解：∵在中，令，则， 解得：， 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为， ， 故选：B． 考点2：一次函数与线段长度的综合 【题型3】已知一次函数上的点到坐标轴的距离 【例题3】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）点在直线上，且点到两坐标轴的距离相等，则点在第 象限． 【答案】二或三 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一元一次方程的应用等知识点．分为点A横纵坐标相同和互为相反数两种情况分别根据点A在直线上，分别运用一元一次方程求出点A的坐标即可． 解：①当点A横纵坐标相同时，设点A的坐标是， 则有，解得， ∴点A的坐标是， ∴点A在第三象限； ②当点A横纵坐标互为相反数时，设点A的坐标是时， 则有：，解得， ∴点A的坐标是． ∴点A在第二象限； 综上点A第二或三象限． 故答案为：二或三． 【变式1】（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）若点A是函数图象上的一点，且到x轴的距离为3，则点A到y轴的距离是（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，一次函数的图象；由点A到到x轴的距离为3，可得出点A的纵坐标为3或，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A的坐标，即可得到结论． 解：∵点A到x轴的距离为3， ∴点A的纵坐标为3或， 把代入 得：， 解得， 把代入得，， 解得， ∴点A的坐标为或， ∴点A到y轴的距离是1或2， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 考点3：一次函数与轴对称图形的综合 【题型4】一次函数图象上点的轴对称变换 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式成立．再把B点坐标代入可得m的值． 解：∵点在直线上， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知直线和另一直线交于点P，则点P关于x轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了两直线交点坐标和关于x轴的对称点的特征．先联立两直线解析式求出交点坐标，再根据关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得到答案． 解：直线和另一直线联立得到， 解得 ∴点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知直线和另一直线交于点P，则点P关于x轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了两直线交点坐标和关于x轴的对称点的特征．先联立两直线解析式求出交点坐标，再根据关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得到答案． 解：直线和另一直线联立得到， 解得 ∴点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为： 【题型5】一次函数图象的轴对称变换（求对称直线解析式） 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如和是以为镜面直线的镜面点．和是一对镜面点，则镜面直线为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．求得线段的中点，然后根据待定系数法即可求得． 解：设直线的解析式为， ∵和， ∴线段的中点为， ∵镜面直线经过原点和， 代入解析式为，得 解得 ∴镜面直线为； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·北京·阶段练习）若直线与直线关于直线对称，则、值分别为： ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可． 解：对于，当时，， ∴一次函数与y轴交点为， ∵点关于直线的对称点为， 把点代入直线，得： ，解得：， ∴对于，当时，， ∴一次函数与y轴交点为， ∵关于直线的对称点为， 把点代入直线，得： ，解得． 故答案为：； 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且点关于轴的对称点为点．一次函数的图象经过两点，且点在轴上，当线段时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，求解一次函数的解析式，先求解，，，结合当时，且点在轴上，可得或，再进一步求解即可. 解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当，；当时，， 解得：， ∴，， ∵点关于轴的对称点为点． ∴， 当时，且点在轴上， ∴或， 当一次函数的图象经过两点， 设直线为， ∴， 解得：， 当一次函数的图象经过两点， 设直线为， ∴， 解得：， 当时， ∴， 故选：C 考点4：一次函数与角的综合 【题型6】一次函数图象之间夹角问题 【例题6】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线 与轴，轴分别交于，两点，点是第二象限内一点，连接，若，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】先分别令和确定和的坐标，过点作，交于点，过作 轴于点，根据证明，得，，可得，把点及点代入直线的解析式为：，即可解答． 解：当时，，当时，， ∴，， ∴，， 过点作，交于点，过作 轴于点， ∵， ， 在中，根据三角形内角和为180°， 可 得， ∴， ∴. 又∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴点横坐标为，点纵坐标为，所以， 设直线的解析式为：，把，代入， 则， 解得， 则直线的解析式为：， 故答案为： 【点拨】本题考查一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，构造全等三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质．设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 解：设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为， 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第一，三象限的角平分线， ∴， ∴； 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第二，四象限的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，k的值为． 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形内角和定理、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明得到，再结合坐标与图形以及垂线的定义即可解答． 解：∵，，， ∴，， ∵点D在直线图象上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 考点5：一次函数与存在性问题 【题型7】一次函数与存在性问题 【例题7】（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）12；（3）的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 解：（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，    ， ， 的横坐标为或10（舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． （1）分别求出与的表达式； （2）已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线：；（2）点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、直线构成的三角形面积等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，将代入直线：求解即可得到；进而得到直线与轴交点，再由待定系数法求直线表达式即可得到答案； （2）由（1）知，、、，在平面直角坐标系中表示出，由建立方程求解即可得到答案． 解：（1）解：直线：与直线：交于点， 点在直线：上， 则； ， 直线：与x轴正半轴交于点， 当时，，解得，即， ， ，即， 直线：过点、， ，解得， 直线：； （2）解：由（1）知，、、， ， 则， 即， ， 则，解得， 是直线：上， 当时，，即； 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． （1）求k的值； （2）如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值； （3）在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）、 、、 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先求得，进而求得，即，然后代入求得k的值即可； （2）先求得，再求得直线的解析式为．由题意可得，进而求得，即的长度为；进而得到求得或，再根据已知条件验证可得； （3）由（2）可得，即，设轴上动点的坐标为，则，，，然后再分、、三种情况求解即可． 解：（1）解：∵直线交y轴于点C， ∴，即， ∵， ∴，即， 将代入可得：， 解得：． （2）解：∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵D为线段上一点，设点D的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同， 将代入直线的解析式，得， 解得：， ∴， ∴ 的长度为， 由，得， 解得：或， ∵D在线段上，， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，即， 设轴上动点的坐标为，则，，， ①当时，即， 解得：或， ∴对应点的坐标为和； ②当时，即， 解得：或， 当时，P与O重合，不能构成三角形，舍去； 当时，P的坐标为，符合条件； ③当时，， 解得：， ∴对应点的坐标为． 综上，满足条件的点P坐标为、 、、． 考点6：一次函数与平移、折叠几何变换综合 【题型8】一次函数图象的平移与几何图形的结合 【例题8】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，由等腰直角三角形的性质并结合图形可得，由一次函数图象的平移法则可得直线的解析式为，再将代入直线的解析式，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵在等腰直角三角形中，点， ∴结合图象可得， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出的坐标是解此题的关键． 根据等腰直角三角形的性质求得、的长度，即得点的坐标，表示出的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 解：当时，， 解得：， 即， ∴ 如图，过作于， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， 即点的坐标是， 设平移的距离为， 则点的对应点的坐标为， 代入得：， 解得：， 即平移的距离是， ∵A点坐标为，沿y轴向下平移单位后， ∴ 平移后的'坐标为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，过点在第二象限内作，且． （1）求点A、B、C的坐标： （2）将向右平移得到，点的对应点始终在轴上，当点的对应点落在直线，求平移的距离及的坐标． 【答案】（1）；（2）平移的距离为：， 【分析】本题考查了一次函数图象上的坐标特征，平移的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键． （1）把和分别代入，求出的值即可求得、的坐标；证，得到，，即可求出的坐标； （2）根据平移的性质可知的纵坐标为2，代入即可求得的坐标，根据的坐标即可求得平移的距离，根据平移的距离即可求得的坐标． 解：（1）解：作轴于， 由可知当时，， 当时，， 由勾股定理得：， 点的坐标为，的坐标为， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）根据题意可知的纵坐标为2， 代入得， ， 解得：， ， 平移的距离为：， ． 【题型9】一次函数与几何折叠问题 【例题9】（24-25八年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴正半轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握一次函数图象的性质是关键． 根据折叠得到，由一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，则，，，在中，由勾股定理即可求解． 解：由折叠知，， 把代入，得， 把代入，得，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得，即， 解得， ∴点的坐标为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，折叠的性质，先求出两点的坐标，进而利用勾股定理求出的长，根据折叠，得到，再分为①当点在轴的负半轴上时，和②当点在轴的正半轴上时，分别求解即可． 解：在中， 令，则； 令，则， 所以， 所以． 在中，因为， 所以． 由折叠的性质，得． 由题可知，分两种情况： ①当点在轴的负半轴上时，如图①， 所以． 在中，因为， 所以， 即， 所以，所以点的坐标为； ②当点在轴的正半轴上时，如图②， 所以． 在中，因为， 所以， 即， 所以，所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求点和点的坐标以及的长； （2）求点和点的坐标； （3）轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）,，；（2）,；（3）或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）令，求出；令，求出；继而求出； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）存在；由，可得，可求出，进而可求点坐标． 解：（1）解：令，则， 解得：， ； 令，则， ； ，， ； （2）解：由折叠的性质可知，，， 则， ； 设， 则，， ， 解得：， ； （3）解：轴上存在一点，使得，理由如下： ， ， 解得：， 点的坐标为或． 考点7：一次函数与几何最值问题 【题型10】一次函数图象为背景的与几何最值 【例题10】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等．先证是等腰直角三角形，作点C关于y轴的对称点，关于直线的对称点，当四点共线时，，周长取最小值，由此求解即可． 解：直线的解析式为， 当时，， 当时，，解得， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图，作点C关于y轴的对称点，关于直线的对称点， 由对称得：，，，，， ，， 如图，当四点共线时，，周长取最小值， 由勾股定理得，， 即周长的最小值是， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意和最短路线问题，作关于直线为对称点 ，连接，则的周长的最小；在根据勾股定理可求结果. 解：如图， ∵函数的图象与轴，轴分别交于两点 ∴ ∵点为直线上的动点，的周长的最小值 作关于直线为对称点 ，连接与直线交于点D，连接，则的周长的最小； ∴ ∵ ∴ 在中，根据勾股定理得： ∴ 故答案为：. 【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解． 解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，    ∵点关于轴的对称点， ∴，， ∵A点关于直线的对称点，， ∴，， ∴， 此时，值最小，最小值， ∵，， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 考点8：一次函数与几何图形的坐标规律探究 【题型11】一次函数图象上几何图形的坐标规律 【例题11】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、坐标的规律变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据点由轴对称可得点，再逐次由轴对称得，，……，由此即可归纳类推出一般规律，由此即可得，代入，即可求得点的纵坐标． 解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴， 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； ……， ∴， 当时，， 代入， 得， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．（结果要求最简形式） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点，依次求出，找出规律即可解决． 解：作轴于点， ∵均在直线上， ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得：， ， 同理，， ， 同理，， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是 ，第2025个阴影三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质并结合一次函数的性质得出，从而可得第个阴影三角形面积，再由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 解：观察题中一次函数图象，得当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以， …， 依次类推，， 所以第个阴影三角形面积， 所以当时，；当时，， 故答案为：，． 考点9：一次函数与几何综合的实际应用 【题型12】几何图形的周长与面积的一次函数建模 【例题12】（2025·河北邯郸·二模）如图，点M的坐标为，过点M作垂直于y轴的直线，分别交直线，，于点A，B，C．若一个等腰直角三角形的周长为c，设它的直角边长为x，则点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段BC在此处键入公式。上 D．点C右侧 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的特征等知识点，由题意得，．可推出，据此即可求解； 解：由题意得，． ， ∴点P在线段上． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第二象限内作正方形，在轴上有一个动点，当的周长最小的时候，点的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，理解轴对称的最值问题是解本题的关键．把和分别代入，求出，两点的坐标，过作垂直于轴，证，证出，，即可求出的坐标；先作出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，即可求解． 解：， 当时，， 当时，， 点的坐标为、的坐标为， ，， 由勾股定理得：， 过作垂直于轴， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， 所以点的坐标为， 同理：点的坐标为， 作关于轴的对称点，连接，与轴交于点， ，，此时取最小值， 点关于轴的对称点坐标为， 设的解析式为，代入，， ，解得， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出三角形的面积即可． 解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型13】几何路径的一次函数优化问题 【例题13】（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 【答案】 6 4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：6，4． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图1，点为平行四边形边上的点，点沿着的路径运动，设点运动的路径长为的面积为，如图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 解：根据点运动，可得， 设与间的距离是， 当点在上时，， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”． （1）如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； （2）如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 【答案】（1）点关于直线的“L距离”为；（2）点关于直线的“L距离”为. 【分析】本题考查了一次函数的坐标特征、函数图象的平移，解题的关键是根据“L路径”的定义，确定点、的坐标，进而计算“L距离”． （1）根据轴得的纵坐标为，代入直线的解析式求的横坐标，得的长度；根据轴得的横坐标为，代入直线的解析式求的纵坐标，得的长度，两者相加即“L距离”； （2）先根据平移规律得到直线的解析式，再同理确定、的坐标，计算与的长度和． 解：（1）解：∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴． ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴ ∴点关于直线的“L距离”为． （2）解：直线 向左平移个单位，得直线的解析式： ∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴ ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴． ∴点关于直线的“L距离”为． 答：（1）点关于直线的“L距离”为； （2）点关于直线的“L距离”为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.6 一次函数与几何综合专项训练（9大考点13类题型） 目录 考点1：一次函数与坐标轴围成的三角形问题 1 【题型1】求一次函数与坐标轴的交点坐标 1 【题型2】一次函数与坐标轴围成的三角形面积 2 考点2：一次函数与线段长度的综合 2 【题型3】已知一次函数上的点到坐标轴的距离 2 考点3：一次函数与轴对称图形的综合 3 【题型4】一次函数图象上点的轴对称变换 3 【题型5】一次函数图象的轴对称变换（求对称直线解析式） 3 考点4：一次函数与角的综合 4 【题型6】一次函数图象之间夹角问题 4 考点5：一次函数与存在性问题 4 【题型7】一次函数与存在性问题 4 考点6：一次函数与平移、折叠几何变换综合 6 【题型8】一次函数图象的平移与几何图形的结合 6 【题型9】一次函数与几何折叠问题 7 考点7：一次函数与几何最值问题 8 【题型10】一次函数图象为背景的与几何最值 8 考点8：一次函数与几何图形的坐标规律探究 9 【题型11】一次函数图象上几何图形的坐标规律 9 考点9：一次函数与几何综合的实际应用 10 【题型12】几何图形的周长与面积的一次函数建模 10 【题型13】几何路径的一次函数优化问题 11 考点1：一次函数与坐标轴围成的三角形问题 【题型1】求一次函数与坐标轴的交点坐标 【例题1】（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度，则所得的函数图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知一次函数图象经过点 （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【题型2】一次函数与坐标轴围成的三角形面积 【例题2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点，的坐标； （2）求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 考点2：一次函数与线段长度的综合 【题型3】已知一次函数上的点到坐标轴的距离 【例题3】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）点在直线上，且点到两坐标轴的距离相等，则点在第 象限． 【变式1】（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）若点A是函数图象上的一点，且到x轴的距离为3，则点A到y轴的距离是（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．或1 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 考点3：一次函数与轴对称图形的综合 【题型4】一次函数图象上点的轴对称变换 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知直线和另一直线交于点P，则点P关于x轴的对称点的坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知直线和另一直线交于点P，则点P关于x轴的对称点的坐标为 ． 【题型5】一次函数图象的轴对称变换（求对称直线解析式） 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如和是以为镜面直线的镜面点．和是一对镜面点，则镜面直线为 ． 【变式1】（24-25八年级下·北京·阶段练习）若直线与直线关于直线对称，则、值分别为： ， ． 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且点关于轴的对称点为点．一次函数的图象经过两点，且点在轴上，当线段时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点4：一次函数与角的综合 【题型6】一次函数图象之间夹角问题 【例题6】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线 与轴，轴分别交于，两点，点是第二象限内一点，连接，若，则直线的解析式为 ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 考点5：一次函数与存在性问题 【题型7】一次函数与存在性问题 【例题7】（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． （1）分别求出与的表达式； （2）已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． （1）求k的值； （2）如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值； （3）在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点6：一次函数与平移、折叠几何变换综合 【题型8】一次函数图象的平移与几何图形的结合 【例题8】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，过点在第二象限内作，且． （1）求点A、B、C的坐标： （2）将向右平移得到，点的对应点始终在轴上，当点的对应点落在直线，求平移的距离及的坐标． 【题型9】一次函数与几何折叠问题 【例题9】（24-25八年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴正半轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求点和点的坐标以及的长； （2）求点和点的坐标； （3）轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点7：一次函数与几何最值问题 【题型10】一次函数图象为背景的与几何最值 【例题10】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是、上的动点，则周长的最小值是 ． 【变式1】（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 考点8：一次函数与几何图形的坐标规律探究 【题型11】一次函数图象上几何图形的坐标规律 【例题11】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．（结果要求最简形式） 【变式2】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是 ，第2025个阴影三角形的面积是 ． 考点9：一次函数与几何综合的实际应用 【题型12】几何图形的周长与面积的一次函数建模 【例题12】（2025·河北邯郸·二模）如图，点M的坐标为，过点M作垂直于y轴的直线，分别交直线，，于点A，B，C．若一个等腰直角三角形的周长为c，设它的直角边长为x，则点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段BC在此处键入公式。上 D．点C右侧 【变式1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第二象限内作正方形，在轴上有一个动点，当的周长最小的时候，点的坐标是 【变式2】（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是 ． 【题型13】几何路径的一次函数优化问题 【例题13】（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图1，点为平行四边形边上的点，点沿着的路径运动，设点运动的路径长为的面积为，如图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”． （1）如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； （2）如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $