精品解析：广西壮族自治区部分学校(桂林市十二县中学等)2025-2026学年高二上学期12月教学质量检测数学试题

2025年秋季学期高二年级12月教学质量检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 展开式的各项系数之和为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ） A. 8 B. 12 C. 32 D. 72 3. 某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ） A. 60 B. 20 C. 12 D. 10 4. 若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 4或14 6. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（ ） A. 4680 B. 4320 C. 3640 D. 3860 7. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的斜率为 C. 若，则 D. 若，则 11. 在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在平面PAC内的投影向量为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的离心率为___________． 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则___________． 14. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则________，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）求； （2）求异面直线与夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的大小． 17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求展开式的所有二项式系数之和； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 18. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： （3）记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 19. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高二年级12月教学质量检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 展开式的各项系数之和为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法求得正确答案. 【详解】令，得，即展开式的各项系数之和为. 故选：C 2. 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ） A. 8 B. 12 C. 32 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程可知，结合椭圆定义即可得结果. 【详解】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 3. 某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ） A. 60 B. 20 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的计算求得正确答案. 【详解】从5个景点中选3个，有种不同的选法. 故选：D 4. 若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 5. 已知双曲线的左、右焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 4或14 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 因为，所以在双曲线的左支， 所以，故. 故选：A 6. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（ ） A. 4680 B. 4320 C. 3640 D. 3860 【答案】B 【解析】 【分析】把3名女生看作一个整体，再与5名男生共6个元素进行全排列，最后根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排列，有种排法， 因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有种不同的排法． 故选：B. 7. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线恒过定点，求得圆心到直线的距离的最大值可求的最大值． 【详解】由，得圆心，半径， 由直线，即，得直线恒过定点此点在圆内，. 又越小，则圆心到直线的距离越大， 如图，圆心到直线的最大距离为， 而， 所以圆心到直线的距离的最大值为， 此时， 所以， 所以的最大值为． 故选：D. 8. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求的欧拉线方程. 【详解】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用排列数公式可判断AB选项，利用组合数公式可判断C选项，利用组合数的性质可判断D选项. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 由组合数的性质可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的斜率为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，B：根据直线的方程分析斜率和截距即可判断；对于C：根据直线垂直运算求解即可；对于D：代入检验即可. 【详解】对于选项A，B：直线， 令，解得，可知直线在轴上的截距为，故A正确； 整理可得，可知直线的斜率为，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则直线，即， 可知直线与直线重合，故D错误； 故选：AC. 11. 在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在平面PAC内的投影向量为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项,利用重心的向量性质，结合向量减法推导向量表达式.B选项,取AC中点O，结合二面角得向量夹角，将分解为，通过向量模长平方公式计算判断.C选项,由二面角为90°得平面，根据投影向量定义确定的投影向量.D选项,由得为等边三角形，利用的向量表达式，通过向量模长平方公式计算的长度. 【详解】对于A选项，因为， 所以，故A正确. 对于B选项，如图，取中点，过作且，连接，则平面. 因为△为正三角形，所以，， 因为，所以，所以， 所以二面角的平面角为，则. ，则，则， 因为，，，，， 所以 ， 所以，故B不正确. 对于C选项，若，则平面平面， 由于平面平面，平面且， 所以平面PAC， 所以在平面PAC内的投影向量为，故C正确. 对于D选项，若，则为等边三角形，. 因为， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质和离心率的定义结合题意可得. 【详解】由题意可得， 又，可解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】设，，根据向量相等可得，再结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则，， 因为，则，解得， 所以. 故答案为：12. 14. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则________，________. 【答案】 ①. 26 ②. 325 【解析】 【分析】对于第一空，将表示为，然后利用二项式知识可得答案；对于第二空，由第一空结合二项式定理与杨辉三角关系可得答案. 【详解】对于第一空， 因为 所以被675除所得的余数为26； 对于第二空，由图可得第行，第个数为展开式的第项二项式系数. 则. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，可知直线在两坐标轴上的截距，列式求解即可； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：满足条件的直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 令，解得；令，解得； 可知直线在坐标轴上的截距分别为， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 圆即为，可知圆心为，半径， 若直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 可得圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为； 若直线的斜率不存在，直线的方程为， 可得圆心到直线的距离，符合题意； 综上所述：直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）求； （2）求异面直线与夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系标点，根据向量的坐标运算求，进而可得模长； （2）由（1）可知：，，利用空间向量求异面直线夹角； （3）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 因为平面，， 以为坐标原点，分别为轴，与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 则，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）可知：，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则，可得， 所以直线与平面所成角的大小为. 17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求展开式的所有二项式系数之和； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 【答案】（1）1024 （2） （3）第5项系数的绝对值最大 【解析】 【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用二项式系数之和公式求解. （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值. （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数. 【小问1详解】 因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的所有二项式系数之和为. 【小问2详解】 令，得. 令，得， 所以. 【小问3详解】 展开式的通项. 由得. 因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大. 18. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： （3）记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程可得，进而可得，结合题意可得，即可得方程； （2）设，，根据题意利用点差法可得，即可得方程； （3）根据椭圆定义可得，代入结合图形的性质分析求解. 【小问1详解】 因为点在椭圆上，则，即， 可得， 因为，则， 可得，所以， 则，，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，可知点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 设，，则线段的中点坐标为， 可得，，， 因为点，在椭圆内， 则，两式相减得， 整理可得，即，可得， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 由题意可知：，则椭圆的左、右焦点分别为，， 因为，即， 则， 当且仅当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 19. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线过定点，定点为 【解析】 【分析】（1）分析可知当且仅当直线，取得最小值，结合垂径定理可得，再根据点到直线的距离公式可得，即可得双曲线方程； （2）设直线，与圆的方程联立结合韦达定理可得，讨论直线的斜率是否存在，与双曲线的方程联立结合韦达定理求定点. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 因为直线过点，可知当且仅当直线，取得最小值， 此时，即，解得， 则，双曲线的渐近线方程为，即， 直线平行于双曲线的渐近线时，直线的方程为， 且点到直线的距离为，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，直线与圆必相交， 设直线，，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 设直线，的斜率分别为，， 则， 即， 若直线的斜率存在，可设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得，， 因为， 整理可得， 则， 整理可得，解得或， 若，直线过定点，不符合题意； 若，直线过定点； 若直线的斜率不存在，可知直线的斜率不存在，即直线， 代入圆的方程可得，解得， 不妨设，， 则直线， 联立方程，解得或，即， 同理可得，所以直线过定点； 综上所述：直线过定点，定点为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $