第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》 单元测试卷（含答案） （满分：150分 时间：120分钟） 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点坐标为（　　） 　A． 　　　B． 　C． 　　　D． 2. 已知向量 ， ，则 （　　） 　A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．15 3. 若向量 构成空间的一个基底，则下列向量组中一定能构成空间基底的是（　　） 　A． 　B． 　C． 　D． 4. 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 的位置关系是（　　） 　A．平行　　　B．垂直　　　C．在平面内　　　D．斜交 5. 在正方体 中，设棱长为 1，以 为原点， 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系，则向量 的坐标为（　　） 　A． 　　　B． 　C． 　　　D． 6. 已知空间三点 ，则 的面积为（　　） 　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 7. 设平面 的一个法向量为 ，点 到平面 的距离为 2，则平面 的一个可能方程是（　　） 　A． 　　　B． 　C． 　　　D．以上都可能 8. 在四面体 中， ，点 是 的中点，点 在 上且 ，则 （　　） 　A． 　B． 　C． 　D． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 下列命题中正确的是（　　） 　A．若 ，则 或 　B．空间任意三个不共面的向量可作为空间的一个基底 　C．若 ，则存在唯一实数 使得 　D．向量的数量积满足分配律： 10. 已知向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值可以是（　　） 　A． 　　　B．0　　　C．1　　　D．2 11. 在正方体 中，下列结论正确的是（　　） 　A． 　B． 　C．异面直线 与 所成角为 　D．向量 构成空间的一个正交基底 12. 关于空间向量的应用，下列说法正确的是（　　） 　A．可用向量法求点到平面的距离 　B．可用方向向量与法向量的夹角求线面角 　C．两个平面的夹角等于它们法向量的夹角 　D．若两直线的方向向量共线，则这两条直线平行或重合 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量 ，则与 同方向的单位向量为 __________。 14. 已知点 ， ， ，若点 满足 ，则点 的坐标为 __________。 15. 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 __________。 16. 在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， ， ， 。以 为原点建立空间直角坐标系，则平面 的一个法向量为 __________。 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）已知向量 ， 。 （1）求 ； （2）求 在 方向上的投影数量。 18.（12分）如图，在直三棱柱 中， ， ， 。以 为原点， 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系。 （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求点 到平面 的距离。 19.（12分）在四棱锥 中，底面 为正方形，边长为 2， 平面 ，且 。 （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值。 20.（12分）已知空间三点 ， ， 。 （1）判断 是否共线； （2）若点 满足 ，求四面体 的体积。 21.（12分）如图，在正方体 中，棱长为 2， 为 的中点， 为 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 22.（12分）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 。 （1）求证：平面 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 参考答案及评分标准 一、单项选择题 1. A　　 2. D　　 3. C　　 4. A　　 5. B　　 6. A　　 7. D　　 8. B 二、多项选择题 9. BD　　 10. CD　　 11. BCD　　 12. ABD 三、填空题 13. 14. 15. 16. （或任何非零倍数，如 四、解答题（简要答案） 17.（1） 　（2）投影数量 = 18.（1） 　（2）距离 = 19.（1）证明： 已知底面ABCD为正方形，因此对角线。 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以。 由于，且AC, 平面PAC，根据线面垂直的判定定理，可得平面PAC。 　（2）求二面角的余弦值 以A为原点，分别以AB, AD, AP所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系。 各点坐标：A（0,0,0），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,2,0），P（0,0,2）。 向量。 设，则： 解得，取。 向量。 设，则： 解得，取，则。 二面角的余弦值可通过两个法向量的夹角公式计算： 代入得： 结合二面角的实际空间位置，该二面角为钝角，因此余弦值为 20.（1）不共线（向量不共线） 　（2）体积 = 21.（1）证 与平面法向量垂直 　（2）正弦值 = 22.（1）证 且 平面 ⇒ 两平面垂直 　（2）存在， 学科网（北京）股份有限公司 $