期末复习讲义专题01第一章集合（4知识点+7题型）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过内容导图系统构建集合知识体系，知识要点梳理部分用对比表格呈现常用数集符号、子集与真子集的定义及性质，结合Venn图和数轴图示直观展示集合关系与运算，清晰呈现集合概念、关系、运算、区间的内在逻辑，突出元素三性和交并补运算的核心联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从元素与集合关系判断到集合运算参数范围求解，融入容斥原理应用题（如某班运动喜好人数计算）和新定义题型（差集Venn图表示），培养数学思维中的推理能力与运算能力，通过符号与图形语言转化训练数学语言表达，基础题助学生掌握概念，综合题供优秀生突破，为教师提供分层教学素材，支持精准复习。

期末复习讲义专题01 集合 内容导图预览 知识要点梳理 知识点1 集合的相关概念 1.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.常用数的表示：若为偶数，则 ；若为奇数，则；若被3整除，则；若被3除余1，则. 3.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素,就说a属于集合A，记作：a∈A，读法：a属于A； （2）不属于：如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A，记作：a∉A或aA，读法：a不属于A 4.集合元素的基本属性 (1)确定性，(2)互异性，(3)无序性 知识点2 集合间的基本关系 1.子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A； (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A,B,C,若AB且BC,则AC； (2)若A≠∅,则∅A 知识点3 集合的基本运算 1.交集并集补集 项目 交集 并集 补集 定 义 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩B⊆A,A∩B⊆B. (1)A∪B=B∪A. (2)A⊆A∪B,B⊆A∪B. (1)A⊆S,∁SA⊆S(2)∁S(∁SA)=A； 2.德摩根公式 3.容斥定理之集合中元素个数 知识点4 区间及其表示 1.区间概念(a,b为实数,且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a,b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a,b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 考点题型突破 一、题型一 元素与集合的关系 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 2．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的描述法与元素与集合的关系分析选项即可. 【详解】由题意可知，所以， 显然选项中D符合题意，此时，A、B、C错误. 故选：D 3．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，则，可得，所以，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 4．已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 5．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 二、题型二 集合间的基本关系 6．已知集合，则集合A的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】解方程化简集合，根据集合中元素个数确定子集个数. 【详解】解方程，得或或. 由于集合，而、是无理数，因此. 根据子集个数公式：若集合有n个元素，其子集个数为. 集合A有1个元素，故子集个数为. 故选：B. 7．集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】因为， 表示整数，表示奇数， 故，故选项A、B、D错误，选项C正确， 故选：C. 8．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，利用，讨论集合B是否为空集，求出a的取值即可. 【详解】解方程，因式分解得，解得或，因此. 当时，此时，符合. 当时，此时，方程的解为， 又，可得或，所以或； 综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为. 故选：A. 9．以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 10．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 11．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 三、题型三 集合间的基本运算 12．集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：B. 13．已知全集 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集、交集的知识确定正确答案. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：B 14．若非空且互不相等的集合满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合集合之间的关系，以及并集的定义，即可求解． 【详解】因为非空且互不相等的集合满足， 所以，，即，故． 故选：A 15．已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 16．已知集合，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据元素与集合的关系，可判断A的正误；求出集合B，可判断B的正误，根据集合的包含关系，可判断C的正误；先求出，根据并集运算的概念，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以，故A正确 选项B：由，得，解得，即，故B正确； 选项C：由，，所以，故C正确； 选项D：或，所以或，故D错误. 故选：ABC 17．已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】根据集合的交并补的定义分别计算各小题即可. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，，所以或， 所以或. （3）因为，，所以或， 所以. 18．设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算求解； （2）由题可得，列式求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以. （2）因为，，，即集合是集合的真子集， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 19．已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 四、题型四 Venn图的应用 20．如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得阴影部分为，再进行求解即可. 【详解】由图可得阴影部分可表示为. 故选：D 21．已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 22．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集、补集的概念求出. 【详解】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 23．设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图直接得出结果. 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合. 故选：A 24．图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形结合集合的基本运算求解即可. 【详解】根据图形，阴影部分属于集合，不属于集合A，C， 则阴影部分所表示的集合可以为. 故选：A 25．如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 五、题型五 容斥原理 26．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（   ） A．17 B．22 C．15 D．20 【答案】D 【分析】设喜欢篮球运动为集合，喜欢乒乓球运动为集合，全班学生为集合，设即喜欢篮球和乒乓球的人数为，作出图即可求解. 【详解】设喜欢篮球运动为集合，喜欢乒乓球运动为集合，全班学生为集合， 设即喜欢篮球和乒乓球的人数为，作出图如下， 所以， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为. 故选：D. 27．某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】设三个科创社团都参加的学生有人.将参加三个科创社团的人数情况画出韦恩图，如图所示. 故参加科创社团的总人数， 解得. 故选：A 28．某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据容斥原理进行求解即可. 【详解】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. 29．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 30．已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有 人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 六、题型六 集合的综合应用 31．若集合，集合． (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得集合,按照集合的运算法则进行运算即可； （2）依题得到，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，， 则或， 又， 所以 （2）当时，， 所以， 所以实数的取值范围为 32．设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 33．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 34．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 35．已知全集，集合，. (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据交集，补集，并集的定义计算即可； （2）由题意得集合间的包含关系，然后分和两种情况分类讨论即可. 【详解】（1）由已知易得或， ， . （2）由得， ①当时，，解得； ②当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 36．已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择见解析，答案见解析 【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解； （2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 又因为关于不等式的解集， 所以，解得，所以实数的值为. （2）选择条件①，因为，， 又，由图知， ，解得. 选择条件②，因为，， 又，即，由图知， ，解得. 七、题型七 集合的新定义 37．已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，结合题中定义可得结合. 【详解】因为集合，， 所以且. 故选：A. 38．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【答案】A 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 39．已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【详解】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 40．定义差集，且，现有三个集合分别用圆表示，则集合可表示下列图中阴影部分的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据差集的定义逐步分析即可． 【详解】如图所示，表示元素属于，不属于，如下图阴影部分，    则表示元素属于，不属于，如下图阴影部分，    故选：A． 41．设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 【答案】ACD 【分析】计算，满足理想元素的定义；先由“理想集合”的子集的个数判断出中元素的个数，再根据理想集合的定义写出的可能情况，或；假设集合中任意两个元素，计算也在集合中，则满足“理想集合的定义； 若是集合的一个“理想元素”， 则，则，得到，所以，利用反证法排除. 【详解】因为，，所以是集合的一个“理想元素”，选项A正确. “理想集合”恰有4个子集，则恰好有两个元素，设， 因为，都有，即，， 则或者即或 则，或； 当 ，则，所以或解得 或（舍去），此时； 当 ，则，所以或解得（舍去）或或，此时或，所以选项B错误； 设，则 ， 因为，所以即可以表示为的形式，所以,故选项C正确； 若是集合的一个“理想元素”， 则 所以, 因为，所以； 若，则，即是7的倍数，除以7余数为6，因此除以7余数为6， 设 ，则，则不是7的倍数，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD 42．定义集合，若集合，，则集合中包含 个元素． 【答案】3 【分析】利用定义作集合运算，注意元素的互异性即可. 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 43．定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】(1)由题中的新定义先求得，再求出集合U. (2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为对 任 意，有 . 且， 当时， ，所以； 当时， ，所以； 当时， ，所以； 所以集合. （2）由（1）知集合. 对于方程，. 当即时，，满足题意； 当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意； 当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知. 当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意. 综上所述：实数的取值范围是：. 44．给定数集，若对于任意，有，则称集合为闭集合． (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明： (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由： (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 【答案】(1)A不是闭集合，证明见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）集合A：直接根据题干定义验证即可； （2）令，，说明集合为闭集合，然后取特值进行验证即可； （3）可采用反证法，假设，由，可得存在且，故；同理，存在且，故；然后讨论和两种情况，得到矛盾，从而判断假设不成立，从而得到． 【详解】（1）A不是闭集合． ∵，，，∴A不是闭集合； （2）结论：不一定； 不妨令，， 任取，设，，，则且，∴，同理，，故为闭集合； 则由以上可知，为闭集合，同理可证为闭集合， ∵，， 因此，不是闭集合， ∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合； （3）假设， 由，可得存在且，故； 同理，存在且，故， ∵，∴或． 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义专题01 集合 内容导图预览 知识要点梳理 知识点1 集合的相关概念 1.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.常用数的表示：若为偶数，则 ；若为奇数，则；若被3整除，则；若被3除余1，则. 3.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素,就说a属于集合A，记作：a∈A，读法：a属于A； （2）不属于：如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A，记作：a∉A或aA，读法：a不属于A 4.集合元素的基本属性 (1)确定性，(2)互异性，(3)无序性 知识点2 集合间的基本关系 1.子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A； (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A,B,C,若AB且BC,则AC； (2)若A≠∅,则∅A 知识点3 集合的基本运算 1.交集并集补集 项目 交集 并集 补集 定 义 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩B⊆A,A∩B⊆B. (1)A∪B=B∪A. (2)A⊆A∪B,B⊆A∪B. (1)A⊆S,∁SA⊆S(2)∁S(∁SA)=A； 2.德摩根公式 3.容斥定理之集合中元素个数 知识点4 区间及其表示 1.区间概念(a,b为实数,且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a,b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a,b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 考点题型突破 一、题型一 元素与集合的关系 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 ． 5．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 二、题型二 集合间的基本关系 6．已知集合，则集合A的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 9．以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 10．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 11．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 三、题型三 集合间的基本运算 12．集合，则（    ） A． B． C． D． 13．已知全集 ，则 （   ） A． B． C． D． 14．若非空且互不相等的集合满足，则（　　） A． B． C． D． 15．已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 16．已知集合，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 17．已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 18．设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 19．已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 四、题型四 Venn图的应用 20．如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 21．已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 22．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 23．设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 24．图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 25．如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 五、题型五 容斥原理 26．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（   ） A．17 B．22 C．15 D．20 27．某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 28．某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 29．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 30．已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有 人． 六、题型六 集合的综合应用 31．若集合，集合． (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围． 32．设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 33．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 34．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 35．已知全集，集合，. (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围. 36．已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 七、题型七 集合的新定义 37．已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 38．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 39．已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 40．定义差集，且，现有三个集合分别用圆表示，则集合可表示下列图中阴影部分的为（    ） A．   B．   C．   D．   41．设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 42．定义集合，若集合，，则集合中包含 个元素． 43．定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 44．给定数集，若对于任意，有，则称集合为闭集合． (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明： (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由： (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $