专题07 角相关解答题分类训练（6种类型36道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期北师大版2024

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07角相关解答题分类训练(6种类型36道) 考点归纳 考点01补全证明过程 考点02角平分线相关角度计算 考点03三角板相关角度计算 考点04探究角的数量关系 考点05旋转相关角度计算 考点06互补和互余相关角度计算 考点专练 考点01补全证明过程 1.如图，已知∠AOB=120°，从∠AOB的内部引出一条射线OC. B (1)尺规作图，在∠AOB的外部作∠BOD,使得∠BOD=∠AOC(要求只保留作图痕迹，不写作法)： (2)小麓在完成(1)问的作图的基础上，发现了∠AOD与∠BOC之间满足某种数量关系，并进行了推理说 明，聪明的你请帮助小麓补全下面的推理过程， 解：∠BOD=∠AOC, ∴.∠BOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC. 即∠①=∠AOB 又'∠A0B=120°， ∴∠COD=②. 又'∠AOD=∠AOB+∠③， ∴.∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC =∠AOB+L④ =120°+⑤° =⑤. 2.补全解题过程或填上推理的根据. 已知如图，∠AOB=30°，∠BOC=60°，OD平分∠AOC,求∠BOD的度数. 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：，∠AOC=∠AOB+∠ 又：∠AOB=30°，∠BOC=60°， .∠AOC= :OD平分∠AOC, ∠AOD= ∠A0C(- 21 ∴.∠AOD= .∠BOD=∠AOD-∠ ..∠BOD= 3.根据题意，补全解题过程：如图，已知射线OB,OM,ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB,ON平 分∠BOD.若∠AOD=156°，∠DON-48°，求∠AOM的度数. B 解：：ON平分∠BOD, =2∠DON.(理由： ∠D0N=48°， ∠BOD= .∠AOB= -∠BOD,∠AOD=156°， ∠AOB= OM平分∠AOB, ∠AOM= 2、 4.补全下面的解题过程： 如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC=2∠BOC且∠BOC=40°，求 ∠COD的度数. 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D B -A 解：，∠AOC=2∠BOC,∠BOC=40°， .∠AOC=°， .∠AOB=∠AOC+∠ OD平分∠AOB, .∠AOD= 2 .∠COD=∠ -∠AOD= 5.补全推导过程.如图，已知∠AOB=90°，∠AOC=60°，OD平分∠B0C,OE平分∠AOC,求∠DOE. D 解：∠AOB=90°，∠AOC=60°， ∠BOC=∠AOB+∠AOC=°. OD平分∠BOC, ·∠D0c=1∠ 2 ,OE平分∠AOC, :∠E0C=1∠A0C= 2 ∴.∠DOE=∠ -LEOC=_ 6.阅读材料并回答问题： 如图①，∠AOB=120°，OC平分∠AOB,若∠COD=20°，请你补全图形，并求∠BOD的度数. 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为∠AOB=120°，OC平分∠AOB, 所以∠BOC=∠AOB=· 因为∠COD=20°， 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以∠BOD= 图① 图② (1)请你将小明的解答过程补充完整： (2)你觉得小明的解答是否正确？如果不正确，指出错误之处并给出正确的解答过程. 考点02角平分线相关角度计算 7.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线. B (1)若∠AOC=120°，∠B0C=30°，求∠D0E的度数： (2)若∠AOC=a,∠BOC=B,求∠D0E的度数. 8.已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线. B H 图1 图2 (1)如图1，OC是∠AOB外部的一条射线， ①若∠A0C=28°，∠B0C=144°，则∠D0E= ②若∠B0C=156°，求∠D0E的度数： (2)如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC=m°，用m的代数式表示∠DOE的度数.（请用几何符 号语言规范地表达) 9.如图，已知∠AOE-100,∠0F-号40E.OB、OF分别是∠DOC、∠40C的角平分线，求 ∠EOF的度数. 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 10,如医，点在直被BC上，过作线D和仁∠CD-写C,水是∠北的角平分线，已知 ∠CAF=165°，求∠CAD. E 11.如图，∠AOC和∠BOD共顶点，∠BOD为直角，OC是∠BOD的角平分线，∠AOB=150°. D C (1)求∠AOC的度数： (2)若∠BOE:∠AOD=2:3,求∠COE的度数. 12.如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线. M C 图1 图2 (1)如图1，若∠AOM=16°，∠AOB=5∠AOM,∠MON=95°，求∠BON的度数. (2)如图2，若∠AOB=42°，∠BOC=130°，OM、ON是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数. 考点03三角板相关角度计算 13.如图，∠AOC=20°，O是直线AB上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射 线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.现将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方 向旋转一周. 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M 一BA: -B 图1 图2 (1)如图2，经过多少秒后，线段OM恰好平分∠BOC: (2)在(1)的条件下，线段ON是否平分∠AOC？请说明理由. 14.如图，两块三角板摆放在一起，射线OM平分∠BOC、ON平分∠AOC. (1)求∠MON的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点0旋转一定角度，使得∠AOC=20°，其它条件不变，求∠M0N的度数： (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得∠AOC=Q,(α为锐角)，其它条件不变，求∠MON 的度数： (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得∠AOB=B(B为锐角)，其它条件不变，求∠MON的 度数. 15.以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线OC,使∠BOC=50°，将一个直角三角板DOE 的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°，且直角三角板DOE在直线AB的上方. 图1 图2 (1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE在射线OA上，则∠COD的度数为 (2)如图2，直角三角板DOE的边OD在∠BOC的内部，若OE恰好平分∠AOC.求此时∠COE的度数： (3)在图2中，请直接写出∠COE与∠BOD之间的数量关系 、 16.如图所示，将一副三角板的直角项点O重合叠放在一起. 6/14 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 海 图1 图2 (1)如图1若∠B0D=40°，则∠AOC=_;若∠AOC=150°，则∠BOD=_: (2)如图2若∠AOC=135°，则∠B0D=_; (3)猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图1说明理由. 17.如图：两个特殊三角板AOB和三角板COD,∠A=45°，∠D=60°，O为直角顶点，两直角顶点重 合，A,O,D在同一直线上，OB,OC重合，OM平分∠COD,ON平分∠AOB 图1 图2 备用图 (1)求∠MON的度数： (2)若三角板AOB与三角板COD位置如图(2)所示，满足∠BOC=20°，求∠MON的度数： (3)在图(1)的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着0点旋转（旋转角度小于45°）， ∠BOC=u,直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）. 18.将一副三角板如图1摆放，使A0,0C在同一条直线上，∠AOB=45°，∠C0D=60°，OM平分 ∠BOC,ON平分∠BOD. 图1 图2 (1)求∠MON的度数： (2)将三角板COD绕点O逆时针旋转aα(0°<m<75),其它条件不变，得到图2，请直接写出∠MON的度 数 考点04探究角的数量关系 7/14 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 19.点O是直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠BOC. B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠AOC=30°，则∠BOD= o,∠DOE= (2)将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若∠AOC=:,求∠DOE的 度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的∠C0D绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出∠AOC与 ∠DOE之间的数量关系， 20.已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE. 图1 图2 (1)如图1，若∠C0F=36°，则∠B0E= 若∠COF=m,则∠BOE=】 ∠BOE与 ∠COF的数量关系是 (2)当∠COE绕点O顺时针旋转到如图2的位置时(OE在AB上方)，(1)中∠BOE与∠COF的数量关系 是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长OC得射线OD,试探索射线OD能否平分∠BOF,若能，求∠COF的度数；若不 能，请说明理由. 21.如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB=90°，且OA,OB位于直线CE两侧，OB平分 ∠COD D (1)当∠A0C=60°时，求∠DOE的度数： (2)请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由. 22.已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°， 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DOE=80°. 图1 图2 图3 (1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数： (2)如图2，过点O作射线OF,且∠FOA=3LAOD,请判断∠FOE和∠EOC的数量关系，说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，作射线OM、ON,满足∠DOC=∠FON+∠COM,且OF平分∠MON.当 ∠C0M=4∠B0N时，求∠BOM的度数。 23.已知O为直线AB上的一点，∠COE=90°，AB⊥MN. 北 东 B B B 图① 图② 图③ (1)如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方，若∠CON=17°，则射线OE的方 向是_；若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM.若 ∠EOF=20°，求∠AOF的度数： (2)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠COM,∠CON与∠AOF 之间存在怎样的数量关系？请说明理由， 24.如图，∠COD在∠AOB内部转动，OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD. B (1)若∠AOB=100°，∠COD=60°，求∠EOF的度数： (2)试猜想∠EOF,∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系.（直接写出猜想即可） 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点05旋转相关角度计算 25.如图，∠AOB=130°，将一个直角三角尺C0D的顶点与点0重合，∠C0D=30°，OM平分∠AOB, 三角尺COD始终在∠AOB的内部（三角尺的边可以与OA,OB重合）· M B(D B B(D 图1 图2 图3 (1)如图1，当OD在射线OB上时，∠COM的度数为_； (2)如图2，三角尺COD在∠BOM的内部，当OC平分∠BOM时，求∠BOD的度数： (3)如图3，三角尺COD从OD与OB重合开始，以每秒5°的速度绕点O按图中的方向旋转，当OD到达 OM处停止旋转.在三角尺旋转过程中，OD作为角平分线时，t的值为（直接写出答案）. 26.点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设 ∠AOC=a(0°≤a≤180)，射线OD⊥OC,作射线OE平分∠BOD. 图1 图2 (1)如图1，若a=40°，且OD在直线AB的上方，求∠DOE的度数， (2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含α 的代数式表示∠DOE的度数. (3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB,在旋转过程中你发现∠DOE与∠AOC( 0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOB≤180°)之间有怎样的数量关系？请你直接用含a的代数式表示∠DOE的度 数. 27.已知∠AOC=40°，∠BOD=20°，∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M,O,N在同一条直 线上，OP是∠COD的平分线 10/14 专题07 角相关解答题分类训练（6种类型36道） 考点01 补全证明过程 考点02 角平分线相关角度计算 考点03 三角板相关角度计算 考点04 探究角的数量关系 考点05 旋转相关角度计算 考点06 互补和互余相关角度计算 考点01 补全证明过程 1．如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)小麓在完成（1）问的作图的基础上，发现了与之间满足某种数量关系，并进行了推理说明，聪明的你请帮助小麓补全下面的推理过程． 解：， ． 即∠ ① ． 又， ② °． 又∠ ③ ， ∠ ④ ⑤ ° = ⑥ °． 【答案】(1)作图见解析 (2)①，②，③，④，⑤，⑥ 【分析】1本题尺规作图、角与角之间的运算，熟练掌握角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （2）根据证得，根据，进行角与角之间的计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：， ， 即， 又， ， 又， 故答案为：①，②，③，④，⑤，⑥． 2．补全解题过程或填上推理的根据． 已知如图，，，平分，求的度数． 解：∵_________， 又∵，， ∴________． ∵平分， ∴（________________）． ∴________． ∴________． ∴________． 【答案】，90，角平分线定义，45，，15 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先求出，再由角平分线的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵平分， ∴（角平分线定义）． ∴． ∴． ∴． 3．根据题意，补全解题过程：如图，已知射线，，在内部，平分，平分．若，，求的度数． 解：∵平分， ∴______．（理由：___________） ∵， ∴______ ∵______，， ∴______ ∵平分， ∴______＝______． 【答案】；角平分线的定义；，，，， 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴（理由：角平分线的定义）， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：；角平分线的定义；，，，，； 4．补全下面的解题过程： 如图，已知是内部的一条射线，是的平分线，且，求的度数． 解：∵，， ∴______， ∴____________， ∵平分， ∴____________， ∴____________． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何图形中角的计算，理解图示，掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据题意可得，根据角平分线的定义可得，由，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 5．补全推导过程．如图，已知平分平分，求． 解：， ______． 平分， ____________． 平分， ______， ____________． 【答案】150，，75，30，，45 【分析】本题考查了角的计算，根据角平分线的定义，按所给过程进行推导即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：150，，75，30，，45． 6．阅读材料并回答问题： 如图①，，平分，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为，平分， 所以　 　　 　． 因为， 所以　 　． (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)你觉得小明的解答是否正确？如果不正确，指出错误之处并给出正确的解答过程． 【答案】(1)，， (2)不正确，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、角的计算，根据题意考虑到所有符合题意的情况进行分类讨论是解题的关键． （1）根据角平分线的定义及图中角的和差情况，直接求得； （2）根据题意发现，OD可能在内部，也可能在内部时，从而判断小明的解答不正确，进而写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，，． （2）不正确． 理由：可能在内部，也可能在内部，小明的解答只考虑了在内部的情况，并未考虑在内部的情况，所以小明的解答不正确．正确的解答过程如下： ，平分， ． ， 当在内部时， ， 当在内部时， ． 的度数为或． 考点02 角平分线相关角度计算 7．如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得：，，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴． 8．已知分别是的角平分线． (1)如图1，是外部的一条射线． ①若，，则____________°； ②若，求的度数； (2)如图2，是内部的一条射线，，用m的代数式表示的度数．（请用几何符号语言规范地表达） 【答案】(1)①71 ；② (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，解题的关键是熟练掌握双角平分线的解题思路，能够根据角度关系用字母表示． （1）①，，， ②根据角平分线定义得出，根据，求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，， ∴． ②分别是的角平分线 ， ； （2）解：分别是的角平分线 ， ． 9．如图，已知，．、分别是、的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，根据角平分线的定义得出，，得出，，得出x，y的值代入解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分平分， ∴， ∴， 解得：， ∴． 10．如图，点在直线上，过作射线和，，是的角平分线，已知，求． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由得，进而根据角平分线的定义得，即可得，再根据即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，和共顶点，为直角，是的角平分线，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由角平分线得到，再由即可求解； （2）先求出，再由或，即可求解． 【详解】（1）解：∵为直角，是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴或， ∴的度数为或． 12．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，，求的度数． (2)如图2，若，，、是、的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据得，再由求解即可； （2）利用角平分线的定义分别得出，据此求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 则， 又∵， ∴． （2）∵，， 、是、的角平分线， ∴，， ∴． 考点03 三角板相关角度计算 13．如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 【答案】(1)经过2秒后，平分 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的有关计算，正确理解角平分线定义是解题关键， （1）先求出，得出，求出，即可求出运动时间； （2）根据所求得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵线段恰好平分 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴经过2秒后，平分； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴平分． 14．如图，两块三角板摆放在一起，射线平分平分． (1)求的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，其它条件不变，求的度数； (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，(α为锐角)，其它条件不变，求的度数； (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得(β为锐角)，其它条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线，旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角板的度数求出的度数，再根据角平分线的定义求出与的度数，然后根据，代入数据进行计算即可得解； （2）分类讨论：①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的上方时，逐一分析求解，即可解答． （3）分类讨论：①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的上方时，逐一分析求解，即可解答． （4）①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的下方，上方时；③如图，当在下方时，逐一分析求解，即可解答． 【详解】（1）解：∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ②如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，． （3）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ②如图，当在射线的上方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述，． （4）①如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． ②如图，当在射线的下方，上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴； ③如图，当在下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． 综上所述，． 15．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算． ()根据角的和差关系进行计算即可； ()角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可， ()由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵恰好平分 ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起． (1)如图1若，则 ；若，则 ； (2)如图2若，则 ； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算,三角板中的角度计算. （1）根据可求得，根据可求得； （2）根据计算可得； （3）根据，即可求得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ； （3），理由如下， ∵ ， ∴． 17．如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义及和角关系即可求得结果； （2）根据角平分线的定义及和角与差角关系即可求得结果； （3）分两种情况讨论：顺时针旋转与逆时针旋转，根据角平分线的定义及和角、差角关系即可求得结果． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴； （3）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， 当旋转是顺时针时，如图（2）， 则； 当旋转是逆时针时，如图， 则； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，把一个角表示为几个角的和差形式是解答本题的关键． 18．将一副三角板如图1摆放，使，在同一条直线上，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将三角板绕点O逆时针旋转，其它条件不变，得到图2，请直接写出的度数______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算等知识． （1）利用平角的定义分别求出，，再利用角平分线的定义分别求出， ，最后根据角的和差即可求出答案． （2）利用平角的定义分别求出，，再利用角平分线的定义分别求出， ，最后根据角的和差即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，，在同一条直线上， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴． 考点04 探究角的数量关系 19．点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）用含的式子表示，结合角平分线和直角定义求； （3）设为，同（2）通过角的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 20．已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，理由见解析 (3)射线不能平分，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，以及角平分线定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差，以及角平分线定义，结合图形计算求解即可； （2）利用角平分线定义得到，再结合角的和差与等角的代换推出，即可解题； （3）根据题意得到，再结合角平分线定义推出大于平角，此时就不在的上方，即可说明射线不能平分． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：射线不能平分，理由如下： 如图，∵， ∴， ∴，即为钝角， 若平分，则大于平角，此时就不在的上方， 所以在图2中，射线不能平分． 21．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 22．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，请判断和的数量关系，说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线、，满足，且平分．当时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角的和差倍分运算，结合已知条件，熟练应用角平分线定义得到关于角的关系是本题解题的关键． （1）利用角平分线定义及角的和差进行计算即可； （2）设，则，然后利用角的和差及已知条件求得，继而得出答案； （3）利用已知条件及角的和差易得，再根据角平分线的性质及（）中所求可得，继而可得，再利用角的和差并结合已知条件列得关于的方程，解得的值，从而可得，的度数，最后利用角的和差计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ． （2），理由如下： 设，则， ， ， ，， ， ， ； （3），， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ． 23．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，分别平分和，则，，则，然后代入即可求解； （）由，分别平分和，则，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴． 考点05 旋转相关角度计算 25．如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒． 26．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 27．已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到=，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 28．如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线． (1)若，即，则________，________． (2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的度数是一个定值，为． 【分析】（1）利用角平分线的定义，寻找各角之间的关系，然后进行相关运算； （2）根据角平分线的定义，寻找各角之间的关系，运用由特殊到一般的思想方法，得出为一个定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）在的变化过程中，的度数是一个定值． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 即的度数是一个定值，为． 【点睛】本题考查了角平分线，解题的关键是寻找各角之间的关系进行运算． 29．已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)的度数为或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 30．已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) ． ．或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出和的度数，两者求和即可得出答案； （2）．由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；．分两种情况讨论：①射线，只有个在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；②射线，，个都在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：题： ，分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； 题： 分两种情况讨论： 射线，只有个在外面，如图， ； 射线，，个都在外面，如图， ； 综上，的度数是或． 考点06 互补和互余相关角度计算 31．如图，O，D，E三点在同一直线上，．    (1)图中的补角是______，的余角是______； (2)如果平分，，请求出和的度数． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的计算以及补角和余角的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义； （1）根据补角和余角的概念求解即可； （2）根据余角的定义，求得的度数，再根据角平分线求得的度数，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，则的补角是， ，则的余角是， 故答案为：， （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，． 32．如图，O为直线上一点，平分． (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角； (2)的余角有 ； (3)求出的度数． 【答案】(1)9 (2)、 (3) 【分析】本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据角的定义，在图中找出小于的角即可． （2）根据角平分线的定义，角之间的关系及平角的定义即可得出答案； （3）先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得和，即可得出答案． 【详解】（1）图中小于平角的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：； （2）平分 的余角有、； （3），平分， ，， ． 33．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 34．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查余角与补，角度的计算，是基础题，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得再根据补角的定义结合图形找出即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出，先求出，再根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ∴的补角是或； （2）∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 35．如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 【答案】(1)的邻补角是的余角是 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，余角和邻补角的定义： （1）根据邻补角的定义和余角的定义求解即可； （2）由垂线的定义得到，则，进而得到，据此推出，即． 【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是； ∵， ∴， ∴的余角是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即． 36．综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 【答案】（1），2，和；（2）①，，；② 【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义： （1）根据旋转的性质得，进而可得角平分线的答案，根据，，进而可求解； （2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与相加等于的角即可；②利用角度之间的计算即可求解； 熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）由旋转的性质得：， ， ， ， 平分， ，， 的余角有2个（本身除外），分别是和， 故答案为：；2；和； （2）①，， ， ， 的补角是， ， ， 的补角是， ， 的补角是， 综上所述，的补角分别是、、， 故答案为：、、． ②∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $