数学材料阅读题、情景题训练（新定义方向）-2026年中考一轮压轴复习（福建专用）

该初中数学中考复习资料聚焦新定义问题长难阅读题专题，覆盖二次方程、平面直角坐标系、跨学科、高年级知识点四大中考核心背景，通过“考点梳理-方法提炼-真题演练”三阶教学环节，帮助学生系统突破阅读理解与抽象建模难点，体现复习的针对性和系统性。 亮点在于以新定义题型为载体培养数学眼光与思维，如“幸运方程”问题引导学生从定义抽象数量关系，发展抽象能力与推理意识。每个考点配套典型例题与变式训练，通过“定义解读-关系转化-模型构建”三步策略，帮助学生高效掌握解题方法，既提升学生的应用意识与应考能力，也为教师提供精准复习的节奏把控指导。

2025-2026学年 九年级上学期数学材料阅读题、情景题训练（新定义方向）-中考一轮压轴复习（福建专用） 冬鞠 制作 新定义问题长难阅读题专题训练汇编 考点一 以二次方程为背景的材料阅读类问题 1．我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)，“幸运数”为 (3)或 【详解】（1）解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； （3）解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 考点二 以平面直角坐标系为背景的材料阅读类问题 2．在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    【答案】(1)①④ (2) (3) 【难度】0.15 【分析】（1）根据新定义直接画出符合条件的图象即可； （2）分析圆与点N轨迹的临界条件即可解决； （3）正确理解题目的存在性以及轨迹的动态问题即可找出两个临界从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得与， 此时点E坐标为， 点R坐标为， 故答案为：①④．    （2）解：如图，连接、，过点A作且， 连接，过点B作且， 连接、，过点作交于点J，过点F作交于点K，   ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，，，， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为点N轨迹，当圆与线段相切时，存在等腰直角，此时 点N是M关于l和线段的“对垂点”， ，，过点F作，有， ， ， ， 当圆往下平移至圆心与M点重合时，      此时点N与点E重合，t为最小值，， 综上所述，， 故答案为：． （3）解：如图，连接、、、，过点A作且，过点B作且，过点C作且，过点D作且，过点H作交于点J，过点G作交直线于点Q，过点作交直线于点U，取与交点为点V，连接、、、，    容易证得，，，， 即点N轨迹为正方形， 又，， 正方形在直线上运动， 当正方形平移至点E在直线上时，只存在一个“对垂点”，如下图，    此时点N坐标为，，， 当正方形继续向下平移直到点G与点重合时，此时只存在一个“对垂点”，如下图，    此时，， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形，动点与轨迹问题，勾股定理，圆的性质等知识点，准确找到主动点与从动点的几何关系并且构造相似从而找出从动点轨迹是解题的关键． 3．我们称抛物线从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点是，点的对应点是． (1)若点的坐标为，求点的坐标； (2)若． ①求点与的距离；（用含的式子表示） ②将抛物线向右平移个单位，记平移后的抛物线为抛物线．证明：当时，以点，，，为顶点的四边形是抛物线的“非递增四边形”． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【难度】0.4 【分析】（1）将点A的坐标代入即可求出m的值，得出抛物线表达式，再求出点B的坐标，最后根据旋转的性质，即可求解； （2）①将化为顶点式，得出顶点坐标，先求出点A的坐标，再根据二次函数对称性得出点M的坐标，进而根据旋转的性质得出点的坐标，最后得出，根据，即可求解；②根据题意可得，，，，则点在点的上方．求出直线 的函数解析式为．再进行分类讨论：当时，要证四边形是抛物线的“非递增四边形”，只需证当时，抛物线不在四边形内；当时，抛物线始终在的下方，因此四边形是抛物线的“非递增四边形”；当时，设点为抛物线上升部分的任意一点，则在抛物线的上升部分必定存在点的平移对应点，设，其中．过点作轴的垂线交抛物线于点，则，都在抛物线的上升部分，即，，则当时，抛物线的上升部分，始终在抛物线上升部分的下方，则始终在线段的下方． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， 将点A的坐标代入得：． ∴此时抛物线的解析式为． 令， 解得． ∵抛物线与轴交于点，且， ∴． ∴． ∵将绕点顺时针旋转，点的对应点是， ∴且点在轴的负半轴上． ∴． （2）解：①由得， ∴抛物线的对称轴为，顶点． ∵轴且点在抛物线上， ∴． ∴点与关于直线对称， ∴， ∴，． 如图，过点作轴的垂线，垂足为． ∵将绕点顺时针旋转，点的对应点是， ∴，． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵点在第四象限， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴与的距离． ②∵，，，， ∴． ∴点在点的上方． ∴轴，． ∴四边形是平行四边形，且边在边的下方． 设直线的函数解析式为， 将，分别代入中得 ，解得． ∴的函数解析式为． 当时，抛物线记为，解析式为，此时顶点为． 将代入中，得． ∴抛物线的顶点在直线上． ∵抛物线在时，从左向右下降；时，从左向右上升， ∴要证四边形是抛物线的“非递增四边形”，只需证当时，抛物线不在四边形内． ∵． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴当时，抛物线始终在的下方，因此四边形是抛物线的“非递增四边形”． 当时，设点为抛物线上升部分的任意一点，则在抛物线的上升部分必定存在点的平移对应点，设，其中．过点作轴的垂线交抛物线于点，则，都在抛物线的上升部分，即，． ∵对于抛物线，当时，随增大而增大， 又∵， ∴． ∴当时，抛物线的上升部分，始终在抛物线上升部分的下方，则始终在线段的下方． 综上所述，当时，四边形是抛物线的“非递增四边形”． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是理解题目所给定义，熟练掌握二次函数的相关知识，平移和旋转的性质，二次函数图象上点的坐标特征． 4．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数． (1)下列函数是偶函数的有___________（填序号）； ①；②；③． (2)已知二次函数（k为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数．新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若以为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式； (3)如图，已知偶函数经过，过点的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点分别作轴于点C，轴于点D，取的中点Q，连接，分别用表示的面积，若． ①证明： ②求直线的解析式．    【答案】(1)② (2) (3)①；②直线的解析式为：或； 【难度】0.4 【分析】（1）当和时函数值相等，即为偶函数，代入检验即可； （2）先根据偶函数的定义求出k的值，进而设平移后新函数的解析式为：，令，求得与x轴的交点，即可求解； （3）①过点Q作，交于F，交的延长线有G，作，可得，进而得出，即可求解；②先求出函数解析式为，设，则，设直线的解析式为：，代入A、B两点坐标可得，根据，可得即可求解． 【详解】（1）解：根据偶函数的定义：当和时函数值相等， ∵， ∴②是偶函数； （2）解：由题意得：， ， （舍）， ， ∴平移后新函数的解析式为：， 由得：， ∵以为直径的圆恰好经过点C， ， ， ； （3）证明：过点Q作，交于F，交的延长线有G，作，如图，    ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵的中点是Q， ， ， ， ∴， ， ∵， ； ②解：由图可得：， ∵经过， ∴，解得， ， 设，则， ∵ 直线过点， 设直线的解析式为：， ∴， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ∴直线的解析式为：或； 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及到的知识点有二次函数的图像性质、二次函数与轴交点问题，二次函数根与系数关系、一次函数，二次函数和面积问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的相关知识点． 5．小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2 （a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝－2x2＋5x－3函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由y＝－2x2＋5x－3函数可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： （1）写出函数y＝－2x2＋5x－3的“旋转函数”； （2）若函数y1＝x2＋ x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”，求（m＋n）2019的值； （3）已知函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝ (x－2)(x＋3)互为“旋转函数”． 【答案】（1） y＝2x2＋5x＋3 ;(2)1;(3)见解析. 【难度】0.4 【分析】（1）根据题目中的条件直接可以写出函数表达式（2）根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0的规律列出等式进行计算即可（3）函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求出点的坐标，再求出关于原点的对称点，进而求出经过对称点的二次函数，通过“旋转函数”的规律就可以证明两函数是互为“旋转函数”. 【详解】（1） y＝2x2＋5x＋3 ; .（2）∵y1＝x2＋x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”， ∴解得 ∴（m＋n）2019＝（3－2）2019 ＝1     （3）证明：当x＝0时，y＝ (x－2)(x＋3)，则C（0，－3）， 当y＝0时， (x－2)(x＋3)＝0，解得x1=2，x2=－3，则A（2，0），B（－3，0）， ∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1， ∴A1（－2，0），B1（3，0），C1（0，3），   可求过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝－ (x＋2)(x－3)＝－x2＋x＋3…8分 y＝ (x－2)(x＋3)＝x2＋x－3 ∵a1+a2＝＋(－)＝0，b1=b2=，c1+c2＝3＋(－3)＝0 ∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝ (x－2)(x＋3)互为“旋转函数” 【点睛】此题重点考查学生对二次函数的实际应用能力，掌握旋转函数的规律是解题的关键. 考点三 以跨学科知识为背景的材料阅读类问题 6．定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”； 定义2：如图2，在中，的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称为的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在中，，，三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上． (1)如图3，若FEBC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数； (2)如图4，在中，作于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D． ①证明：为的光线三角形； ②证明：的光线三角形是唯一的． 【答案】(1)30° (2)①证明过程见解析；②证明过程见解析． 【难度】0.65 【分析】(1)由“光学性质”定义得到∠DEC=∠FEA，由FEBC得到∠FEA=∠C=75°，最后在△DEC中由三角形内角和定理即可求解； (2)①根据定义一和定义二，证明∠BDF=∠CDE，∠AEF=∠DEC，∠AFE=∠BFD即可； ②如下图所示，根据光线三角形的定义得到∠1+∠3+∠5=180°，再由∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，进而得到△ABC的光线三角形是唯一的． 【详解】（1）解：由题意知，∠A=30°，AB=AC， ∴∠C=∠B=(180°-30°)÷2=75°， ∵DE和FE关于AC满足“光学性质”， ∴∠DEC=∠FEA， ∵FEBC， ∴∠FEA=∠C， ∴∠DEC=∠C=75°， ∴在△DEC中，由三角形内角和定理可知：∠EDC=180°-∠C-∠DEC=180°-75°-75°=30°， 故∠EDC=30°； （2）证明：①如下图所示，设AB的中点为O，连接OD， ∵∠A=30°，AB=AC， ∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB=75°=∠ACB， ∴OD∥AC， 又O为AB中点， ∴OD为△ABC的中位线，D为BC的中点， 又已知CF⊥AB， ∴由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可知：DF=DB=DC， ∴∠BFD=∠B=75°， ∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=30°， 又B、D、E、A四点共圆，由圆内接四边形对角互补可知： ∠BDE=180°-∠A=150°， 又∠BDE=∠DCE+∠DEC=75°+∠DEC， ∴∠DEC=75°， ∴∠CDE=180°-∠ACD-∠DEC=180°-75°-75°=30°， ∴∠BDF=∠CDE=30°， ∴直线DF和DE关于直线BC满足“光学性质”； ∵∠BFD=∠B=∠ACD=∠DEC=75°，且D为BC中点， ∴FD=BD=CD=DE， 且∠EDF=∠BDE-∠BDF=150°-30°=120°， ∴∠DFE=∠DEF=(180°-∠EDF)÷2=(180°-120°)÷2=30°， ∴∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-30°-75°=75°=∠DEC， ∴直线DE和FE关于直线AC满足“光学性质”； 同理：∠AFE=180°-∠BFD-∠DFE=180°-75°-30°=75°=∠BFD， ∴直线DF和EF关于直线AB满足“光学性质”， 由定义二可知：为的光线三角形． 证明：②如下图所示，△DEF是△ABC的光线三角形，下面证明唯一性： 由光线三角形的定义可知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6， 又∠B=180°-∠1-∠6， ∠C=180°-∠2-∠3， ∠A=180°-∠4-∠5， 将上述三个式子相加，得到： ∠B+∠C+∠A=540°-(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6)， 整理得到：∠1+∠3+∠5=180°， 由①中可知：∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定， 故△ABC的光线三角形是唯一的． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定、圆周角定理及其推论，本题属于新定义题，读懂题意，根据题意中的定义求解分析是解决本类题的关键． 考点四 以高年级知识点为背景的材料阅读类问题 7．一般地，个相同的因数相乘记为，如，此时叫做以为底的对数，记为：（（即 ，一般地，若 (且，），则叫做以为底的对数，记为（即）如则叫做以为底的对数，记为：（即） (1)计算下列各对数的值： ； ； ； (2)观察（1）中三数、、之间满足怎样的关系式？，和之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2），你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？ (4)根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 【答案】(1)，， (2)， (3) (4)见解析 【难度】0.65 【分析】（1）主要掌握幂的运算是关键，利用、和，即可得出结论； （2）结合题意结合幂的乘法法则，利用题中对数的定义得到、和，代入等式，即可得出结论； （3）将（2）中等式替换为字母表示，设为，为和为，即可整理得到一般规律为． （4）设，，利用幂乘积的运算 “底数不变指数相加” 得到，在利用对数转化，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， ， ，，． 故答案为，，． （2）由（1）可知， ，，， ， ，，，， ． （3）一般规律： ． （4）设，， 可得：，， 由幂乘积运算可知：， ，即． 【点睛】本题关键是掌握对数和指数的互相转化，即，转化为，其次，要掌握幂的运算． 8．【发现问题】 由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1）＞，＝； （2）2； （3）； （4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米； （5）四边形面积的最小值为． 【难度】0.15 【分析】本题主要考查阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． 【详解】解：（1）∵当，时， 有，即， 令，，则 ． 当且仅当，时，取“=”， 显然，， ∴． 同理可得，， 当且仅当，时，能取“=”， ∴． 故答案为：>，=． （2）当，令，， 则由，得 ． 当且仅当，时，即时，式子有最小值，最小值为2． ∴的最小值为：2． 故答案为：2． （3）∵， ∴， 则根据，得到 ， 当且仅当，时，， 又∵， ∴． 故答案为：． （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， （米）， ∵当且仅当时，的值最小， ∴或（舍）． ∴这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． （5）设点到的距离为，点到的距离为， 又∵、的面积分别是8和14， ∴， ∴ ∴ 。 当且仅当时，取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为． 9．若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；是 阶不等式组； (2)若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围； (3)关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 【答案】(1)0、1 (2) (3)； 【难度】0.4 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到的取值范围． 【详解】（1）∵没有正整数解， ∴是0阶不等式， 解可得1<x<3， ∴有一个正整数解2， ∴是1阶不等式组， 故答案为0，1； （2）如图， 由题意可得有4个正整数解：1、2、3、4； ∴的取值范围是； （3）∵， ∴x=，a3=， ∴m为偶数，且am-3=m-1， ∴+m-6=m-1， ∴m=10， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年 九年级上学期数学材料阅读题、情景题训练（新定义方向）-中考一轮压轴复习（福建专用） 冬鞠 制作 新定义问题长难阅读题专题训练汇编 考点一 以二次方程为背景的材料阅读类问题 1．我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 考点二 以平面直角坐标系为背景的材料阅读类问题 2．在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    3．我们称抛物线从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点是，点的对应点是． (1)若点的坐标为，求点的坐标； (2)若． ①求点与的距离；（用含的式子表示） ②将抛物线向右平移个单位，记平移后的抛物线为抛物线．证明：当时，以点，，，为顶点的四边形是抛物线的“非递增四边形”． 4．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数． (1)下列函数是偶函数的有___________（填序号）； ①；②；③． (2)已知二次函数（k为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数．新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若以为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式； (3)如图，已知偶函数经过，过点的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点分别作轴于点C，轴于点D，取的中点Q，连接，分别用表示的面积，若． ①证明： ②求直线的解析式．    5．小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2 （a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝－2x2＋5x－3函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由y＝－2x2＋5x－3函数可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： （1）写出函数y＝－2x2＋5x－3的“旋转函数”； （2）若函数y1＝x2＋ x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”，求（m＋n）2019的值； （3）已知函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝ (x－2)(x＋3)互为“旋转函数”． 考点三 以跨学科知识为背景的材料阅读类问题 6．定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”； 定义2：如图2，在中，的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称为的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在中，，，三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上． (1)如图3，若FEBC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数； (2)如图4，在中，作于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D． ①证明：为的光线三角形； ②证明：的光线三角形是唯一的． 考点四 以高年级知识点为背景的材料阅读类问题 7．一般地，个相同的因数相乘记为，如，此时叫做以为底的对数，记为：（（即 ，一般地，若 (且，），则叫做以为底的对数，记为（即）如则叫做以为底的对数，记为：（即） (1)计算下列各对数的值： ； ； ； (2)观察（1）中三数、、之间满足怎样的关系式？，和之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2），你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？ (4)根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 8．【发现问题】 由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 9．若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；是 阶不等式组； (2)若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围； (3)关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $