精品解析：四川省凉山彝族自治州2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

凉山州2026届高中毕业班第一次诊断性考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，是其前n项和，若，，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 15 5. 已知是定义在 上的函数，．当 时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前4项是关于x的方程的根，则数列的前4项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 若函数有三个零点，则 10. 在空间四边形ABCD中，，，则（ ） A. 若M为CD的中点，则 B. 直线AD与BC所成角的余弦值为 C. D. 空间四边形ABCD外接球的表面积为 11. 费马大定理，别称费马猜想、费马最后定理，是指当正整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．若正整数n使得方程有正整数解，称n为“和谐数”．则下列说法正确的有（ ） A. 3是“和谐数” B. 2是“和谐数” C. 若n是“和谐数”，则也是“和谐数” D. 不超过2025的“和谐数”有1350个 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则______． 13. 已知，则__________. 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的值． 16. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 17. 已知函数 ． （1）若函数在处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数在单调，求a的取值范围； （3）当时，若（其中是函数的导函数），求证： ． 18. 如图，在四棱锥中， ， 为等边三角形，四边形为直角梯形，，，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为． （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点P是抛物线 的准线上任意一点，过P作的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）若直线AB与交于C，D两点，记，分别是 ，的面积，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州2026届高中毕业班第一次诊断性考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可得集合. 【详解】由可得，解得 ，即， 又因为，故. 故选：C. 2. 已知复数z满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】依题意得， 故. 故选：C. 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 4. 在等差数列中，是其前n项和，若，，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【详解】在等差数列中，， 依题意，，即， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：D 5. 已知是定义在 上的函数，．当 时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的周期性，再利用周期性将转化为已知区间内的函数值. 【详解】依题意函数满足，可得，即函数的周期为， 因此， 当 时，，由，且，得， 因此. 故选：B. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式和诱导公式化简等式，结合角的范围求解. 【详解】原等式可化为，即， 因为，所以，所以， ， . 故选：A. 7. 已知等比数列的前4项是关于x的方程的根，则数列的前4项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助韦达定理求出方程根的关系，再将数列的前4项和通分计算即可. 【详解】设方程的根分别为，方程的根分别为， 则数列的前四项组成的集合为, 根据韦达定理可知，， 所以，故数列的前4项和为， 故选：D. 8. 已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线 的对称点的轨迹，再利用两圆的有公共点关系列式求出范围. 【详解】设点关于直线 的对称点，则线段的中点在直线 上， 又，直线 的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点 为圆心， 为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 若函数有三个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断A；分别计算和即可判断B；代入运算化简得判断C；由题意与有三个交点，数形结合即可求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，， 所以不是奇函数，错误； 对于B，，则，所以， 又，所以，正确； 对于C，，则， ， 所以，正确； 对于D，若函数有三个零点，则即有三个解， 所以与有三个交点， ，则，令得或，令得， 所以的增区间为和，减区间为， 且，作出图象如下： 由图可知，要使与有三个交点，则，所以， 所以，错误. 故选：BC 10. 在空间四边形ABCD中，，，则（ ） A. 若M为CD的中点，则 B. 直线AD与BC所成角的余弦值为 C. D. 空间四边形ABCD外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算以为基底计算即可判断A；根据空间四边形的棱长结合余弦定理计算的值，从而利用空间向量的线性运算与数量积计算，即可判断B；计算，从而得数量积即可判断C；根据空间四边形的对棱长度相等，将几何体补成长方体，按照长方体计算外接球的表面积即可判断D. 【详解】 对于A，若M为CD的中点，则，故A正确； 对于B，因为，，所以由余弦定理得： ， 又，所以， 故直线AD与BC所成角的余弦值为，故B不正确； 对于C，因为，又， 所以，则，故C正确 ； 对于D，由于空间四边形ABCD中，，， 所以如下图将空间四边形ABCD补成长方体， 则空间四边形ABCD外接球即长方体的外接球， 所以外接球半径 所以外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 费马大定理，别称费马猜想、费马最后定理，是指当正整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．若正整数n使得方程有正整数解，称n为“和谐数”．则下列说法正确的有（ ） A. 3是“和谐数” B. 2是“和谐数” C. 若n是“和谐数”，则也是“和谐数” D. 不超过2025的“和谐数”有1350个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据费马大定理可判断A的正误，根据特例可判断B的正误，根据代数恒等变形可证也是“和谐数”，故可判断C的正误，根据BC可判断D的正误. 【详解】对于A，由费马大定理无正整数解，故3不是“和谐数”，故A错误. 对于B，因为，故的一组正整数解为， 故2是“和谐数”，故B正确. 对于C，若n是“和谐数”，则有一组正整数解为， 故，故即， 故有一组正整数解为， 故也是“和谐数”，故C正确. 对于D，有一组正整数解为， 故是“和谐数”，由C可得也是“和谐数”，共有个； 由B可得2是“和谐数”， 由C可得也是“和谐数”，共有个； 当正整数时，若有正整数解， 则对应正整数解，故为“和谐数”， 这与A中判断矛盾，故正整数不是“和谐数”， 故不超过2025的“和谐数”有个，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，然后通过点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离：. 故答案为：2. 13. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据，表示出 ，根据对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2. 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】化简题目条件得，构建函数，因为 是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值. 【详解】由， 整理得， 化简得：， 设函数，可知函数在内单调递增， 由可得，即，代入得， 令， 令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 故当  时， 取得最小值，此时 ，最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数表达式通过半角公式与两角和的正弦公式化简为含正弦函数的线性形式；利用正弦函数在给定区间上的单调性与取值范围，结合整体代换求得函数的值域. （2）由已知函数值结合特殊角的三角函数解得角的大小；利用余弦定理建立三边关系，结合给定等式消元得到边的比例；最后通过正弦定理将角的正弦比转化为边之比，从而计算出的值. 【小问1详解】 已知，， 化简得：， 整理得：，， 又，， 所以，函数的值域为． 【小问2详解】 由得，， 由余弦定理得：， 又，，即， ，即， ． 16. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以． 17. 已知函数 ． （1）若函数在处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数在单调，求a的取值范围； （3）当时，若（其中是函数的导函数），求证： ． 【答案】（1） （2） （3）当 时， ，， 令 ，得， ，是方程 的两个根． 由根与系数的关系得： ，即， 又， ， ， 令， ，则 ， ， 在 上为增函数， ， 从而 ． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，结合两直线垂直的斜率关系，利用导数的几何意义列式即可求解； （2）由已知得 在 上恒成立，参变分离得在 上恒成立，利用基本不等式求解即可； （3）由题意，利用韦达定理得，进而利用基本不等式得 ， ，令，则 ，利用导数法求解值域即可证明. 【小问1详解】 因为 ，所以， 由直线的斜率为 ，得 ， ， ，解得 ． 【小问2详解】 由已知得 在 上恒成立， 即 ，即在 上恒成立，， ，当且仅当时即等号成立， ， a的取值范围为 ． 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中， ， 为等边三角形，四边形为直角梯形，，，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为． （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 则， ， 又，平面，平面， 平面，． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由线面垂直得到； （2）（ⅰ）过点作，根据体积公式求解； （ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，又 且，平面， 平面，平面，， 又由（1）知：平面，而平面， 平面平面， 过点作，垂足为． 平面平面，平面，平面， 所以与平面所成的角为，即， ，，， 故四棱锥的体积． （ⅱ）以为坐标原点， 所在直线为 轴，在平面内， 与平行的线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则，， 又平面ACD的法向量为，， 所以，二面角余弦值为． 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点P是抛物线 的准线上任意一点，过P作的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）若直线AB与交于C，D两点，记，分别是 ，的面积，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）如图所示， 设 ， ， ，， 显然抛物线在点A处的切线斜率存在且不为0， 设点A处的切线方程为 ，则由， 得 ， 由 ，得 ，解得， 在点A处的切线方程为 ，即 ， 同理得点B处的切线方程为 ， 设 ，由题意得，即直线AB的方程为 ， 所以，直线AB过定点 ． （ⅱ） ． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的蒙日圆半径、离心率列等式求解a、b即可； （2）（ⅰ）设 ， ，求出两条切线的直线方程，设 ，根据P点在两条切线上列出对应的等式，进一步比较等式的形式及结合A、B在直线AB上可得AB的方程，再据此求出直线AB所过的定点； （ⅱ）设直线AB的方程为 ，利用弦长公式求出、 关于t的表达式，进一步得到关于t的表达式，最后结合对勾函数的图像性质即可证明． 【小问1详解】 如图所示， 显然直线 ， 与相切，且相互垂直，则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得， ， ． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设直线AB的方程为 ，由得 ， ， ， 从而 ， 又由得 ， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知 在 上单调递增， 所以，所以取值范围为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $