专题02 绝对值相关压轴题（8种类型64道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期北师大版2024

23专题02 绝对值相关压轴题（8种类型64道） 考点01 利用绝对值非负性求最值 考点02 利用绝对值非负性求值 考点03 已知绝对值求值 考点04 绝对值相关综合性问题 考点05 利用数轴去绝对值 考点06 绝对值的化简 考点07 利用绝对值非负性求值 考点08 绝对值非负性相关综合性问题 考点01 利用绝对值非负性求最值 1．关于，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值5 B．当时，有最大值9 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性可直接进行求解． 【详解】解：， ， 当时，有最小值9； 故选：C． 2．如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】要找到表达式的最小值，需分析绝对值的取值范围及其对表达式的影响。 【详解】解：因为当最小时，的值最小， 所以当时，的最小值是. 故选C. 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，解题的关键是理解任意一个数的绝对值都是非负数. 3．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 4．若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，根据绝对值的非负性质得出，进而可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的最小值是5， 故选：B． 5．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性．当绝对值取最小值时，式子取得最大值． 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 6．若k为任意有理数，算式存在最大值，则这个最大值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确计算是解题的关键． 根据可得，即可得到答案． 【详解】， ， ， 最大值为； 故选：． 7．式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 8．当______时，|有最大值，最大值是（    ） A．1， B．1， C．，10 D．，9 【答案】B 【分析】根据绝对值具有非负性可得，据此可得，继而可得出答案． 【详解】， ， ， ∴当时，|有最大值， 即当时，|有最大值，最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 考点02 利用绝对值非负性求值 9．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 10．若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质和绝对值的非负性．熟练掌握非负数的性质和绝对值的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零，则每个项必须为零． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， ∴ ，即 ，∴ ，即 ， ∴ ． 故选A． 11．已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，根据平方项和绝对值项均非负，且它们的和为零，则每一项必须为零，由此计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， 故选：C． 12．若与互为相反数，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了非负数，相反数的定义，有理数的大小比较．熟练掌握相反数性质，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，是解题关键．直接利用两个互为相反数和为0列方程，绝对值的非负性质，非负数性质，得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 13．若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 14．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可得，， 求出、的值，进而得解． 【详解】解：， ，， ，， ． 故选：A ． 15．，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 16．若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 考点03 已知绝对值求值 17．已知，且，则 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法与减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的性质可得，，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，符合题意，则； 当，时，，符合题意，则； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上，的值为5或9， 故答案为：5或9． 18．已知x＞y，且，，则x－y＝ 【答案】1或7 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可确定出x+y的值． 【详解】解：∵，，， ∴x=±3，y=±4； ∵x＞y， ∴x=3，y=-4，或x=-3，y=-4， ∴x－y＝3-（-4）=7或x－y＝-3-（-4）=1. 故答案为1或7． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．已知，且a＞0,b＜0,则a－b= . 【答案】11 【分析】首先根据绝对值的定义可得a=±8，b=±3，再根据a＞0，b＜0确定a、b的值，然后再计算出a-b即可． 【详解】∵|a|=8，|b|=3， ∴a=±8，b=±3， ∵a＞0，b＜0， ∴a=8，b=-3， ∴a-b=11， 故答案为11． 【点睛】此题主要考查了绝对值，以及有理数的减法.绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数，绝对值等于0的数只有一个，就是0. 互为相反数的两个数的绝对值相等.同时熟记有理数的加减法则，计算要认真. 20．若，，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，根据绝对值的定义，可知，，然后根据，即异号，分类讨论得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴异号， ∴当时，，那么； 当时，，那么； 故答案为：或． 21．若，，，则的值为 ； 【答案】3或7 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的减法计算．根据绝对值的性质，a可能为2或，b可能为5或，再结合的条件，排除不满足的情况，得到两种可能组合，分别计算的值． 【详解】解：由，得或；由，得或， 又∵， ∴①当，时，； ②当，时，， ∴的值为3或7． 故答案为：3或7． 22．如果，， 且，那么的值是 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义与性质，有理数的符号判断与有理数的减法运算．熟练掌握绝对值的定义与性质，有理数的符号判断与有理数的减法运算是解题的关键． 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 根据绝对值的意义和条件 与 ，判断和的符号均为负，再代入求值． 【详解】∵ ， ∴； ∵， ∴． 又∵ ， ∴ 和同号， 又∵， ∴ 和均为负数，即，， ． 故答案为 ． 23．若和表示两个有理数，且，，则计算的结果是 . 【答案】 4或8 【分析】本题考查了有理数的减法，绝对值的意义，根据绝对值的意义求出a，b是解题的关键；根据绝对值的意义求出a，b，分情况代入计算即可得解． 【详解】解：， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值等于或． 故答案为：或． 24．若，且，则 ． 【答案】-8或0 【分析】由绝对值的性质可知m-n≤0，然后分类计算即可． 【详解】解：∵|m|=4，|n|=4， ∴m=±4、n=±4， ∵|m-n|=n-m， ∴m-n≤0，即m≤n， ∴m=-4、n=-4，或m=4、n=4，或m=-4、n=4， 当m=-4、n=-4时，m-n=0； 当m=4、n=4时，m-n=0； 当m=-4、n=4时，m-n=-8； 故答案为：-8或0． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质，有理数的减法，分类讨论是解题的关键． 考点04 绝对值相关综合性问题 25．下列说法中，正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④有最小值；⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据句绝对值的定义和性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①若，则；故①不正确，不符合题意； ②∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③当点C在点B右边时：，解得：， 当点C在点A和点B之间时，，解得：， 当点C在点A左边时，，解得：， ∴或或，故③不正确，不符合题意； ④∵， ∴当时，有最小值，故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， 则， ∵，， ∴a、b、c两正一负， ∴， 故⑤不正确，不符合题意； 综上：正确的有②④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，平方差公式，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 26．下列命题： ①若，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若不论x取何值，恒成立，则； ④若x，y满足，则的最小值为4． 其中，正确命题的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①解绝对值的方程即可；②根据一元一次方程的解解答即可；③根据与x的取值无关求解；④分类讨论即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． 故①不正确； ②把代入，得 ， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵若不论x取何值，恒成立， ∴， ∴ ∴， ∴． 故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴若x，y满足，则的最小值为4， 故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．也考查了绝对值方程，一元一次方程的解，绝对值的意义等知识． 27．下列说法中，错误的个数是（　　） ①若|，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与x无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤． 【详解】解：①若|，则，故①正确，不符合题意； ②若，则， ，故②错误，符合题意； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则或或，故③错误，符合题意； ④若代数式的值与x无关， 则， ， ，故④正确，不符合题意； ⑤，， a、b、c中一定是一负两正，，，， 不妨设，，， ， ， ， ， ，故⑤错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了根据绝对值的性质进行化简，整式的加减，数轴上两点之间的距离等，掌握绝对值的性质及数轴上两点距离的求法是解题的关键. 28．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合所学知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或4；②若，则；③若，则；④若且，则式子的值为；⑤关于x的方程有3个解．⑥若，那么的最大值为7，最小值为； A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 解，得或4；可判断①的正误；解，得；可判断②的正误；若，与的大小无法确定；可判断③的正误；由且，可得，，则式子的值为；可判断④的正误；解，可得或；可判断⑤的正误；当时，，则，当时，，可得最大值为7，最小值为；可判断⑥的正误． 【详解】解：由题意知，∵， 解得或4；①正确，故符合要求； ∵， 解得；②正确，故符合要求； 若，与的大小无法确定；③错误，故不符合要求； ∵且， ∴，， ∴式子的值为；④正确，故符合要求； ∵， 当时，，解得，； 当时，，无解； 当时，，解得，； ∴方程有2个解，⑤错误，故不符合要求； 当时，， ∴， 当时，， ∴最大值为7，最小值为；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 29．A、B两点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．对于以下结论： 甲：；    乙：； 丙：；        丁： 其中正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和丁 D．乙和丁 【答案】B 【分析】本题考查数轴及绝对值，根据所给数轴，得出a和b的取值范围即可解决问题．能根据所给数轴得出a，b的大小及绝对值的大小是解题的关键． 【详解】解：由所给数轴可知，，且， 所以，． 则， 故甲的结论正确． ， 即， 故乙的结论错误． 因为，且， 所以 又因为 所以， 故丙的结论正确． 因为，， 所以，， 则 故丁的结论错误． 故选：B． 30．我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为．则以下几种说法：①若，则；②方程的整数解为．③式子的最小值为9；④若，则的最小值为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值与数轴的应用，根据数轴上两点之间的距离，绝对值的意义求解即可．解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义． 【详解】①若， ∴x表示的数到8的距离等于3 ∴或，故原说法错误， ②∵ ∴x表示的数到的距离加上x表示的数到4的距离等于6， ∵到4的距离为6 ∴x在和4之间及端点， ∴方程的整数解有，，0，1，2，3，4故原说法错误； ③式子表示的是a表示的数到的距离加上a表示的数到4的距离加上a表示的数到1的距离， ∴当时，有最小值， ∴此时，故原说法正确； ④∵ ∴ ∵表示a表示的数到0的距离加上a表示的数到的距离， ∴当，时，最小值为2，此时a的最小值为， 表示b表示的数到1的距离加上b表示的数到4的距离， ∴当，时，最小值为3，此时b的最小值为1， 表示c表示的数到1的距离加上c表示的数到的距离， ∴当时，最小值为7，此时c的最小值为， ∵， ∴的最小值为，故原说法正确． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 31．阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值，读懂题意，理解绝对值的几何意义，是解答本题的关键． 表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，由此得到答案；同理，当时，取最小值，然后化简求出结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于，利用数轴可以得到结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ①表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，最小值为，此时的取值范围为，故①不正确； ②当时，取最小值，（为大于的奇数）， 即 ， 故②正确； ③表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于， 根据图像法，可得或， 故③不正确； ④表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，即， 故④正确， 综上正确的是②④， 故选：． 32．下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，错误，例如，但； ②若，则，错误，例如，但； ③若，则，错误，例如，但； ④若，则，故④正确； ⑤若，则，故⑤正确， 一定正确的有④⑤，共2个， 故选：B． 考点05 利用数轴去绝对值 33．有理数在数轴上的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，由数轴可得，则可得到，据此化简绝对值，并利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：B． 34．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则－2 +3=（ ） A．－2b B．0 C．－4a－b－3c D．-4a－2b－2c 【答案】C 【分析】先根据数轴得到a+c＜0，c－b＞0，a+b＜0，再代入计算即可． 【详解】根据数轴可得：a+c＜0，c－b＞0，a+b＜0， 则原式=－a－c－2(c－b)+3(－a－b) =－a－c－2c+2b－3a－3b =－4a－b－3c． 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，能够根据数轴得到相关式子的正负是解题的关键． 35．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|b－c|－2|c＋a|－3|a－b|＝( ) A．－5a＋4b－3c B．5a－2b＋c C．5a－2b－3c D．a－2b－3c 【答案】B 【分析】根据数轴比较、、与0的大小关系，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，，， 原式； 故选：B． 【点睛】本题考查数轴，涉及利用数轴比较大小，整式加减、绝对值的性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 36．已知，两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得：＜＜＜＜，进一步判断＞＜，再利用化简绝对值可得答案． 【详解】解：由题意得：＜＜＜＜， ＞＜， ， 故选： 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，合并同类项，去括号，掌握以上知识是解题的关键． 37．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为(    )    A．2n B．－2n C．2m D．－2m 【答案】D 【分析】先确定m和n的取值范围，再确定和的正负并去绝对值，最后合并同类项即可. 【详解】由m和n在数轴上的位置得：，且 则 原式 故答案为：D. 【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值的运算、整式的加减：合并同类项，根据数轴的定义判断出m和n的取值范围是解题关键. 38．如果在数轴上表示三个实数的点的位置如图所示，且那么结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由和数轴上a、b、c的位置判断其符合，在根据其与原点的距离判断出绝对值的大小，化简绝对值即可求解． 【详解】解：由和数轴可知： a＜0，b＜0，c＞0，且＝＞， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴及整式的加减，解题的关键是根据和数轴上a、b、c的位置判断其符合及正确理解绝对值的意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 39．实数，，在数轴上如图所示，化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的意义化简，合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴可得：b＜c＜0＜a， ∴=-b ;=-c ∴ =a-b+c 故选:C 【点睛】此题考查了数轴和绝对值，熟练掌握各自的意义是解本题的关键． 40．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．则化简|的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，灵活利用去掉绝对值的符号变化是解题的关键． 根据数轴推出，，，去掉绝对值后的代数式，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】根据数轴观察： ． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴原式． 故选：A． 考点06 绝对值的化简 41．已知为有理数，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查绝对值，有理数的乘法，有理数的加法，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，两数相乘，同号得正，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ． 故答案为：． 42．已知、、、是有理数，，则 ． 【答案】，， 【分析】根据、、、有理数符号，，得出共有种情况，然后分别进行化简即可． 【详解】解：①若有理数，，，有一个负数，三个正数， 则 ； ②若有理数，，，有二个负数，二个正数， 则 ； ③若有理数，，，有三个负数，一个正数， 则； ④若有理数，，，有四个负数， 则 ； ⑤若有理数，，，有四个正数， 则 ； 故答案为：，，． 【点睛】本题考查绝对值的化简，关键掌握利用有理数的符号化去绝对值符号． 43．三个有理数，满足，求 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了有理数的乘、除法运算，绝对值的意义、利用分类讨论的思想方法是解题关键．由条件可得，即三个有理数的乘积为正数，因此中要么全为正数，要么有一个正数和两个负数，分别计算两种情况下表达式的值即可． 【详解】解：因为， 所以，即均不为零，且它们的符号情况有两种： 若全为正数，则，，，，故； 若中有一个正数和两个负数，则正数对应的项为，负数对应的项为，且， 故； 因此，的值为或． 故答案为：或． 44．设，，为非零有理数，则算式可能的取值是 【答案】7或-1/-1或7 【分析】分a，b，c中都是正数，两正一负，一正两负，和都是负数分别取绝对值计算． 【详解】解：若a，b，c都是正数， 则=1+1+1+1+1+1+1=7； 若a，b，c中两正一负， 则=1+1-1+1-1-1-1=-1； 若a，b，c中一正两负， 则=1-1-1-1-1+1+1=-1； 若a，b，c都是负数， 则=-1-1-1+1+1+1-1=-1， 故答案为：7或-1． 【点睛】此题考查了有理数的除法，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 45．若abc＞0，a+b+c=0，则= ． 【答案】． 【分析】根据条件判断a、b、c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c=0， ∴a、b、c中必有两个是负数，一个是正数， 不妨设，，， ∵， ∴，，， ∴ = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是正确判断a、b、c与0的大小关系，本题属于基础题型． 46．已知有理数，，满足，且，则 ． 【答案】． 【分析】根据有理数，，满足，且，得到，，中必定只有一个正数，两个负数，分三种情况讨论：当时，，；当时，，；当时，，；然后化简绝对值求解即可． 【详解】解：∵有理数，，满足，且， ∴有理数，，中必定只有一个正数，两个负数， 当时，，， 则：； 当时，，， 则：； 当时，，， 则：； 综上所述，， 故答案是：． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟悉相关性质是解题的关键． 47．若，且，则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；利用绝对值的代数意义判断得到中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 【详解】解：∵，且， ∴中负数有一个或三个， 当中有一个负数时：， 当中有三个负数时：， 则原式或， 故答案为：1或 48．若非零有理数m、n、p满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，解决本题的关键是根据已知条件得出． 先根据得出，然后再对原式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴m、n、p的符号为两负一正， ∴， ∴． 故答案为：． 考点07 利用绝对值非负性求值 49．若，则满足条件的整数x的值有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点的距离关系分析方程． 根据绝对值的几何意义，确定的取值范围为，再找出该范围内的整数个数． 【详解】解： 表示数轴上点到点 和点2的距离之和． 在 和2之间（包括端点）时， 即 ， 距离之和恰好为 ，与方程右边的5相等． 整数有：，共 6个． 故答案为：6 50．的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 51．m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题考查绝对值意义，解一元一次方程的应用，理解绝对值的几何意义，掌握解一元一次方程的步骤，利用分类讨论思想解题是关键．分三种情况，结合绝对值的意义化简求解． 【详解】∵可以看作数轴上表示x的点距离表示的点的距离之和，且的最小值是7， ①当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得： ②当时，即，则时，原式有最小值，此时，故不合题意； ③当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得：； 综上，m的值为或8， 故答案为：或8． 52．若、为正整数，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程；根据题意得出，，结合、为正整数，即可求解． 【详解】解：∵表示数轴上表示数的点到和的距离的和，则， ∴表示数轴上表示数的点到和的距离的和，则， ∵，则或 ①当时，则， 当时，，解得：（舍去） 当时，不合题意， ②当时，则， 当时，，解得： 当时，，解得：（舍去） 由，当时，都成立，又∵为正整数，则， 综上所述，， 故答案为：，． 53．已知，则的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 54．当取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质，分三种情况讨论即可求解，利用绝对值的性质分类讨论是解题关键． 【详解】解：当时，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，，， ∴ ， 当时，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为，取值范围是， 故答案为：，． 55．若，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意可得表示数轴上表示x的点到表示的点的距离与数轴上表示x的点到表示的距离和为，分为，，三种情况来讨论即可． 【详解】解：根据题意：表示数轴上表示x的点到表示的点的距离与数轴上表示x的点到表示的距离和为， 当时， ，则数轴上表示的点到表示的距离为， 数轴上表示的点到表示的距离大于，不符合题意； 当时， 同理，数轴上表示的点到表示的距离大于，不符合题意； 当时， ，则数轴上表示的点到表示的距离为， 数轴上表示x的点到表示的点的距离与数轴上表示x的点到表示的距离和为，符合题意； 故答案为：． 56．若表示一个有理数，则的最小值是 ． 【答案】11 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义．可看作是数轴上表示x的点到4、、三点的距离之和，当时，有最小值，把代入即可得到结论． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：． 考点08 绝对值非负性相关综合性问题 57．众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为． (1)当，时，求A、B两点之间的距离； (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求的值； (3)已知，设点C在数轴上表示的数为x． ①填空：当时，x满足的条件为______， 当时，x满足的条件为______； ②对于，求的最小值及其C点的位置． 【答案】(1)5 (2)0 (3)①；；②当时，最小值为，此时点C在点A处；当时，最小值为2025，此时点在线段上（包括端点）；当时，最小值为2025，此时点C在点B处 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义； （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式得到，再分情况讨论计算即可； （3）①当点C在线段外时，，即，点C到A、B两点的距离之和，点C在线段上，此时，，据此求解即可； ②根据①中结论求解即可，注意分，，三种情况讨论． 【详解】（1）解：A、B两点间的距离为：； （2）解：依题意得， 当时，，； 当时，，； ∴； （3）解：①∵， ∴A、B两点间的距离为， ∴当点C在线段外时，，即，点C到A、B两点的距离之和， 点C在线段上，此时，， ∴当时，点C在线段上，，则，解得； 当时，点C在线段上，，则，解得； 故答案为：，； ②当时，，由①可得，当时，即C点在点处时，，即有最小值，最小值为． 当时，C点在线段上时，； 当时，由①可得，当时，即C点在点处时，有最小值，最小值为． 58．阅读下面材料：如图，点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．    根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与的两点之间的距离是______． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到1和所对的两点距离之和．请你画出数轴，写出所有符合条件的整数，使得． (4)若表示一个有理数，则有最小值吗?若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【答案】(1)10 (2)或， (3)，，，0，1 (4)有，的最小值为 【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）画出数轴结合绝对值的定义求解即可； （4）根据题意，表示到，1011这两点的距离之和，当时，有最小值． 【详解】（1）解；， 故答案为：10； （2）解：， 或， 或； ，表示到1和的距离相等， ， 故答案为：或，； （3）解：如图，   ， 的整数符合题意， 使得成立的所有符合条件的整数为：，，，0，1； （4）解：如图，   表示到，1011这两点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 59．我们知道，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 　　，数轴上表示1和两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示和的两点A、B之间的距离为 　　，如果，那么x的值为 　　； (3)求的最小值是 　　； (4)若，则　　． 【答案】(1)3，4 (2)；0或 (3)3 (4)或2 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据所表示的意义，结合数轴得出当时，这个距离之和最小，最小值为3； （4）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出当或时，存在的的值，从而利用数形结合思想解决问题． 【详解】（1）解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示1和两点之间的距离是． 故答案为：3，4； （2）数轴上表示和的两点、之间的距离为， 如果，那么， 因为数轴上与距离为2的点表示的数有两个：0或， 所以或， 故答案为：；0或； （3）如图： 的意义为数轴上表示数的点到表示数1和数的点的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值为； （4）若， 当时，如图可得：； 当时，如图可得：； 当时，此时，不符合题意； 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式． 60．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或 (3)； (4) (5)， 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴得 数轴上表示和的两点之间的距离是：； 表示和两点之间的距离是：； 故答案：；． （2）解：由得， ， 所以表示与距离为， 因为与距离为的是或， 所以或． 故答案：或． （3）解：由，得， ，， 所以表示与的距离为，与的距离为，， 所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 当，时，则A、B两点间的最小距离是， 故答案：，． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数a的点位于与之间， 所以， 故答案：． （5）解： ， 所以表示与、、的距离之和， ①如图，当表示的点在的右侧时，即，    由数轴得： ， 所以， 所以； ②如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ③如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ④当表示的点在或或的点上时， 即或或， 如图，当时，   ； 如图，当时，   ； 如图，当时，   ； 因为， 所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为； 综上所述：当，的最小值为． 故答案： ，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键． 61．数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________； (3)①找出所有使得的整数x； ②求的最小值． 【答案】(1)5，5 (2)3， (3)①，0，1，2．  ②4 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值； （3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是； ②对x进行讨论，可得的最小值． 【详解】（1）表示和2的两点之间的距离是， 表示和3的两点之间的距离是； 故答案为：5，5； （2）由题意可得，， ∴或， ∴或； 故答案为：3，． （3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）， 就有，因此这样的整数是； ②对x进行讨论： 当时，，恒成立； 当时，； 当时，； 综上，的最小值为4． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键． 62．同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________； (2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 【答案】(1)5；1或 (2)4 (3)2，5 (4)最大值为7，最小值为 【分析】（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，与表示的点的距离为3的点表示的数为1或，由此可解； （2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，利用数轴上两点间距离公式即可求出最值； （3）由（2）可知，当时，有最小值，又当时，有最小值，由此可解； （4）先根据已知式子得出，，，进而分别求出x，y，z的最大值和最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3的点与表示的点的距离为5， ； ， 表示x的点与表示的点的距离为3， ，， 或． （2）解：可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和， 当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：． （3）解：可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 即当时，的最小值是5． （4）解：，，， ， ， ，，， ，，， 的最大值为：，最小值为：， 即的最大值为7，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值与数轴相关知识，读懂题目所给信息，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 63．综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和的两点之间的距离是__________； 独立思考： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为__________； （3）试用数轴探究：当时m的值为__________． 实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （5）当的值最小时，m的值为__________（直接写出答案即可）． 【答案】（1）；（2）；（3）5或；（4）；（5）9 【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在2的左边；点在2的右边；分别列式计算便可； （4）确定与1的距离加上与4的距离之和最小时，的取舍范围，再在该范围内求整数； （5）表示数轴上某点到表示、9、16三点的距离之和，依此即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是：； 数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：6；5； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）表示数的点与表示数2的点距离为3， 当表示数的点在2的左边时，， 当表示数的点在2的右边时，， 所以或5， 故答案为：或5； （4）表示数轴上和1两点之间的距离，表示数轴上和4两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， 可取的整数有：1，2，3，4． （5）表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和9两点之间的距离， 表示数轴上和16两点之间的距离， 当且仅当时，距离之和最小， 当的值最小时，的值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 64．我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离； 这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离； 即数轴上数x1，x2对应两点之间的距离为|x1﹣x2| 在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2； 例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和一1，即该方程的x＝3或x＝﹣1； 例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|>2的解为x<﹣1或x>3； 例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在I的右边，如图可以看出x=2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=﹣3． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 　 　； (2)方程|x﹣3|＝4的解为 　 　；|x+4|＝7的解为 　 　； (3)不等式|x﹣3|＞4的解集为 　 　； (4)方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 　 　； (5)不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 　 　． 【答案】(1)7 (2)-1或7；3或-11 (3)x<﹣1或x>7 (4)x=4或x=﹣5 (5)x>4或x<-5 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）利用绝对值的几何意义，在数轴上找出与3距离为4的点对应的数即可；在数轴上找出与-4距离为7的点对应的数即可 （3）在数轴上找出|x﹣3|＝4的解，即可得出不等式|x﹣3|＞4的解集； （4）根据绝对值的意义，画出图形，来解答； （5）根据绝对值的意义，画出图形，来解答； 【详解】（1）数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为：｜5-（-2）｜=5+2=7 故答案为：7； （2）根据绝对值得意义，方程|x-3|=4表示求在数轴上与3的距离为4的点对应的x的值为-1或7． 故答案为：-1或7； 方程|x+4|＝|x-（-4）|＝7表示求在数轴上与-4的距离为7的点对应的x的值为-11或3． 故答案为：3或-11； （3）如图，在数轴上找出|x﹣3|＝4的解，即到3的距离为4的点对应的数为﹣1，7，则|x﹣3|>4的解为x<﹣1或x>7； 故答案为：x<﹣1或x>7 （4）如图， 由绝对值的几何意义知，方程|x﹣3|+|x+4|＝9表示求在数轴上与3和﹣4的距离之和为9的点对应的x的值．在数轴上3和﹣4的距离为7，满足方程的x对应点在3的右边或﹣4的左边．若x对应点在3的右边，如图可以看出x=4：同理，若x对应点在﹣4的左边可得x=-5． 故原方程的解是x=4或x=﹣5． 故答案为：x=4或x=﹣5 （5）如图， ∵3和-4的距离为7， 因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧． 当x在3的右边时，如图， ∴x>4； 当x在-4的左边时，如图， ∴x<-5． ∴原不等式的解为x>4或x<-5 故答案为：x>4或x<-5 【点睛】本题考查了绝对值，本题是一道材料分析题，通过阅读材料应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23专题02绝对值相关压轴题(8种类型64道) 考点归纳 考点01利用绝对值非负性求最值 考点02利用绝对值非负性求值 考点03已知绝对值求值 考点04绝对值相关综合性问题 考点05利用数轴去绝对值 考点06绝对值的化简 考点07利用绝对值非负性求值 考点08绝对值非负性相关综合性问题 考点专练 考点01利用绝对值非负性求最值 1.关于a-4+9,下列说法正确的是() A.当a=4时，有最小值5 B.当a=4时，有最大值9 C.当a=4时，有最小值9 D.当a=4时，有最大值13 2.如果a是有理数，那么a-2025的最小值为() A.-2023 B.-2024 C.-2025 D.不存在 3.式子x++2取最小值时，x等于() A.0 B.1 C.2 D.-1 4.若a是有理数，则a-3+5的最小值是() A.0 B.5 C.2 D.3 5.如果x为有理数，式子2026-x-4存在最大值，那么这个最大值是() A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 6.若k为任意有理数，算式2025-4+存在最大值，则这个最大值是（) A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 7.式子5-x-2的最大值是() A.5 B.7 C.3 D.0 119 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 8.当x=时，-9-x-有最大值，最大值是() A.1,-10 B.1,-9 C.-1,10 D.-1,9 考点02利用绝对值非负性求值 ac 9.若5a-++2c+2=b,则a+c的值为（）· A.2 B.-2 C.1 。号 10.若(a-1)2+b+2|=0,则a-b的值是() A.3 B.-3 C.1 D.-1 11.已知a,b都是有理数，若(a-1)+b+3引=0，则a,b的值分别为() A.1,3 B.-1,3 C.1,-3 D.-1,-3 12.若a+1与b2互为相反数，则a与b的大小关系是() A.a>b B.a=b C.a≥b D.a<b 13.若a+3引与b-1互为相反数，则() A.a=-3,b=-1B.a=-3,b=1 C.a=3,b=1 D.a=3,b=-1 14.已知x+3+y-5=0,则x+y的值为() A.2 B.-2 c.8 D.-8 15.a-3+b+2=0,则a+b-3=() A.3 B.-2 C.-3 D.2 16.若m-2+n+7=0,则m+川=() A.2 B.7 C.8 D.5 考点03已知绝对值求值 17.己知ld=7,b=2,且la+=a+b,则a-b=一 18.已知x>y,且=3，川=4，则x-y= 19.已知l4=8,bl=3,且a>0,b<0,则a-b=一 20.若a=3,1b=4,且ab<0,则a+b= 21.若a=2,ll=5,a>b,则a-b的值为一： 22.如果d=3,=2,且ah<0,ab>0那么a-b的值是 2/9 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 23.若a和b表示两个有理数，且la=2,=6,则计算a-的结果是 24.若m-n卡n-m,且m=4,n=4,则m-n=一。 考点04绝对值相关综合性问题 25.下列说法中，正确的个数是() 1 ①若aa 则a≥0 ②若la>bl,则有(a+b(a-b)是正数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、6、x,若相邻两点的距离相等，则x=2; b+c,a+c a+b @k-2+1-有最小值：⑤a+b+c=0'bc<0'则回+闪+4的值为生 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 26.下列命题： ①若2x+x=9,则x=3; ②若b+c-a=0,则关于x的方程ar+b+c=0(a≠0)的解为x=-1; ③若不论x取何值，ax-b-3x=2恒成立，则a-b=5; ④若x,y满足x-+y-3=2-r-5+y-,则x+y的最小值为4. 其中，正确命题的个数有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 27.下列说法中，错误的个数是() @若则0 ②若a>b,则有(a+b(a-b)是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、6、x,若相邻两点的距离相等，则x=2; ④若代数式2x+9-3刘+1-+2015的值与x无关，则该代数式值为2023： b+c,a+c a+b ⑤若a+b+e=0'c>0'则1a+Tb+1c的值为±1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 28.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：x+的几何意义是数轴上表示数x的点与表 示数-1的点的距离，x-2的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.结合所学知识，下 列说法中正确的个数是() 3/9 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ①若r-3=1,则x=2或4：②若x-=x+3引，则x=-1:③若x>y,则r-2>y-2:④若a=b且 口-小子，则式子“伦值为10：⑨关于的方程+k-2=5有3个解@无区4队 x+3-x-4的最大值为7，最小值为-7； A.3 B.4 C.5 D.6 29.A、B两点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论： B A 3 0 3→ 甲：(a+b)(a-b)<0: 乙：a>lbl； 丙：la-bl=abl: 丁： l2-3,b+-0 a-3b+3 其中正确的是() A.甲和乙 B.甲和丙 C.丙和丁 D.乙和丁 30.我们知道，数轴上两个点A、B,它们表示的数分别是a、b,那么A、B两点之间的距离为AB=Q-b. 如2与3的距离可表示为2-3引，2与-3的距离可表示为2-(-3列.则以下几种说法：①若-3=8，则 x=11:②方程x+2+x-4=6的整数解为x=1.③式子la+5+la-4+la-1的最小值为9：④若 a+la+2-b+1+b+4(-c+1+十c-列=42，则2a+b+c的最小值为-9.其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 31.阅读：如3-，表示3与1差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离： 3+=3-(,所以3+表示3与-1在数轴上对应的两点之间的距离，点A、B在数轴上分别表示有理 数a、b,那么A、B之间的距离可表示为a-b,那么下列说法中： ①x+2+x-1的最小值为3，且当式子取得最小时，x的值为-2或1： ②-小+k-+k-+K-4++k-川的最小值为(n为大于3的奇数)； ③当x-3+r+5>10,x的取值范围是x>4: ④x-3引-x+5的最大值为8，且当式子取得最大时，x的取值范围是x≤-5. 其中正确的个数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 4/9 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 32.下列五种说法中：①若a>b,则4>bl:②若a>bl,则a>b:③若a≠b,则a2≠b2;④若 d=l,则a2=b2;⑤若la+=la+M,则ab≥0，一定正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点05利用数轴去绝对值 33.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则la-a--b+c的值为() b0c A.-b B.-b-2c C.-2a-b D.2a-b-2c 34.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则la+c-2c-b+3b+a=() 9 b 0C A.-2b B.0 C.-4a-b-3c D.-4a-2b-2c 35.已知有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：1b-c-2|c+a一3|a一bl=() 。 A.-5a+4b-3cB.5a-2b+c C.5a-2b-3c D.a-2b-3c 36.己知a,b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式a-b+b+1川的结果是() -54-3-26101a2345 A.a+1 B.a-2b+1 C.a-2b-1 D.a+2b+1 37.有理数m,n在数轴上的位置如图所示，化简m-川+m+的结果为() -3-2-1012 A.2n B.-2n C.2m D.-2m 38.如果在数轴上表示a,b,c三个实数的点的位置如图所示，且a+c=0那么|a+b|-|a-c|结果为() a b A.b-c B.2a+b+c C.-b-c D.-2a+b-c 39.实数a,b,c在数轴上如图所示，化简a+例-c结果为() co a A.a+b+c B.a+b-c C.a-b+c D.a-b-c 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.己知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示.则化简11-d-c--b-1+1-￠的结果是() C B c-1 0b 1 a A.a-3 B.a+2c-1 C.a-2c-1 D.-a-2c+1 考点06绝对值的化简 41.已知。b为有理数，ab>0,a+b<0:则+日4 的值为 a b ab 42.已知。bcd是有理数，cd≠0则量+6++日 43.三个有理数bc’满足=1，求a+万+。+b=一· abc a bc abl ac bcabc 4.设。'b'。为非零有理数，则算式十方+闷b+a十加+可能的取值是 45.若abc>0,a+b+c=0,则一 letd.lat a b c la b abc 46.已知有理数。'6'。满是。+h+e=0,且kc>0则a可十a 7若o=咖，且0则日+A,与 a b c +四+卫=-1，则3m 2mnp_ 48.若非零有理数m、n、p满足 m n p 考点07利用绝对值非负性求值 49.若x+3+x-2=5,则满足条件的整数x的值有一个. 50.a-b的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当x≥t时，x+2-x-3到的值均为定值， 则t的最小值是一· 51.m是常数，若式子x++x++x+m的最小值是7，则m的值为 52.若m、n为正整数，且m-2+m-6列(n-+n+2到=24，则m=一，n=- 53.已知(1x+1+x-2y-2+y+1)0z-3+|z+1)=36,则x+y+z的最大值是 54.当x-2+x-7取最小值时，x的取值范围是一，最小值为一 55.若x+5+x-2=7,则x的取值范围一 619 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 56.若x表示一个有理数，则-4+x+1+x+7的最小值是一. 考点08绝对值非负性相关综合性问题 57.众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,那么A、B两点间的距离为la-b. (1)当a=3,b=-2时，求A、B两点之间的距离： (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求ab的值： (3)已知a-b=-2025,设点C在数轴上表示的数为x. ①填空：当k-4+2水-=2025时，x满足的条件为 当2-4+-b=2025时，x满足的条件为一： ②对于p>0,求x-a+px-b的最小值及其C点的位置， 58.阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a,b,则A、B两点之间的距离可以表示 为a-b. b A B 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与-2的两点之间的距离是 (2)若x+=3,则x=:若x-1=x+3到，则x= (3)x-1+x+3引表示数轴上有理数x所对的点到1和-3所对的两点距离之和.请你画出数轴，写出所有符合 条件的整数x,使得x-1+x+3=4 (4)若x表示一个有理数，则+504+k-101叫有最小值吗？若有，请直接写出最小值.若没有，说出理由. 59.我们知道，4表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点A、B,分 别用a,b表示，那么A、B两点之间的距离为ABa-b.利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3两点之间的距离是： (2)数轴上表示x和-2的两点A、B之间的距离为，如果4B=2,那么x的值为； 3)求-+x+2到的最小值是一： 4若x-1+k+2=5,则x= 60.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： -5-4-3-2-1012345 (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示-2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表 719 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 示数m和数n的两点之间的距离等于m-n. (2)如果x+=2,那么x=: (3)若l口-3到=4，b+2=3,且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B,则A、B两点间的最大距离是 最小距离是 (4)若数轴上表示数a的点位于-3与5之间，则l口+3到+a-5= 5)当a=时，a-+a+5+la-4的值最小，最小值是 61.数轴上表示数-5的点与原点的距离可记作|-5-0H-5=5；表示数-5的点与表示数-2的点的距离可 记作|-5-（-2)曰-3上3.也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a,B点表示的数记为b.则4，B 两点间的距离就可记作|a-b. 回答下列问题： (1)数轴上表示-3和2的两点之间的距离是」 数轴上表示-2和3的两点之间的距离是」 (2)数轴上表示x与-2的两点A和B之间的距离为5，那么x为】 (3)①找出所有使得|x+1+|x-2上3的整数x: ②求x+3引+x-1的最小值. 62.同学们都知道，7-(-川表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在数轴上所对的两 点之间的距离.如x一可的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数6的点之间的距离.试探索： 1)求3-(-2= 若x+2=3,则x= 2)-1+x+3到的最小值是」 (3)当x=」 时，x+1x-2+x-4的最小值是 (4)已知(x+1+-2×y-2+y+×2-3+2+=36则求出x+y+z的最大值和最小值. 63.综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距离 ABHa-b1.利用数形结合思想回答下列问题： A B a 0 b (1)数轴上表示1和7两点之间的距离是 数轴上表示3和-2的两点之间的距离是 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 独立思考： (2)数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为 (3)试用数轴探究：当|m-2=3时m的值为 实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出x-1+|x-4的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ (5)当|m+1+m-9+m-16的值最小时，m的值为 (直接写出答案即可). 64.我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x=x~O|,也就是说，x表示在 数轴上数x与数0对应点之间的距离： 这个结论可以推广为x~x表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离： 即数轴上数x,x2对应两点之间的距离为lx,·x2 在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例1：解方程引x=2.容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2： 例2：解方程引x·1|=2.容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和一1，即该方程的x=3或 x=-1: 例3：解不等式x·1|>2.如图，在数轴上找出x·1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为- 1,3,则|x·1>2的解为x<-1或x>3: 一2 2 -2 -1 0 12 3 4 例4：解方程1x-1+x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5 的点对应的x的值.在数轴上1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边.若x对 应点在I的右边，如图可以看出x=2:同理，若x对应点在-2的左边可得x=-3.故原方程的解是x=2或x= -3 4 K1- -2 -1 01 3 参考阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示-2与5两点之间的距离为； (2)方程|x·31=4的解为；1x+41=7的解为 (3)不等式x·3|>4的解集为一： (4)方程1x-3|+x+4=9的解为 (5)不等式x·3|+1x+4|29的解集为. 919