空间向量与立体几何中的创新定义 专项训练--2026届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何 数学 四维·创新定义 定向解读 空间向量与立体几何作为高中数学的核心内容，其定义和内涵随着数学发展不断演进。创新定义不仅拓展了空间向量与立体几何的理论边界，更深刻影响了数学教育、工程实践和科学研究。创新定义通过打破传统空间向量与立体几何框架，不仅丰富了数学理论内涵，更成为检验学生数学思维与创新能力的重要手段。掌握空间向量与立体几何新定义的理解与应用方法，对提升数学综合素养和解决实际问题能力至关重要。 创新定义对于空间向量与立体几何的影响： 1. 概念扩展与理论创新：（1）空间向量的新定义；（2）立体几何的新定义。 2.教学实践与高考改革：（1） 教学范式转变；（2）高考创新题型。 3. 跨学科应用与技术融合：（1）工程与物理领域；（2）艺术与设计；（3）人工智能。 试题精研 1.在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”A，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”.若，则向量的斜坐标为( ) A. B. C. D. 3.对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是( ) A. B. C. D. 4.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为( ) A. B. C. D. 5.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条．如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的公垂线段，r为四面体ABCD的内切球半径，则( ) A. B. C. D. 6.从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”.下列几何体可以“一笔画”的是( ) A. B. C. D. 7.世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体的棱长为a，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为__________. 8.类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，.若，则二面角的余弦值为________. 9.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面所成二面角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为_____． 10.定义：多面体M在点P处的离散曲率为，其中P为多面体M的一个顶点，（，且）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面、平面、…、平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，. (1)求四棱锥在顶点C处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若Q是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围. 答案以及解析 1.答案：C 解析：取的中点G，连接，， 因为，所以（或其补角）即为与所成的角，因为，，，所以，即与所成角的余弦值为. 故选：C 2.答案：D 解析：由题设，，， 所以，则， 所以，其对应坐标为.故选：D 3.答案：D 解析：根据空间向量基本定理及题意知这三个向量，，不共面，即这三个向量能构成空间的一个基底. 对于A，三个向量，，对应坐标的竖坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故A错误； 对于B，三个向量，，对应坐标的纵坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故B错误； 对于C，三个向量，，对应坐标的横坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故C错误； 对于D，设空间中任意向量为，，，， 则存在唯一的有序实数组，使，则为“空间基本点集”，故D正确故选：D 4.答案：D 解析：如图，连接，，设，连接，则平面，取的中点M，连接，， 则由正四棱锥的结构特征可知，，所以为侧面与底面所成的角， 设，则，在中，，所以，又，所以，所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，所以顶点S的每个面角均为，故正四棱锥在顶点S处的曲率为. 故选：D. 5.答案：A 解析：设四面体ABCD的体积为V，表面积为S，则根据等体积法得．又，由于AD是异面直线AB和CD的公垂线段，所以，， 所以，则，将四面体补全成直三棱柱，可得，所以，整理得.故选：A. 6.答案：C 解析：根据题意，从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”，从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，只要是偶点组成的图形一定可以一笔画，C选项正确；从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，只要是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画，而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.故选：C. 7.答案： 解析：勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心O，如图： 正外接圆半径，正四面体的高，令正四面体的外接球半径为R，在中，，解得，此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 图中取正四面体中心为O，连接交平面于点E，交曲面于点F，其中即为正四面体外接球半径，因为点均在以点B为球心的球面上，所以，设勒洛四面体内切球半径为r，则由图得.故答案为： 8.答案：/ 解析：连接，，由已知在中， 又因为O是，的中点，所以，，又且都在平面内，所以平面，所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得，所以，则，设二面角为，由三面角定理得，即， 即，所以.故答案为：. 9.答案： 解析：如图，连接，设，连接，则平面， 取的中点M，连接， 则由正四棱锥的结构特征可知，，所以为侧面与底面所成的角，设，则，在中，，所以，又，所以，所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为，故正四棱锥在顶点S处的曲率为. 故答案为：. 10.答案：(1) (2) (3) 解析：（1）因为平面，平面，所以， 因为，则. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得. （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 设四棱锥的表面积为， 则 . 设四棱锥的内切球的半径为r，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积. （3）如图，过Q点作交于点G，连接， 因为平面，所以平面，则为直线与平面所成的角. 易知，当Q与B重合时，； 当Q与B不重合时，设， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，所以，则， 所以. 当分母最小时，最大，即最大， 此时（Q与P重合）， 由，得，即， 所以的最大值为，所以直线与平面所成角的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $