实际问题长难阅读题专题训练 -2026年九年级中考一轮压轴复习（福建专用）

2025-2026学年 九年级上学期数学材料阅读题、情景题训练（实际问题方向）-中考一轮压轴复习（福建专用） 冬鞠 制作 实际问题长难阅读题专题训练汇编 考点一 以勾股定理为背景的实际问题长难阅读解决 1．《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”） 其文如下： 题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ 答：方三步，十七分步之九． 术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？ 答案：． 解法：． (1)根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明； (2)应用（1）中的命题解决问题：某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示．其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆．该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为．考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的，，，四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为．去年的规划方案是否可行？请说明理由．    2．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形． (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 考点二 以一次函数/二次函数为背景的实际问题长难阅读解决 3．【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量 0 10 30 60 实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示剩余电量 100 60 50 30 【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为____________，e关于s的函数表达式为_____________； 【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（s）和显示剩余电量（e）的函数关系如下图所示： ①该车到达B地时，显示剩余电量e的值为________；该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为_______． ②该车中途充电用了多少分钟？ ③当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地多少千米？ 4．太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 5．项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ． （2）如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为 其目标矩形的纵横比 ． 【联系实际】 （3）如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，C到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 【应用拓展】 （4）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． （5）据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．  （救生圈大小忽略不计） 6．如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． (3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： 7．某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为，宽度为6米，现以地面（所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？ （3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”（由四根木杆组成），使，两点在抛物线上．，两点在地面上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？ 8．某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 9．如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． 10．某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图①是某“实践小组”制作的桥梁模型，图②是该模型简化后在平面直角坐标系（以O为原点，桥面，所在直线为x轴，上、下桥拱最高点E，F所在直线为y轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案： ①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱所在抛物线的函数表达式为； ②上、下桥拱最高点E，F之间的距离为10； ③上桥拱的点A，B到原点O的距离均为40，下桥拱的点C，D到原点O的距离均为15． (1)求下桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．已知点M，N（点M在点N的左侧）均在直线上，点P，Q在上桥拱上（点P，Q关于y轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请求出点M，N的坐标． 11．为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 12．综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 13．在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． (1)c的值为__________，B点的坐标是__________． (2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 14．蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，且抛物线的顶点，请回答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图3，在某一时刻，经过A点的太阳光线恰好照射到C点处，此时大棚截面的阴影为，求的长． 15．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； (3)在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），请直接写出的取值范围_____． 16．根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 17．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 考点三 基础实际问题长难阅读解决 18．某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 19．汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： (1)求充电站的宽的长； (2)该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年 九年级上学期数学材料阅读题、情景题训练（实际问题方向）-中考一轮压轴复习（福建专用） 冬鞠 制作 实际问题长难阅读题专题训练汇编 考点一 以勾股定理为背景的实际问题长难阅读解决 1．《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”） 其文如下： 题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ 答：方三步，十七分步之九． 术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？ 答案：． 解法：． (1)根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明； (2)应用（1）中的命题解决问题：某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示．其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆．该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为．考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的，，，四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为．去年的规划方案是否可行？请说明理由．    【答案】(1)命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”边长是，见解析 (2)去年的规划方案可行，见解析 【难度】0.4 【分析】（1）先根据题意写出命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，那么该直角三角形的“勾容正方形”边长是；再根据正方形的性质以及相似三角形的判定和性质解答； （2）如图①，先根据菱形的性质和“勾容正方形”边长的结论求出米，然后在图②中求出米，利用勾股定理求出米，再利用角的代换和解直角三角形的知识求出即可解决问题. 【详解】（1）命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，那么该直角三角形的“勾容正方形”边长是． 已知：如图，在中，，，.四边形是正方形，且点，，分别在边，，上， 求证：．    证明：∵四边形是正方形， ∴，. ∴. ∴. ∴． ∴． （2）去年的规划方案可行，理由如下： 设菱形场地的两条对角线长分别为米，米， 由题意得，化简得. 如图①，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“勾容正方形”的边长． 由（1）得米．    如图②，∵是的中点， ∴米． ∵四边形是正方形， ∴米，. ∴，且在中，米.    ∴，． ∵是的中点， ∴米. 延长，交于点. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴，. ∴在中，. ∴米． ∴米． ∵， ∴. ∴在中，. ∴米． 所以去年的规划方案可行． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 2．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明见解析 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设, 则, 利用题中给出的信息，分别求出, 然后分别验证选项是否成立即可. 【详解】（1）解：根据题意可得， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得：， 故答案为：； （2）解：图7中还有黄金矩形， 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； （3）解：在黄金矩形中，设, 则, ， , , 同理可得, ， . 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点二 以一次函数/二次函数为背景的实际问题长难阅读解决 3．【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量 0 10 30 60 实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示剩余电量 100 60 50 30 【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为____________，e关于s的函数表达式为_____________； 【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（s）和显示剩余电量（e）的函数关系如下图所示： ①该车到达B地时，显示剩余电量e的值为____________；该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为_____________． ②该车中途充电用了多少分钟？ ③当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地多少千米？ 【答案】（1），；（2）①10，40；②30分钟；（3）160或280或240千米 【难度】0.65 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）①根据图象和表格数据直接解答即可； ②先求得离开服务区走完剩余路程千米时，需要耗电量，结合该车到达B地时，显示剩余电量为，可求得增加的为，利用（1）中解析式求解充电时间即可； ③分当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时和当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时，当汽车在服务区充电时，三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，设y关于t的函数表达式为， 将、代入，得： ，解得， ∴y关于t的函数表达式为； 设e关于s的函数表达式为， 将、代入，得：， 解得， ∴e关于s的函数表达式为， 故答案为：；； （2）①由图知，该车到达B地时，显示剩余电量e的值为10； 将代入代入中，得， ∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为40， 故答案为：10，40； ②离开服务区走完剩余路程千米时，需要耗电量，又知该车到达B地时，显示剩余电量为， ∴增加的电量为，即， ∴， 即该车中途充电用了30分钟； ③当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时，由表格数据得此时该车距出发点A地160千米； 当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时， ∵离开服务区时的剩余电量为，汽车显示剩余电量e的值为60时，耗电量为， ∵每千米耗电量为， ∴耗电量行驶的路程为千米， 故此时该车距出发点A地千米， 当汽车在服务区充电时，汽车显示剩余电量e的值为从40变为70， ∴此时当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地240千米； 综上，当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地160或280或240千米． 4．太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 【答案】(1)小明家所需的遮阳棚的跨度为2 (2)当时，d取得最大值为0.35 【难度】0.4 【分析】（1）过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； （2）将点N坐标代入得，，令，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； （2）解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 依题意可得： 由（1），， ， ， ， ， 由题意得：B到x轴距离为， 则， 将代入， 得， 令， ， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，w取得最大值为0.45， ， ， ∴当时，d取得最大值为0.35． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键． 5．项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ． （2）如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为 其目标矩形的纵横比 ． 【联系实际】 （3）如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，C到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 【应用拓展】 （4）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． （5）据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．  （救生圈大小忽略不计） 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）可挂6个，最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为；（5）． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、运用待定系数法求函数解析式、二次函数的应用等知识点，是读懂题意、理解目标矩形和纵横比是解题的关键． 概念理解： （1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比； （2）根据目标矩形的纵横比的定义，可得线段的目标矩形纵横比； 联系实际： （3）由点C到的距离为5米，知，又抛物线目标矩形的纵横比，可得，，，再用待定系数法得； 应用拓展： （4）抛物线，得与横轴交点、，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由得桥面可挂6个，进而确定最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （5）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，在中，勾股定理求得长度即可． 【详解】解：概念理解： （1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， ∴目标矩形的纵横比； 故答案为：1； （2）根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比． 故答案为：； 联系实际： （3）如图： ∵点C到的距离为5米，， ∴， ∵抛物线目标矩形的纵横比， ∴，解得：， ∵抛物线关于y轴对称， ∴、， 设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得：， ∴； 应用拓展： （4）∵如图2：相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴对称， ∴， ∴左侧可挂3个，桥面可挂6个． ∵最左侧位于拱面上方处， ∴最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为． （5）如图3，当水位达到最高时，水位线为． ∵救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方， ∴当时，，，， 在中，由勾股定理得：． 答：救生绳至少需． 6．如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． (3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的图象一性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出悬挂灯笼的两个端点的距离大约是，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 设点的坐标是，则有撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需撑杆长度和的最大值为； 因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 【详解】（1）解：，， 抛物线顶点的坐标是， 为的中点，， 点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 则有， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是， 则，， 则撑杆的长度和是， 整理得：， 当时，所需撑杆长度和的最大值为； （3）解：当时，可得：， 整理得：， ，， 最多可以悬挂灯笼的数量是个． 7．某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为，宽度为6米，现以地面（所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？ （3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”（由四根木杆组成），使，两点在抛物线上．，两点在地面上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？ 【答案】（1）（2）米（3）最多需要准备米该种木杆． 【难度】0.65 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把抛物线的解析式设成顶点式，再代入，求得结果； （2）令，求出的解，再求其横坐标之差的绝对值便可； （3）设，用表示矩形的周长，根据周长关于的函数解析式求出其最大值便可． 【详解】解：（1）由题意知抛物线的顶点坐标为，则 设抛物线的解析式为：， 抛物线上有一点， ， ， 抛物线的解析式为， 即； （2）当时，， ， 解得，，， 该横幅的宽度为：（米， 答：该横幅的宽度为米； （3）设 四边形是矩形， ， 根据抛物线的轴对称性，可得：， ，即， 令． 当，最大值为13， 、、、的长度之和最大值为13米， 答：最多需要准备13米该种木杆． 8．某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或 【难度】0.4 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 9．如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用顶点式求抛物线的解析式，二次函数和几何图形，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用顶点式求抛物线的解析式即可； （2）根据给出的条件分析几何图形，找出边之间的数量关系，根据求出的二次函数的解析式设点，则点，最后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得点，且为轨道AB所在抛物线的顶点， 可设该抛物线的表达式为，代入点， ， 解得， 轨道AB所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得． 由题意，易得． ， ， ． 设点，则点， ． 设轨道两侧需要的支架材料的长度为， ． 当时，的最小值为． 答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为15.5m． 10．某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图①是某“实践小组”制作的桥梁模型，图②是该模型简化后在平面直角坐标系（以O为原点，桥面，所在直线为x轴，上、下桥拱最高点E，F所在直线为y轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案： ①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱所在抛物线的函数表达式为； ②上、下桥拱最高点E，F之间的距离为10； ③上桥拱的点A，B到原点O的距离均为40，下桥拱的点C，D到原点O的距离均为15． (1)求下桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．已知点M，N（点M在点N的左侧）均在直线上，点P，Q在上桥拱上（点P，Q关于y轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请求出点M，N的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为，点N的坐标为 【难度】0.65 【分析】本题考查二次函数的应用．得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本题的关键． （1）由得F的坐标，从而得出点C、点D的坐标，设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为，再运用待定系数法求解即可； （2）先画出图形，设点的坐标为，得点的坐标为．点的坐标为，可得，，由矩形的周长为57.5可得方程，解方程求出m的值可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得，． ，， ． ∵下桥拱的点C，D到原点O的距离均为15． ∴， ，． 设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为， 由图象经过点，可得，解方程，得． 下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； （2）解：矩形如图所示． ，（点在点的左侧）均在直线上， 设点的坐标为，则点的坐标为． 由矩形，得轴， 点的坐标为， ，， 由矩形的周长为57.5，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 点的坐标为，点的坐标为． 11．为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】(1)抛物线花边的函数表达式为： (2)一排中最多可摆放的花边个数为个 【难度】0.65 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数与轴的交点的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，将抛物线向上平移个单位，计算次数抛物线与轴的交点，两交点之间的距离，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 设“抛物线型”花边的解析式为， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线花边的函数表达式为：； （2）解：如图所示， 已知， ∴， ∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位， ∴， 令时，， 解得，， ∴， ∴， ∴一排中最多可摆放的花边个数为个． 12．综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【难度】0.4 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 13．在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． (1)c的值为__________，B点的坐标是__________． (2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 【答案】(1)65， (2) (3)当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40 【难度】0.65 【分析】（1）根据，得出当时，，将代入二次函数解析式，求出，即可得出B点的坐标； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出直线的解析式为，表示出，根据二次函数的性质得出当时，取得最大值，此时，把代入中，解得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 当时，， ． 将代入二次函数解析式得： ， 点的坐标为． 故答案为：65；． （2）解：设关于的函数解析式是， ∵点，，在该函数图象上， ∴， 解得， 关于的函数解析式是． （3）解：设直线的解析式为， 点，点在该直线上， ∴， 解得：， 直线AB的解析式为． ． 当时，取得最大值，此时． 将代入中，解得，即当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40． 【点睛】本题考查二次函数的应用，属抛物线与一次函数的综合题目，熟练掌握用待定系数法求抛物线的解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质是解题的关键． 14．蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，且抛物线的顶点，请回答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图3，在某一时刻，经过A点的太阳光线恰好照射到C点处，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)两个正方形装置的间距的长为1.12m (3)的长为 【难度】0.65 【分析】（1）根据抛物线顶点位置设抛物线解析式为，将点和代入即可求得解析式； （2）由题意可知时，求得对应的x，即可知和的坐标，则有，可得． （3）利用待定系数法求得直线的解析式．结合题意设直线解析式为，与二次函数联立令时，解得，可得直线解析式，求得点K即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点， ∴设抛物线解析式为， 由题意得，，代入抛物线解析式得， 解得， 则抛物线解析式为． （2）解：当时， ，解得，（舍去）， ∴，， 则，． 答：两个正方形装置的间距的长为1.12m． （3）解：由题意得，当光线与抛物线仅有一个交点M时，这个交点的影子为点K． ∵，，， 设直线：， 则解得 ∴直线：． 因为太阳光线是平行光线，所以，设直线：， 联立 ，即， 当时，抛物线与直线有一个交点，所以 解得， 则直线：， 令，解得， ∴， 则． 那么，的长为． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析式、求对应自变量的值、待定系数法求一次函数解析式和的意义，解题的关键是熟悉二次函数的性质和与一次函数联立时的临界值． 15．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； (3)在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)，， (2)该运动员此次跳水会失误． (3) 【难度】0.4 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标． （2）由题意知，当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可． （3）由题意知，，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过，求解当抛物线经过点，当抛物线经过点时的解析式，从而可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， ∵ 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为． （2）解：当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为． 将代入中， 得． ， 该运动员此次跳水会失误． （3）解：∵，，， ∴，， 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过， 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； ∵出水点在之间（包括，两点） ∴． 16．根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【难度】0.65 【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点． （1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【详解】解：任务一：建立坐标系， 由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点， 设地物的解析式为， ， ， 故抛物线的解析式为； 任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于． 令， 解得：或， 因此安装点的横坐标取值范围； 任务三：由于，因此最多可以安装条灯带， 由对称性可得最右边灯带的横坐标为， ， 故最右边灯带安装点的坐标为． 17．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.65 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 考点三 基础实际问题长难阅读解决 18．某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 【答案】问题：；问题：示意图见解析，个 【难度】0.65 【分析】问题，求出所有可能情况，再求出乙在社科阅览室的情况，根据概率公式计算即可； 问题，因为两种方式，每个座位所占面积相同，但方式需要的过道少于方式，所以尽量多用方式，因为桌子四周要留出通道，所以方式的面积相当于，方式的面积相当于，空间大小为，使空余空间最小的方案，即为所求． 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率以及图形规划，按照换算后的占地面积来进行规划是本题解题的关键． 【详解】解：问题：设分别用A、B、C表示三个座位，其中A、B为人文阅览室的两个座位，C为社科阅览室的座位，画树状图如下： 由图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的结果数有2种， ∴甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率为； 问题：，， 两种方式每个座位面积相同， 方式需要的通道少于方式， 尽量选择方式， 桌子四周都要留出通道， 方式所占面积相当于，方式所占面积相当于，能够放置桌子的面积为， ，，， ∵，， 纵向采用两个，个或个最利用空间， ， 横向排排， 采用纵向两个，个，如图： 座位总数为：个． 答：总座位数为个． 19．汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： (1)求充电站的宽的长； (2)该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的性质，看懂题意是解答的关键． （1）先根据已知求得，再在中，利用正弦定义求解即可； （2）分别在和中，利用锐角三角函数求得，，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 在中，，， ∴， 答：充电站的宽的长约为； （2）解：根据题意，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：的长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $