专题03 二次根式中字母含参问题及应用与扩展（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题03 二次根式中字母含参问题及应用与扩展 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用二次根式的性质求字母的值或取值范围（常考点） 1 题型二、由二次根式的值求参数 2 题型三、由二次根式是整数求字母的值 2 题型四、利用同类二次根式求字母的值或取值范围 3 题型五、二次根式的大小比较 3 题型六、二次根式的实际应用分（重点） 4 题型七、二次根式的新定义型问题 6 题型八、二次根式的规律探究问题（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用二次根式的性质求字母的值或取值范围（常考） 1．（24-25八年级下·浙江·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 4．若，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．若，那么（　　） A． B． C． D．a为一切正实数 6．若，则的取值应为（      ） A． B． C． D． 7．已知，，的平方根是 ． 8．若 是二次根式的运算，则 ． 题型二、由二次根式的值求参数 9．已知二次根式的结果是7，则x的值为（    ） A．7 B．49 C．–7 D．7或–7 10．当式子的值取最小值时，a的取值为（　　） A．0 B． C．﹣1 D．1 11．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 12．已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 13．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 题型三、由二次根式是整数求字母的值 14．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 15．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 16．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 18．已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为 ． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 题型四、利用同类二次根式求字母的值或取值范围 21．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 23．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 24．若最简二次根式与能进行合并，则 ． 25．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 26．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 题型五、二次根式的大小比较 27．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 28．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 29．在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 30．通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 ； （2） ； （3） 1； （4） ． 31．阅读下面的解题过程，回答问题．   ……………………………    第一步 …………………………    第二步 ………………………………    第三步 …………………………………    第四步 (1)以上解题过程从第几步开始出现错误？ (2)比较与的大小，并写出你的判断过程．   32．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 题型六、二次根式的实际应用（重点） 33．若正方形的边长为，则此正方形的面积约是（    ） A．0.20 B．0.19 C．0.18 D．0.17 34．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 36．图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 37．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 38．（24-25七年级下·广西南宁·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间T（单位：）称为一个周期，其计算公式为，表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，当取3.14，g取时，该摆针摆动的周期为 （结果保留小数点后两位）． 39．某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 40．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛物到落地所需时间是多少，从高空抛物到落地所需时间是多少； (2)是的多少倍？ 41．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速．（结果化为最简二次根式） 题型七、二次根式的新定义型问题 42．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·浙江温州·期末）若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（   ） A． B． C． D． 44．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 45．对于任意满足的两个非零实数a，b，定义一种新运算“#”，满足：，例如，那么 ． 46．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 47．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 题型八、二次根式的规律探究问题（难点） 48．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 50．（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 51．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是 ． 52．小丽根据学习“二次根式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小丽的探求过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律： 【特例1】； 【特例2】； 【特例3】； 【特例4】________（填写一个符合上述运算特征的例子）； 【猜想】 （2）用含n的式子表示上述运算规律为________（n为正整数）； 【应用】 （3）化简：． 53．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 1．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 4．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 5．（24-25八年级下·广东中山·期中）最简二次根式能与进行合并，则 ． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为 ． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 8．（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 10．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式中字母含参问题及应用与扩展 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用二次根式的性质求字母的值或取值范围（常考点） 1 题型二、由二次根式的值求参数 5 题型三、由二次根式是整数求字母的值 6 题型四、利用同类二次根式求字母的值或取值范围 9 题型五、二次根式的大小比较 11 题型六、二次根式的实际应用分（重点） 15 题型七、二次根式的新定义型问题 20 题型八、二次根式的规律探究问题（难点） 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用二次根式的性质求字母的值或取值范围（常考） 1．（24-25八年级下·浙江·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质解方程，根据二次根式的性质，表示的绝对值，即．由此可建立方程求解的值． 【详解】解：由题意得： 根据二次根式的非负性，， 因此原方程可转化为： 解得：或， 即的值为，经检验符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】题目主要考查平方及算术平方根的非负性，求代数式的值，熟练掌握这些基础知识点是解题关键. 根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，由此可解出a和b的值，再计算. 【详解】解：， ∵， ， ∴且， ∴，， ∴， 故选：B. 3．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 4．若，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【分析】先根据二次根式的性质得到，根据绝对值的含义即可得到2a−6≤0． 【详解】∵， ∴2a−6≤0， ∴a≤3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式；＝|a|；也考查了绝对值的含义． 5．若，那么（　　） A． B． C． D．a为一切正实数 【分析】根据二次根式的性质，列出不等式进行求解即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．若，则的取值应为（      ） A． B． C． D． 【分析】原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义计算即可求出的值． 【详解】解：已知等式变形得：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．已知，，的平方根是 ． 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故答案为：． 8．若 是二次根式的运算，则 ． 【分析】本题考查了二次根式的定义，以及二次根式的性质，根据二次根式的定义得到，根据二次根式的性质求得n的值；再代入计算即可． 【详解】解；依题意得：， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案是：7． 题型二、由二次根式的值求参数 9．已知二次根式的结果是7，则x的值为（    ） A．7 B．49 C．–7 D．7或–7 【分析】根据二次根式的性质可得：，再根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：由题意得：，所以，即x的值为7或–7． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质，属于基础题型，熟练掌握是解题关键． 10．当式子的值取最小值时，a的取值为（　　） A．0 B． C．﹣1 D．1 【详解】分析：二次根式一定是非负数，则最小值即为0，列方程求解即可. 详解：∵， ∴时为最小值. 即：， ∴. 故选B. 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件. 11．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 12．已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果． 【详解】解：当等于最小的正偶数2时， n取最大值,则n＝8， 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“是正偶数”的含义． 13．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 题型三、由二次根式是整数求字母的值 14．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 15．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 16．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据a是正整数，是整数，得出54a是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：a是正整数，是整数， 54a是一个完全平方数， ∵ 54=2×3×32 a的最小值为2×3=6， 故选：D． 17．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【分析】先化简，根据题意逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵是整数， A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 18．已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程． 【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数， ∴，解得， ∴实数n最大值取， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 19．（2023·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为 ． 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 题型四、利用同类二次根式求字母的值或取值范围 21．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．两个最简二次根式能够合并的条件是它们的被开方数相同，先将化简为最简形式，再令的被开方数与之相等，结合最简二次根式的定义求解． 【详解】解：，被开方数为3， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴． 故选：C． 22．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式， 根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解． 【详解】∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：C． 23．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【分析】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 24．若最简二次根式与能进行合并，则 ． 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义得，然后解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与能进行合并， 与是同类二次根式， ， 解得． 经检验，时，，符合题意； 故答案为：． 25．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【分析】先将化为最简二次根式，再依据同类二次根式的定义（被开方数相同）建立等式，求解的值．本题主要考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的概念（被开方数相同的最简二次根式）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 26．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【分析】本题主要考查了最简二次根式的含义，同类二次根式的含义．根据最简二次根式的定义，同类二次根式的含义可得，再进一步求解即可； 【详解】解：∵最简二次根式与可以进行合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：． 题型五、二次根式的大小比较 27．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 28．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 29．在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算，二次根式的大小比较，先把选项中的运算符号代入进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵，， ∴当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是； 故选：D 30．通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 ； （2） ； （3） 1； （4） ． 【分析】本题考查了整数、分数与算术平方根的大小比较，利用平方运算，将整数转化为二次根式，对被开方数进行大小比较，并掌握作差法，若，则；若，则；若，则，是解题的关键． （1）计算得到为的算术平方根，比较与大小即可求解； （2）两个算术平方根比较大小，只需要比较被开方数的大小即可； （3）把与作差，再与比较即可； （4）把与作差，再与比较即可． 【详解】解：（1），且， ， 故答案为：． （2）被开方数， ， 故答案为：． （3）， ，即， 故答案为：． （4）， ，即， 故答案为：． 31．阅读下面的解题过程，回答问题．   ……………………………    第一步 …………………………    第二步 ………………………………    第三步 …………………………………    第四步 (1)以上解题过程从第几步开始出现错误？ (2)比较与的大小，并写出你的判断过程．   【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行判断即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后比较大小即可． 【详解】（1）解： ． ∴解题过程从第二步开始出现错误； （2）解：，理由如下： ，， ∵， ∴． 32．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型六、二次根式的实际应用（重点） 33．若正方形的边长为，则此正方形的面积约是（    ） A．0.20 B．0.19 C．0.18 D．0.17 【分析】本题考查了二次根式的应用，完全平方公式及无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法法则结合完全平方公式求出正方形的面积为，再估算即可． 【详解】解：根据题意正方形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此正方形的面积约是． 故选：D． 34．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 35．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 36．图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 【分析】依据题意，由长方形的周长与正方形的周长相等，进而可以计算得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能准确进行计算是关键． 【详解】解：由题意得，长方形的周长正方形的周长． 又用铁丝围成的长为，宽为的长方形， 正方形的周长长方形的周长． 正方形的边长为：． 故答案为：． 37．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积是 ， 故答案为： 38．（24-25七年级下·广西南宁·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间T（单位：）称为一个周期，其计算公式为，表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，当取3.14，g取时，该摆针摆动的周期为 （结果保留小数点后两位）． 【分析】本题考查二次根式的实际应用，解题关键是将已知数据代入周期公式，按照二次根式运算和小数运算规则逐步计算． 把代入周期公式，先计算根号内的值，再依次进行乘法运算，最后按要求保留小数位数． 【详解】解： 即该摆针摆动的周期为1.26s， 故答案为：1.26． 39．某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． 【详解】（1）解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． （2）解：不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出． 40．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛物到落地所需时间是多少，从高空抛物到落地所需时间是多少； (2)是的多少倍？ 【分析】（1）将和分别代入，即可求出对应的时间和． （2）用除以，通过化简计算得出结果． 本题主要考查了二次根式的代入求值与化简运算，熟练掌握二次根式的运算规则是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，（s） 当时，（s） （2）解：， 因此，是的倍． 41．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速．（结果化为最简二次根式） 【分析】本题主要考查了算术平方根在实际中的应用，最简二次根式，正确理解题意是解题的关键． 直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：将代入， 得， 答：肇事汽车的车速是． 题型七、二次根式的新定义型问题 42．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．根据定义的新运算法则，分别计算和的值，再进行相减。 【详解】解：∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， 则． 故选：A． 43．（24-25八年级下·浙江温州·期末）若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的混合运算，将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：，结果含无理数项，非有理数，排除A； B：，结果含无理数项，非有理数，排除B； C：，结果含无理数项，非有理数，排除C； D：分母有理化：，结果为有理数，故选D； 故选：D． 44．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 45．对于任意满足的两个非零实数a，b，定义一种新运算“#”，满足：，例如，那么 ． 【分析】根据所规定的运算方法求解即可．本题考查了新定义运算，理解新定义的运算方法是解答本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 46．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 47．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 题型八、二次根式的规律探究问题（难点） 48．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两方面分析数据的排列特征． 观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式． 【详解】将数据统一化为二次根式形式： 第1项：； 第2项：； 第3项：； 第4项：； 由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n， ∴这组数据的第n项是． 故选：C． 49．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 50．（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察等式可得第个等式为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第1个等式，即； 第2个等式，即； 第3个等式，即； …… 观察发现，第个等式为， 则第9个等式为， 故答案为：． 51．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是 ． 【分析】本题考查数字规律探究，解题的关键是通过观察前面两行的数值，得到数字的规律．根据数表推断出每行的数的个数为4个，每个数分别是的算术平方根，据此得到第n行从左向右第二个数为即可求解． 【详解】解：由数表可知： 第1行：，，，； 第2行：，，，； 第3行：，，，； …… 因此，第1行从左向右第二个数为， 第2行从左向右第二个数为， 第3行从左向右第二个数为， …… 第n行从左向右第二个数为， 所以第13行从左向右第二个数为， 故答案为：． 52．小丽根据学习“二次根式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小丽的探求过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律： 【特例1】； 【特例2】； 【特例3】； 【特例4】________（填写一个符合上述运算特征的例子）； 【猜想】 （2）用含n的式子表示上述运算规律为________（n为正整数）； 【应用】 （3）化简：． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探究，正确得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：（答案不唯一） （2）∵特例1：； 特例2：； 特例3：， …， ∴ （3）． 53．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数字规律探索，解题关键是根据已知条件中的等式找出规律． （1）观察已知条件中的等式可知：带分数的整数部分为，分数部分的分子与整数部分相同，分数的分母为整数部分的平方，按照此规律进行解答即可； （2）根据（1）中所找规律，然后进行证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， 第5个等式：； （2）第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， ， 第n个等式：， 证明：左边 ， 右边 ， ， ． 1．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，分，，三种情况，根据二次根式的性质分类讨论即可． 【详解】解：当时， 原式， 当时， 原式， 当时， 原式． 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，即，计算求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 4．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 5．（24-25八年级下·广东中山·期中）最简二次根式能与进行合并，则 ． 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，先根据二次根式的性质化简，进而根据同类二次根式，列出方程，解出m即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为 ． 【分析】本题考查实数的运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据题意列得算式为，再结合已知条件确定x的最小正整数值即可． 【详解】解：由题意得， 要使该式为有理数，则要为平方数， 当取最小正整数时，，在此范围内的最小平方数为， ∴， 解得：． 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 8．（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 10．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再比较大小； （3）先分母有理化，再算加减． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， ， ， ； 故答案为：>； （3） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$