专题04 数轴相关动点压轴题02（动点的变速、往返、多动点等问题，4种类型32道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期北师大版2024

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04数轴相关动点压轴题02(4种类型32道) 考点归纳 考点01数轴动点变速运动问题 考点02数轴动点往返运动问题 考点03数轴动点多动点（三个及以上）运动问题 考点04数轴动点线段运动问题 考点专练 考点01数轴动点变速运动问题 1.已知a、b为常数，且关于x、y的多项式-20x2+ac-y+12-(bx2+12x+6y-3列的值与x取值无关，其 中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6 个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒. B → (1)求a、b的值： (2)用t表示点E在数轴上对应的数为： ,点F在数轴上对应的数为： (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍. 在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间t的值. 2.如图，点A,B分别为数轴正半轴上两点，对应的数分别为a,b,C,知a=4,AB=A0.若动点 P从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，动点Q从点B出发，以v个单位长度/秒的速度 向左匀速运动. B (1)点B表示的数为，点P表示的数为；（用含t的式子表示） 2)若经过3秒时，P=2,求v的值： 3)若v=4 =3,现将0：B两点之间变为点Q的“变速区”，规定为：点Q从点月运动到点4期间速度变为原 来的两倍，从点A到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，动点P从原点O出发，仍以1个 单位长度/秒的速度向右匀速运动.请问，是否存在符合条件的t,使P,Q两点到点O的距离相等？若存 在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由。 3.我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为X1、x2,C为线段AB的中点，则点C在数轴上对 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 应的数x可以表示为=，已知从、N两个点对应的数分别为.，和2， M N M 5-4-3-21012345→ 5432012345 图1 图2 P M NH 876543210123456789 图3 (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单 位长度和2个单位长度，若1秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值： (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的 速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“-3”为MN的中点： (3)如图3，三个定点P、Q、H在数轴上对应的数分别为-8、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动， 点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度.当M到达点P时返回，N到 达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为 每秒1个单位长度.在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动， 到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另 外两个点为端点的线段中点时对应的时间1（写出计算过程）· 4.若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的 速度，则称这条数轴为魔幻数轴， 如图，已知一魔幻数轴上有A,O,B三点，其中A,O对应的数分别为-10,0，AB为47个单位长度， P,分别从A,O两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，P的速度为3个单位/秒，Q的速度为1个 单位/秒，设运动时间为秒，P到达点B后以当时的速度立即返回（掉头时间不计)，当P回到点A时， P、Q同时停止运动. 40 -100 (1)点B对应的数为一，P出发秒后追上Q(即第一次相遇)： (2)当P到达点B立即返回后第二次与Q相遇时，t=_ ,相遇点在数轴上表示的数是 (3)P,Q运动过程中是否存在某段时间内3PQ+4BP为定值？若能，求出该定值并写出对应的t的取值范 围，若不能，请说明理由. 5.如图，数轴上点O为原点，点A表示-15，点B表示-8，点C表示8.动点P,Q同时出发，点P从点 A出发，沿数轴正方向运动至点C,出发时速度为每秒1个单位长度，到点B后速度变为原来的2倍；点 Q从点C出发，沿数轴负方向运动至点A,出发时速度为每秒2个单位长度，到点B后速度变为原来的一 半.设运动时间为1秒(t≥0). 2/13 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A→P 0 ←一 C -15 -8 0 8 (1)点P从点A运动至点C时，t的值为. 秒 (2)当t=10秒时，点P在数轴上表示的数是 当点Q在线段AB上运动时，它在数轴上表示的 数是 一：（用含t的代数式表示，无需写出t的取值范围） (3)当P,Q两点相遇时，相遇点M所表示的数是 (4)当线段PB与Q0的长度相等时，t的值为 6.已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数-12、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长 度的速度向右移动.设移动时间为1秒，试回答以下问题： A 0 -12 0 9 20 (1)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (2)如图： 变速区 A 小 0 9 20→ 当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动. 0、B两点之间为“变速区”，规则为从点0运动到点B期间速度变为原来的)，之后立刻恢复原速，从 点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速.是否存在符合条件的t,使P、Q两点到点 B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 7.如图，点O是数轴的原点，数轴上的点A对应的数是-24，点B对应的数是-8.点C对应的数是8： 数轴上有两个动点M,N,点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向点C匀速运动，到达点C后 立即返回，速度变为每秒3个单位沿数轴向点A匀速运动，点N从点B出发沿数轴以每秒1个单位的速度 向点C匀速运动；点N与点M同时出发，设点M,N的运动时间为x秒，当x=10秒时，点M,N同时停 止运动. A -24 808士 (1)求A,C两点之间的距离AC； (2)求M,N两点相遇时对应的x的值： (3)在全部运动过程中，当点M,N,O中的任意一点为另外两个点连接成的线段的中点时，直接写出所有 满足条件的x的值. 8.如图，数轴上A,B,O两点表示的数分别为-2,13,0. 数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A,B表示的数分别为，b,则A、B两点之间的距离表示为 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=a-b.数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为x-a+x-b.同理，数 轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之差记为x-a-x-b. AO B -20 13 1)若r-2=x+4,则x=一·x-+k+2的最小值为一·1x-21-x+3的最小值为 (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为t,当动点P到点O与点 B的距离之差等于点P到点A与点O距离之和的最小值时，求出t的值及此时点P表示的数. (3)点C,D表示的数分别为-1,3，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当到达点 B后立即速度减半返回A点；动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当到达点A后停 留s,然后速度变为原来的两倍返回B点.当点A、B中某一点返回到达出发点时，两个点均停止运动， 点M、N同时开始运动，经过多少秒时，点N到点C的距离等于点M到点D距离的两倍 考点02数轴动点往返运动问题 9.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. 32十0十2方4→ (1)若点P到点A,点B的距离相等，则点P对应的数是 (2)数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请直接写出x的值：若不存在， 说明理由： (3)点A、点B分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度向右运动，同时点P以每分钟6个 单位长度的速度从O点向左运动.当点P遇到点A时，点P立即以原来的速度向右运动，当点P遇到点B 时，立即以原来的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过 的总路程是多少？ 10.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1,3，点P为数轴上一动点，其对应的数为a. A B 54-3-21012月45 (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数 (2)数轴上是否存在一个点P,使点P到点A、点B的距离之和为8，若存在，求出a的值，若不存在，请说 明理由。 (3)若点A以每分钟2个单位长度向左运动，点B以每分钟6个单位长度向左运动： ①当点P以每分钟1个单位长度从数轴上的数2开始向左运动，A、B、P三点同时出发，几分钟后P点到 点A、点B的距离相等？ ②当点P以每分钟8个单位长度从原点开始向左运动，当遇到点A时；点P立即以同样的速度向右运动， 当遇到点B时，点P立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，A、B、P三点同时出 发，求点A与点B重合时，点P所运动的总路程是多少个单位长度？ 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和 良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一 次.将这条直线看成数轴，起点记为M,折返点记为N,主席台记为点O,两位同学分别记为点P,: 若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点： 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n,且满足|m+20+(n-40)2=0. -30-25-20-15-10-5051015202530354045 (1)求出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x,那么当x为多少时能使得P到O的距离与P到N的距离之和为50？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始 改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值， 12.如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另 一动点Q从点A出发，以2个单位/秒的速度在O,A之间往返运动，设运动的时间为t(秒)· PO 9 A 1 (1)当t=3时，求点Q到点P的距离： (2)当点Q到点P的距离为7时，求运动的时间t(秒)： (3)当P、Q开始运动时，又一动点M同时从点O出发，以3个单位/秒的速度先向右运动.当点M遇到点 Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返， 当点P、Q相距13个单位时，点M行驶的总路程为_个单位. 13.如图，数轴上线段AB=2(单位长度)，CD=4(单位长度)，点A在数轴上表示的数是-12，点C 在数轴上表示的数是14. AB C D 0 (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长 度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒.点M,N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到 点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M,N两点相距12个单位长度时， 点P立即停止运动，此时点P移动的路程为_个单位长度； 1 C 14.如图，数轴上有ABC、O四点，点0是原点，BC=3AB=8’OB=2 (1)写出数轴上点A表示的数为 (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段4P的中点，点N在线段CQ上，且C=CQ.设运动 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时间为(>0)秒. ①直接写出数轴上点M表示的数为 点N表示的数为 (用含t的式子表示). ②求当t是多少秒时，原点O恰为线段MN的中点. ③若动点R从点A出发，以每秒9个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发， 当点R遇到点Q后，立即返回以原速度向点P运动，当点R遇到点P后，又立即返回以原速度向点Q运动， 并不停地以原速度往返于点P与点之间，当点P与点Q重合时，点R停止运动.问点R从开始运动到停 止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ A OB C 15.如图，己知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A,B两点间的距离为8，动 点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒(t>0), (1)点P运动到线段AB的中点时，它所表示的数是一· (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.点C在数轴上表示的数为-22， 动点R从点C出发，沿数轴向右匀速运动，动点P,Q,R同时出发 ←—QB ←一P A 0 6 ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②动点P、Q运动到点C时则立即返回以原速度向点A运动，动点P运动到点A时又立即以原速度向点C 运动，点P不停地以原速度往返于点C与点A之间.当动点R运动到18秒时，动点P、Q、R三点同时停 止运动，则点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 16.已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. A0PLB→ -2-10 3 (1)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，折叠点为P,则点P表示的数为，与-2重合的点为」 ； (2)数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理 由： (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的 速度从O点向左运动.当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间， 求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 考点03数轴动点多动点（三个及以上）运动问题 17.预备知识：在数学中，点A与点B之间的距离用AB表示.如图，在数轴上点A表示数，点B表示数 b,点C表示数c,已知数b是最小的正整数，且a,c满足a+2+(c-7)=0. 6/13 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A B (1)填空：a=_,b=_,c=_· (2)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以 每秒m(m<4)个单位长度和4个单位长度的速度向右运动 ①运动5s后，求A,B,C三点在数轴上所表示的数： ②若在此过程中，AC+AB的值为52，求m的值. (3)若在此数轴上有一动点Q,且点Q表示整数y,当y+2+y-7取最小值时，求符合条件的所有y的和. 18.如图，点A、B都在数轴上，O为原点，且O,A两点间的距离OA=3,A,B两点间的距离AB=8. B OA B OA 备用图1 B 0 A 备用图2 (1)请直接写出点A、B表示的数，A:,B:一 (2)若点A以每秒2个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后A, B两点间的距离AB=3? (3)我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的 点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”，比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为 3、0、9,这三点满足OE=3OD,则称点O是点D和点E的“友好点”. 若点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度 向左运动，点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动.三点同时出发，设运动时间为秒. 在运动的过程中，当点P是点Q和点M的“友好点”时，点P和点M之间的距离PM是一个定值.请你 求出这个定值. 19.如图，己知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且 AC=10,动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(t>0)秒. OB (1)数轴上点C表示的数为一，并用含t的代数式表示点P所表示的数为 (2)设M是AP的中点，N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MW的长度是否发生变化？若变化，请说 明理由；若不变，求线段MN的长度； 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个 单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离， 这两段距离何时相等，请求出此时t的值. 20.己知数轴上A,B,C三点对应的数分别为-1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.点A 与点B之间的距离表示为AB,点B与点P之间的距离表示为BP,点A与点P之间的距离表示为AP,点 C与点P之间的距离表示为CP A B C 3201234567 (1)若AP=CP,则x= (2)若AP+BP=6,求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每 秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发.设运动时间为t秒，试判断：3BP-AB的值是否会随着1的 变化而变化？请说明理由. 21.已知数轴上A,B两点表示的数分别为a,b,AB表示线段AB的长度.对于线段AB和数轴上的点 C,给出如下定义： CA,CAzCB d(C,AB= CB,CA<CB'此时，我们称dC,AB)是点C和线段B的极大距离.例如：数轴上A,B两点 表示的数分别为-2,3，点C是原点，此时因为CA=2,CB=3,且CA<CB,所以(C,AB)=CB=3. (1)当数轴上A,B两点表示的数分别为-2,10，点C对应的数是1时，dC,AB)=一： (2)①当数轴上点A表示的数为-2，点C对应的数是1，d(C,4B)=5,点B对应的数是； ②当数轴上A,B两点表示的数分别为-2,10，点C是数轴上的动点，(C,AB的最小值是： (3)已知数轴上A,B,C三点表示的数分别为-2,10,1.A,C两点沿数轴以每秒2个单位长度向右运动， B点沿数轴以每秒4个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t,当C,AB)最小时，求t的最大 值和最小值， 22.如图，已知点4，B在数轴上表示的数为a,b,其中a,b满足(a+16)+b-40=0,点A,点B之间 的距离记为AB. 5 G A 0 B (1)点A表示的数为 一，点B表示的数为，AB= (2)动点E从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点F从原点O出发，以每秒 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点G从点B出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向 匀速运动，到达原点O后立即按每秒5个单位长度的速度返回，三点同时出发，设运动的时间为s,其中 0≤t≤13 ①当t=8时，点G在数轴上所表示数为： ②当0<t<5时，点G在数轴上所表示的数为 (用含t的代数式表示)； ③当点G到点E的距离是点G到点F距离的两倍时，求点E在数轴上所表示的数， 23.如图，在数轴上点A表示的数为-20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度 沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单 位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运 动. B (1)当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是， 单位：当运动时间为 秒时，点Q与点N 相遇 (2)当QN=8个单位时，求三个点的运动时间. (3)是否存在常数k,使得kPQ+QN在某段时间内为定值？若存在，直接写出k的值以及该定值；若不存在， 请说明理由。 24.数轴上有A,B,C三点，分别表示有理数a,b,c且a,b满足(a+4)+b-12=0,点C到A,B两 点距离相等.规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点C之间距离为AC. 0 0 备图 备图 (1)a=,b=-,C=: (2)点P是数轴上一点，在数轴上对应数为x,若PA=2PB,求x的值； (3)点A以3个单位/秒的速度向右运动，点B以1个单位/秒的速度向左运动，点C以2个单位/秒的速度向 右运动，点D从原点出发以m个单位/秒的速度运动.A,B,C,D四点同时出发，设运动时间为t秒， 在运动过程中总有AB=4CD成立，求m值及点D运动方向. 考点04数轴动点线段运动问题 25.如图1，数轴上点A、B对应的数分别是a、b,且a、b满足(a+12+b-20=0,现有一长度为2 的玩具火车MN从原点出发（点M与点O重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为s. O M N B→ M N A 0 图1 图2 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)直接写出a= ,b= (2)在整个运动过程中，求AW-BM的值（用含t的式子表示）： (3)如图2，在A、B处各放置一块挡板P、Q,当点N碰到挡板Q时，玩具火车以原来的速度返回，当点 M碰到挡板P时，也立即以原来的速度返回.当0<t≤12时，若AN-BM=ON,求t的值. 26.已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足：m-+(n+22=0. N M n A m 图1 M n m 备用图 (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到 点B时，点B所对应的数为m,当点B移动到点A时，点A所对应的数为n.则玩具火车的长为_个单位长 度； ②应用：如图1所示，当火车AB匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为_个 单位长度/秒. (3)在(2)的条件下，当火车AB匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度 和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A,B.是否存在常数k使得 kPQ-BA的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由. 27.已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足m+7+(n-5)=0. M M N m A BO n m A B0 图1 备用图 (1)m= n= (2)有一个玩具火车AB如图1所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点 B所对应的数为n,当点B移动到点A时，点A所对应的数为m. ①玩具火车的长为 个单位长度： ②将玩具火车沿数轴左右水平移动，当MA:BN=1:3时，直接写出此时点A所表示的数： ③当玩具火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1 个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A'B,运动时间为秒，是否 存在常数k使得：3P+k·AB的值与运动时间t无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明 理由. 10/13 专题04 数轴相关动点压轴题02（4种类型32道） 考点01 数轴动点变速运动问题 考点02 数轴动点往返运动问题 考点03 数轴动点多动点（三个及以上）运动问题 考点04 数轴动点线段运动问题 考点01 数轴动点变速运动问题 1．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与取值无关，其中a、b分别为点、点在数轴上表示的数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒． (1)求a、b的值； (2)用表示点在数轴上对应的数为：__________，点在数轴上对应的数为：__________； (3)当E、F相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的应用，整式的加减无关型问题，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． （1）首先根据整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）首先求出当点E和点F相遇时，，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】（1） ∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关， ∴， 解得，； （2）由题意得：点E在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：， 故答案为：，； （3）当点E和点F相遇时， 解得， 根据题意得， 解得． 2．如图，点，分别为数轴正半轴上两点，对应的数分别为，，，知，．若动点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的式子表示） (2)若经过3秒时，，求的值； (3)若，现将，两点之间变为点的“变速区”，规定为：点从点运动到点期间速度变为原来的两倍，从点到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，动点从原点出发，仍以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动．请问，是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8， (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程是解题的关键： （1）求出的长，即可得出点表示的数，根据点的平移规则，求出点表示的数即可； （2）分两种情况，列出方程进行求解即可； （3）分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为8， 由题意，点表示的数为； （2）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴或， 解得或； （3）解：存在； 点从点运动到点的速度为每秒个单位长度，点从点运动到点的速度为每秒个单位长度， 故从点运动到点的时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， 点从点运动到点所用时间为， 由题意，当时，，解得； 当时，，解得； 综上：或． 3．我们知道：如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为的中点； (3)如图3，三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且 M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)或或 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得：点 M，N 对应的数是，，再根据t 秒后它们之间的距离为 15 个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）由题意可得点 M，N 对应的数是，，再根据“”为的中点列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）当时，点M，N，K对应的数是，，，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合，点M，N继续运动所对应的数是，，同理列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 则：， 解得：； （2）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 当时，两点都在表示的点右边，此时不可能“”为的中点，故， 则 ∴． ∴点N出发6秒后“”为的中点； （3）解：当时，点M，N，K对应的数是，，， 当点M是中点时，， ∴； 当点K时中点时，， ∴． 之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合， 点M，N继续运动所对应的数是，， 当点N为中点时，， ∴， ∴． 所以或或 10． 4．若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴． 如图，已知一魔幻数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，的速度为3个单位／秒，的速度为1个单位／秒，设运动时间为秒，到达点后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当回到点时，、同时停止运动． (1)点对应的数为______，出发______秒后追上（即第一次相遇）； (2)当到达点立即返回后第二次与相遇时，______，相遇点在数轴上表示的数是______； (3)，运动过程中是否存在某段时间内为定值？若能，求出该定值并写出对应的的取值范围，若不能，请说明理由． 【答案】(1)37；5 (2)13；21 (3)存在，当时，为定值，定值为64 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离，整式加减的应用等，找出相关的量之间的相等关系列方程求解，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据为47个单位长度，设点P出发秒后追上Q（即第一次相遇），根据相遇时点P的路程比点Q的路程多10，列出方程求解即可； （2）设第一次相遇后到第二次相遇所用的时间为，根据第一次相遇时的对应数字和相遇之后的速度，结合相遇时点P和点Q的路程之和为64，列出方程，求得相遇时间，进一步可求相遇点在数轴上表示的数； （3）根据（1）和（2）的相遇时间，和点P到达点B和回到点A的时间，分情况讨论，分别把每种情况是点P和点Q对应的数的用t表示出来，从而得到和的代数式，进而计算，根据结果是否含有t即可解答． 【详解】（1）解：∵其中，对应的数分别为，，为47个单位长度， ∴点B对应的数为； 设点P出发秒后追上Q（即第一次相遇）， 由题意得， 解得， 故答案为：37；5． （2）解：由（1）可知，点P和点Q在第5秒的时候第一次相遇， 即第一次相遇时点P和点Q对应的数字为5， ∴第一次相遇的点到点B的距离为， 设第一次相遇后到第二次相遇所用的时间为， ∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒，当到达点立即返回， ∴由题意得， 解得， ∴当到达点立即返回后第二次与相遇时间（秒）， 相遇点表示的数为； 故答案为：13；21． （3）解：①由（1）可知，点P和点Q第一次相遇前，，点B表示的数为37， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ②∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒， ∴第一次相遇到后，点P到点B所用时间为（秒）， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ③由（2）可知，第二次相遇的时间为13秒， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，为定值，定值为64； ④∵第二次相遇点对应的数为21，相遇后点的速度为3个单位／秒，点的速度为1个单位／秒，且当回到点时，、同时停止运动， ∴第二次相遇到后，点P回到点A的时间为（秒）， ∵，即此时点Q还没有运动到点B， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； 综上所述，当时，为定值，定值为64． 5．如图，数轴上点为原点，点表示，点表示，点表示8．动点，同时出发，点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍；点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半．设运动时间为秒． (1)点从点运动至点时，的值为___________秒； (2)当秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是___________；（用含的代数式表示，无需写出的取值范围） (3)当两点相遇时，相遇点所表示的数是___________； (4)当线段与的长度相等时，的值为___________． 【答案】(1) (2)， (3) (4)1或或14 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）分别求出点从点运动至点B、点从点B运动至点C所用时间，进而相加即可； （2）由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度，进而可知当秒时，点在数轴上表示的数；求出点从点出发，沿数轴负方向运动至点的时间，进而可知点在线段上运动时，它在数轴上表示的数； （3）先表示出点P表示的数是，点Q表示的数是，然后根据当两点相遇时，求解即可； （4）分当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍， ∴点从点出发，运动至点用时（秒），点到点后速度变为每秒2个单位长度， ∴点从点B运动至点用时（秒）， ∴点从点运动至点时，的值为秒． 故答案为：； （2）解：由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度， ∴当秒时，点在数轴上表示的数是； ∵点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半， ∴点从点出发，沿数轴负方向运动至点，用时（秒），速度变为每秒1个单位长度， ∴当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是． 故答案为：，； （3）解：∵点从点运动至点B需要秒，点从点运动至点需要秒， ∴两点在线段上相遇时， 此时点P表示的数是，点Q表示的数是， 当两点相遇时，，解得， ∴相遇点所表示的数是． 故答案为：； （4）解：当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 故答案为：1或或14． 6．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，试回答以下问题： (1)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (2)如图： 当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (2)12或25 【分析】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． （1）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度，设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （2）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， 设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （2）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 7．如图，点O是数轴的原点，数轴上的点A对应的数是，点B对应的数是．点C对应的数是8；数轴上有两个动点M，N，点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向点C匀速运动，到达点C后立即返回，速度变为每秒3个单位沿数轴向点A匀速运动，点N从点B出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；点N与点M同时出发，设点M，N的运动时间为x秒，当秒时，点M，N同时停止运动． (1)求A，C两点之间的距离； (2)求M，N两点相遇时对应的x的值； (3)在全部运动过程中，当点M，N，O中的任意一点为另外两个点连接成的线段的中点时，直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)32 (2)或10 (3)4或或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长； （2）利用时间＝路程÷速度，可求出点M到达点C所需时间，当时，点M对应的数为，点N对应的数为，根据两点相遇时两点在数轴上对应的数相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值；当时，点M对应的数为，点N对应的数为，根据两点相遇时两点在数轴上对应的数相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值； （3）分点N在点O的左侧及点N在点O的右侧两种情况考虑，当点N在点O的左侧时，若点N是的中点或点O是的中点或点M是的中点时，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值；当点N在点O的右侧时，若点N是的中点或点O为中点时，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点对应的数是8， ∴， 即两点之间的距离为32； （2）解：（秒）． 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， 根据题意得：，解得， 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， 根据题意得：， 解得：， 即两点相遇时对应的的值为或10. （3）解：当点N在点O的左侧时，若点N是的中点（图1）， 则， 解得：； 当点N在点O的左侧时，若点M是的中点（图2）， 则， 解得：； 当点N在点O的左侧时，若点O是的中点（图3）， 则， 解得； 当点N在点O的右侧时，若点N是的中点（图4）， 则， 解得； 当点N在点O的右侧时，若点O是的中点（图5）， 则， 解得：，不符合题意舍去； 综上，的值为4或或或． 8．如图，数轴上A，B，O两点表示的数分别为，13，0． 数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为．同理，数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之差记为． (1)若，则______．的最小值为______．的最小值为______． (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为t，当动点P到点O与点B的距离之差等于点P到点A与点O距离之和的最小值时，求出t的值及此时点P表示的数． (3)点C，D表示的数分别为，3，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当到达点B后立即速度减半返回A点；动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当到达点A后停留，然后速度变为原来的两倍返回B点．当点A、B中某一点返回到达出发点时，两个点均停止运动，点M、N同时开始运动，经过多少秒时，点N到点C的距离等于点M到点D距离的两倍． 【答案】(1)；3； (2)，P点所表示的数为 (3)t的值为或或18 【分析】（1）由，或，再解方程可得答案，由绝对值的意义可得：的最小值，再分三种情况：当时，当时，当时，再化简，从而可得答案； （2）由题意可得：对应的数为，当的值最小时，结合（1）可得：在之间，可得最小值， 利用，再分情况解方程即可； （3）由题意可得：对应的数为，对应的数为：，判断，分情况讨论：当时，当时，当，当时，再分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 当时，方程无解； 当时， ∴， 解得：； ∵表示在数轴上对应的点与数，对应的点之间的距离之和， ∴最小时，对应的点在与之间，（包括端点） ∴的最小值为； 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴的最小值为； （2）解：由题意可得：对应的数为， ∴，， 当的值最小时，结合（1）可得：在之间， ∴， ∴，， ∴， 当时，，方程无解， 当时，， 解得：， P点所表示的数为； 当时，，此时方程无解， 综上：，P点所表示的数为； （3）解：由题意可得：对应的数为，对应的数为：， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时， 对应的数为：， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）， 当， 此时重合，， ∴， 解得：或， 当时， 对应的数为：， 对应的数为：， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去） 综上：的值为：或或18． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，整式的加减运算，一元一次方程的应用，本题的难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 考点02 数轴动点往返运动问题 9．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数是________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请直接写出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度向右运动，同时点P以每分钟6个单位长度的速度从O点向左运动．当点P遇到点A时，点P立即以原来的速度向右运动，当点P遇到点B时，立即以原来的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1 (2)存在，或6 (3)点P所经过的总路程是24个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由点P到点A，点B的距离相等，得出点P为点A，点B两点的中点，由此计算即可得解； （2）分三种情况：当点在之间时；当点在点的左侧时；当点在点的右侧时；分别求解即可； （3）设经过分钟，点与点重合，由题意可得，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，且点P到点A，点B的距离相等， ∴点P为点A，点B两点的中点， ∴点P对应的数是； （2）解：存在， 当点在之间时，，不符合题意； 当点在点的左侧时，，解得：； 当点在点的右侧时，，解得； 综上所述，的值为或6； （3）解：设经过分钟，点与点重合， 由题意可得：， 解得：， ∴当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是个单位长度． 10．已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为a． (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在一个点P，使点P到点A、点B的距离之和为8，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． (3)若点A以每分钟2个单位长度向左运动，点B以每分钟6个单位长度向左运动； ①当点P以每分钟1个单位长度从数轴上的数2开始向左运动，A、B、P三点同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ ②当点P以每分钟8个单位长度从原点开始向左运动，当遇到点A时；点P立即以同样的速度向右运动，当遇到点B时，点P立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，A、B、P三点同时出发，求点A与点B重合时，点P所运动的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)1 (2)存在，a的值为5或 (3)①1分钟；②8 【分析】（1）根据中点的定义即可求得； （2）此题要分两种情况：①当点P在点A的左侧时，②当点P在点B的右侧时，再列出方程求解即可； （3）①t分钟后，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为，根据点P到点A、点B的距离相等，分两种情况，列方程求解可得；②由①知点A、B从出发到相遇的时间为1分钟，据此知点P的运动时间为1分钟，再根据路程速度时间可得答案． 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，点A、B对应的数分别为，3， ∴点P表示的数为：； （2）解：∵点A、B对应的数分别为，3， ∴， 若存在点P到点A、点B的距离之和为8，P点不可能在线段上，只能在A点左侧或B点右侧． ①当点P在点A左侧时，， 依题意得， 解得 ； ②当点P在点B右侧时，， 依题意得， 解得， 综上所述，a的值为5或； （3）解：①设t分钟后点P到点A、点B的距离相等，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点P到点A、点B的距离相等， 当点P到点A、点B之间时，即点P为线段的中点， ∴， 解得：（舍去）， 当点A与点B重合时，， 解得：， ∴1分钟后点P到点A、点B的距离相等； ②由①知点A、B从出发到重合的时间为1分钟， ∴点P运动的时间为1分钟， ∴点P所运动的总路程为：个单位长度． 【点睛】本题主要考查数轴、数轴上两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键． 11．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次．将这条直线看成数轴，起点记为，折返点记为，主席台记为点，两位同学分别记为点，；若动点、从点同时出发向点运动，到达点后折返到点； 已知：数轴上点、对应的数分别为、，且满足． (1)求出、的值； (2)设点在数轴上对应的数为，那么当为多少时能使得到的距离与到的距离之和为50？ (3)已知点的速度为3个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，当动点到达点后，点开始改变速度，以个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，、两点相距2个单位长度，求的值． 【答案】(1)， (2)当为或45时能使得到的距离与到的距离之和为50 (3)当的值为或或或时，4秒后，、两点相距2个单位长度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，注意进行分类讨论． （1）根据非负数的性质求出、的值即可； （2）根据题意得到的距离与到的距离之和为50可表示为，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点向点运动时，点在点右侧；当点向点运动时，点在点左侧；当点到达点后，向点运动时，点在点左侧；当点到达点后，向点运动时，点在点右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵到的距离与到的距离之和为50， ∴， ∵点在数轴上对应的数为， 根据两点间距离公式可得：， 当时，， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，， 解得：； ∴当为或45时能使得到的距离与到的距离之和为50． （3）解：当点到达点时，需要的时间为：（秒）， ∴此时点到达， ∴4秒后，点P的位置为， 当点向点运动时，点在点右侧： ， 解得：； 当点向点运动时，点在点左侧： ， 解得：； 当点到达点后，向点运动时，点在点左侧： ， 解得：； 当点到达点后，向点运动时，点在点右侧： ， 解得：， 综上所述，当的值为或或或时，4秒后，、两点相距2个单位长度． 12．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以2个单位/秒的速度在O，A之间往返运动，设运动的时间为t（秒）． (1)当时，求点Q到点P的距离； (2)当点Q到点P的距离为7时，求运动的时间t（秒）； (3)当P、Q开始运动时，又一动点M同时从点O出发，以3个单位/秒的速度先向右运动．当点M遇到点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，当点P、Q相距13个单位时，点M行驶的总路程为 个单位． 【答案】(1)点Q到点P的距离为5 (2)当点Q到点P的距离为7时，运动的时间或5 (3)21或33或37 【分析】本题考查一元一次方程的应用．找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两点的右边的数减去左边的数．难点是得到点Q在往返过程中在数轴上表示的数． （1）计算时，点P及点Q表示的数，让点Q表示的数减去点P表示的数即为点Q到点P的距离； （2）分别用t表示出点P表示的数和点从点向点运动时表示的数及点从点向点运动时表示的数，让点表示的数减去点表示的数等于7，列方程求解即可； （3）点行驶的总路程=点的速度点运动的时间．根据点、相距13个单位分别得到相应的时间，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，点表示的数是，点表示的数是． ∴点到点的距离为：． 答：点到点的距离为5； （2）解：①点表示的数是，点从点向点运动时，表示的数为：． ∵点到点的距离为7， ． 解得：． ②点表示的数是，点从点向点运动时，表示的数为：． ∵点到点的距离为7， ． 解得：． 答：当点到点的距离为7时，运动的时间或5； （3）解：①点表示的数是，点从点向点运动时，表示的数为：． ∵点到点的距离为13， ． 解得：（不合题意，舍去）． ②点表示的数是，点从点向点运动时，表示的数为：． ∵点到点的距离为13， ． 解得：． ∵点的速度为3个单位/秒， ∴点行驶的总路程为：； ③点表示的数是，点第二次从点向点运动时，表示的数为：． ∵点到点的距离为13， ． 解得：． ∵点的速度为3个单位/秒， ∴点行驶的总路程为：； ④点表示的数是，点第二次从点O向点运动时，表示的数为：． ∵点到点的距离为13， ． 解得：． ∵点的速度为3个单位/秒， ∴点行驶的总路程为：． 故答案为：21或33或37． 13．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； 【答案】(1)或20 (2)9 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据点P的位置进行分类讨论并用两点之间的距离公式计算即可． （2）设运动时间为t，表示出M，N两点所对应的数，结合M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题． 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， ∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14，， ∴，点D表示的数为， ∴； 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点D的右侧时，，解得． 故答案为：或20． （2）解：设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：，点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前，二者相距12个单位长度时，， 解得， 又∵点P的速度为3单位长度每秒， ∴点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后，二者相距12个单位长度时， ∵点N速度比点P速度快， ∴无法做如此往返运动， ∴此种情况不存在． 故答案为：9． 14．如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)①，；②当秒时，恰为线段的中点；③点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度 【分析】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 15．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是_____． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点从点出发，沿数轴向右匀速运动，动点，，同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点、运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当动点运动到秒时，动点、、三点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度? 【答案】(1) (2)（2）①当点运动秒时，点追上点；②点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意，正确列一元一次方程是解题的关键． （1）先得到点表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点与点间的距离为个单位长度，分四种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为， 点表示的数为：， 点运动到线段的中点时，它所表示的数是， 故答案为：； （2）解：①根据题意得， 解得：， 当点运动秒时，点追上点； ②， （秒）， 当时， 点在点右侧，点与点间的距离为个单位长度， ， 解得：； 点在点左侧，点与点间的距离为个单位长度， ， 解得：； （秒）， 当时， ， 解得：； ， （秒）， 当点，运动秒时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时， ， 解得：； 综上，点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 16．已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； (3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1；4 (2)存在，的值为或4 (3)24个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，点为点与点的中点，求出点表示的数，设与重合的点为，列出方程解出的值，即可得出答案； （2）分三种情况①点在点的左侧；②点在点和点之间；③点在点的右侧，分别列出方程，求出对应的值，即可解答； （3）设经过分钟后点与点重合，根据题意列出方程，解出的值，即可求出点所经过的总路程． 【详解】（1）解：由题意得，点为点与点的中点， 点表示的数为， 设与重合的点为， 由题意得，， 解得：， 与重合的点为4． 故答案为：1；4． （2）解：若点在点的左侧，则，， 点到点、点的距离之和为6， ， 解得：； 若点在点和点之间，则，， 此时，不符合题意； 若点在点的右侧，则，， 点到点、点的距离之和为6， ， 解得：； 存在点，的值为或4． （3）解：设经过分钟后点与点重合， 由题意得，， 解得：， 当点与点重合时，点所经历的运动时间为4分钟， 点所经过的总路程是个单位长度． 考点03 数轴动点多动点（三个及以上）运动问题 17．预备知识：在数学中，点与点之间的距离用表示．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知数b是最小的正整数，且a，c满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒m（）个单位长度和4个单位长度的速度向右运动． ①运动后，求A，B，C三点在数轴上所表示的数； ②若在此过程中，的值为52，求m的值． (3)若在此数轴上有一动点Q，且点Q表示整数y，当取最小值时，求符合条件的所有的和． 【答案】(1) (2)①点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为27；② (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，非负数的意义，整式的加减，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意及绝对值与平方的非负性求解即可； （2）①根据数轴上向左运动即原数减去运动的距离，向右运动即原数加上运动的距离求解即可； ②先求出，再根据题意得出，进而求解即可； （3）先根据题意得出表示点Q和表示的点之间的距离，表示点Q和表示7的点之间的距离，进而得出当点Q在和7之间时，的值最小，求出点Q表示的数，求和即可． 【详解】（1）解：∵数b是最小的正整数，且a，c满足， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数7，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒m（）个单位长度和4个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为； ②∵， ∴， ∴， 解得（负舍）； （3）解：∵， ∴表示点Q和表示的点之间的距离，表示点Q和表示7的点之间的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， ∴点Q表示的数为， ∴符合条件的所有的和为． 18．如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离． (1)请直接写出点、表示的数，： ，： ． (2)若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ (3)我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 【答案】(1) 3 (2)或 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，正确理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和距离得出结果即可； （2）假设运动秒，利用绝对值表示点，两点间的距离，列出绝对值方程，求出时间即可； （3）假运动秒后，点位于，点位于，点位于，根据“友好点”的定义，列出方程，计算求解的值即可． 【详解】（1）解：由于点在数轴的右侧，，两点间的距离， 则点表示的数为3， 点在数轴的左侧，A，B两点间的距离， 则，即点B表示的数为， 故答案为：3，； （2）解：设运动秒后两点相距3，则此时点的位置为，点的位置为， 根据题意得：， 整理得， 解得或； （3）解：当点是点和点的“友好点”时，点在点和点之间，在右边， 根据题意得，运动秒后，点位于，点位于，点位于， 由于， 则， 解得， 因此． 答：的定值为． 19．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【答案】(1)； (2)点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5 (3)t的值为1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数；（2）根据各点之间的关系，用含t的代数式表示出点M，N表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设点C表示的数为x，根据，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出点C表示的数，根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，结合M是的中点，N是的中点，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设点C表示的数为x， 根据题意得：， 解得：， 数轴上点C表示的数为， 当运动时间为t秒时，点P表示的数为． 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：t的值为1或． 20．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为．点A与点B之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为，点A与点P之间的距离表示为，点C与点P之间的距离表示为． (1)若，则______； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或4 (3)不会，理由见解析 【分析】（1）若，则P在之间位置，即，即可求出x； （2）若，P在A左边，得；P在A右边，得； （3）设运动时间为t秒，，，故，进而求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则P在之间位置， 即， ， 故答案为：2； （2）解：若， ①P在A左边，得， 解得：， ②P在A右边，得， 解得：， 故答案为：或4； （3）解：设运动时间为t秒， 运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∴，是定值， 的值不会随着t的变化而变化． 21．已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段的长度．对于线段和数轴上的点C，给出如下定义： ，此时，我们称是点C和线段的极大距离．例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，，且，所以． (1)当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1时，______； (2)①当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是______； ②当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C是数轴上的动点，的最小值是______； (3)已知数轴上A，B，C三点表示的数分别为，10，1．，C两点沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，B点沿数轴以每秒4个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t，当最小时，求t的最大值和最小值． 【答案】(1)9 (2)6或；6 (3)t的最大值为2，最小值为1 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可求解； （2）由可知，然后分两种情况求解即可； 由点C是中点时，有最小值，求解即可； （3）先确定运动后A、B、C的坐标，当最小时，则点C到点A和点B的距离相等，据此分两种情况列式求解即可． 【详解】（1），B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1， ，， 故答案为：9； （2）①点A表示的数为，点C对应的数是1， ， ， 点B对应的数是或 故答案为：6或； ②点C是中点时，， 的最小值是， 故答案为：6； （3）运动t秒后： 点A表示的数：， 点B表示的数：， 点C表示的数：， 当最小时，则点C到点A和点B的距离相等， 当点C是中点时，如图， ， 解得． 当点A与点B重合时，如图， ， 解得． 因此，最小时，t的最大值为2，最小值为 22．如图，已知点在数轴上表示的数为，其中满足，点，点之间的距离记为． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动，到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回，三点同时出发，设运动的时间为，其中． ①当时，点在数轴上所表示数为______； ②当时，点在数轴上所表示的数为______（用含t的代数式表示）； ③当点到点的距离是点到点距离的两倍时，求点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)，， (2)①；②；③或或 【分析】（1）由非负数和为零的条件列方程求解即可得到的值，再由数轴上两点之间距离的表示求解即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况得到点在数轴上所表示数，按照①②③的要求，结合点在数轴上所表示数的结果求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ， 解得，， ， 故答案为：，，； （2）解：点表示的数为， ， 动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动， 当点到达原点时，经过时间为， 设运动的时间为，其中， 当时，点在数轴上所表示的数为； 到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回， 当时，点在数轴上所表示数为 ①， 点在数轴上所表示数为， 故答案为：； ②当时，点在数轴上所表示的数为， 故答案为：； ③点到点的距离是点到点距离的两倍， ， ∵点在数轴上所表示的数为，点在数轴上所表示的数为， 当时，点在数轴上所表示数为， ∴，， ∴，解得或4， ∴点在数轴上所表示数为或0； 当时，点在数轴上所表示数为， ∴，， ∴，解得（舍去）或， ∴点在数轴上所表示数为； 综上所述，点在数轴上所表示的数为或或． 【点睛】本题考查数轴表示有理数，数轴上两点之间距离的表示，数轴上的动点问题等，涉及平方非负性、绝对值非负性、非负数和为零的条件、列代数式对数轴上的点进行表示、数轴上两点之间距离的表示、解绝对值方程等知识，熟记数轴相关定义与性质是解决问题的关键． 23．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为40，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点从点出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动． (1)当运动时间为3秒时，点、点之间的距离是______，单位；当运动时间为______秒时，点与点相遇． (2)当个单位时，求三个点的运动时间． (3)是否存在常数，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出的值以及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21；或10 (2)或4或8 (3)当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）①根据路程速度时间即可求解；分类讨论，列方程求解； （2）、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒．到前，所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为．分三种情况：①、相遇前；②、相遇后，到前；③、相遇后，到后．分别根据列出方程； （3）根据题意分3情况讨论，分别根据列出方程，然后根据在为定值求解即可． 【详解】（1）解：①三个动点运动秒时，则、、三点在数轴上所表示的三个数分别为，，， 当时，、两点在数轴上所表示的两个数分别为，， ； ②当时，由题意得，解得，符合题意； 时，由题意得，解得，符合题意， ∴当运动时间为或10秒时，点与点相遇， 故答案为：21；或10； （2）解：、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，回到的时间为10秒． 到前，所表示的数为；所表示的数为． ①、相遇前：，解得， ②、相遇后，到前，，解得， ③、相遇后，到后： 所表示的数为；所表示的数为， ，解得， 综上所述：当个单位时，三个点的运动时间或4或8； （3）解：①当、相遇前，即时， ∵所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ②当、相遇后，到前， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ③当、相遇后，到后， 根据题意得， 所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点． 24．数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数a，b，c且a，b满足，点C到A，B两点距离相等．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点C之间距离为． (1) ， ， ； (2)点P是数轴上一点，在数轴上对应数为，若， 求的值； (3)点A以3个单位/秒的速度向右运动，点B以1个单位/秒的速度向左运动，点C以2个单位/秒的速度向右运动，点D从原点出发以m个单位/秒的速度运动．A，B，C， D四点同时出发，设运动时间为t秒 ，在运动过程中总有成立，求m值及点D运动方向． 【答案】(1)，12，4 (2)或 (3)，点D向右运动 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式以及方程的应用，解题的关键是表示出各点所表示的数． （1）由非负性直接求解即可； （2）根据，列出方程，求解即可； （3）依题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由， 可得， 由于点C到A、B两点的距离相等， 所以C为A、B的中点， ∴， 则， 解得：， 故答案为：，12，4； （2）解：依题意，根据， 可得， 解得或； （3）解：设运动时间为t秒，则A表示的数为， B表示的数为， C表示的数为， D表示的数为， 由， 可得， 即：， ∵与t的取值无关， ∴， 解得， ∴当时，点D向右运动． 考点04 数轴动点线段运动问题 25．如图1，数轴上点、对应的数分别是、，且、满足，现有一长度为2的玩具火车从原点出发（点与点重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为． (1)直接写出______，______； (2)在整个运动过程中，求的值（用含的式子表示）； (3)如图2，在、处各放置一块挡板、，当点碰到挡板时，玩具火车以原来的速度返回，当点碰到挡板时，也立即以原来的速度返回．当时，若，求的值． 【答案】(1)， (2)当点M在点B左边时，；当点M在点B右边时， (3)的值为或2或7或． 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列式求解即可； （3）首先求出当点N和点B重合时，，当点N和点O重合时，，当点M和点A重合时， ，然后分情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，； （2）当点M在点B左边时，； 当点M在点B右边时，； （3）当时，根据题意得，，， ∴， ∵长度为2的玩具火车从原点出发（点与点重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动， ∴当点N和点B重合时，， ∴此时； 当点N和点O重合时，， 当点M和点A重合时， ， ∵， ∴当时，， 解得或； 当时，， 整理得，， 解得或； 当时，， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，的值为或2或7或． 【点睛】本题考查数轴、数轴上的动点，列代数式，涉及解一元一次方程等知识，掌握数轴上的动点的性质是解题关键． 26．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：． (1)求、的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 个单位长度； ②应用：如图所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点需要秒，则火车的速度为 个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①个单位长度；②个单位长度/秒 (3)存在，， 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为，根据题意，，，建立方程计算即可． ②根据①得，火车完全经过点需要秒，点运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为， 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长个单位长度， 故答案为：． ②根据①得，火车完全经过点需要秒， 故点运动路程为单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：． （3）存在，，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 27．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． (1)_______，_______； (2)有一个玩具火车如图1所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为． ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②将玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数：_______； ③当玩具火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，运动时间为秒，是否存在常数使得：的值与运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；5 (2)①4；②或；③存在常数使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是24 【分析】（1）由绝对值，偶次方的非负性可得答案； （2）①求出，根据当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，知，即玩具火车的长为3个单位长度； ②设表示的数为，则表示的数为，可得，即可解得答案； ③求出表示的数为，表示的数，根据已知可得，，故，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； 故答案为；5； （2）解：①由（1）可知：， ∵当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为， ， ∴玩具火车的长为4个单位长度； 故答案为：4； ②设表示的数为，则表示的数为， ，， ∵， ， 解得或； 表示的数为或； 故答案为或； （3）存在常数使得的值与它们的运动时间无关，理由如下： 由（2）①知表示的数为，表示的数， ∵火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动后对应的位置为， 表示的数为，表示的数为， ∵点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， 表示的数为，表示的数为， ，， ∴， 若的值与它们的运动时间无关，则， 解得， 此时， ∴存在常数使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是24． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、整式的加减及一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示相关点所表示的数． 28．已知在数轴上所表示的数分别为，且． (1)___________，___________； (2)①有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为___________个单位长度； ②如图所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． (3)在（）的条件下，当火车以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）①由数轴上两点间距离公式的，又由题意可得，进而即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，由题意可知两点只能在点的右侧， 即只能向右运动，再根据题意列出方程解答即可求解； （）设运动时间为，分所表示的数为和所表示的数为两种情况，利用数轴上两点间距离公式分别表示出和，进而表示出，再根据的值与它们的运动时间无关求出的值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①由（）知，，， ∴， 又由题意可得，， ∴， 即玩具火车的长为个单位长度， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表示的数为， ∵点在的右侧，当时，可知， ∴两点只能在点的右侧， ∴只能向右运动，即， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴点所表示的数为或； （3）解：存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为，理由如下： 设运动时间为， 分两种情况：①当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； ②当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； 综上，存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式的加减无关型问题，理解题意是解题的关键． 29．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足． (1)_______； (2)①有一个玩具火车，如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为_______个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，求此时点A所表示的数． (3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，若的值与它们的运动时间无关，请直接写出k值_______． 【答案】(1)12 (2)①4   ②或14 (3) 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，根据两点之间的距离列出正确的方程是本题的关键． （1）由非负性可求m，n的值，即可得的值； （2）①由题意可得，即可求解； ②设点A所表示的数为，则点B所表示的数为，用含的代数式表示，，再根据列方程求解即可； （3）用参数分别表示出，的长度，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，． ． 故答案为：12． （2）①根据题意，画数轴得， 由数轴可得，， ． 故答案为：4． ②设点A所表示的数为，则点B所表示的数为， ，． ， ，解得或14． ∴点A所表示的数为或14． （3）设运动时间为， 以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴点所表示的数为，点所表示的数为． ∵点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为． ，． ． ∵的值与它们的运动时间无关， ，解得． 故答案为：． 30．（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，当火车向右移动，点移动到点时，此时点所对应的数为24；当火车向左移动，点移动到点时，此时点所对应的数为6．由此可得点处的数字是__________，玩具火车的长为__________个单位长度． （2）如果火车正前方8个单位长度处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位长度/秒，则知“隧道”的长为__________个单位长度．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） （3）他惊喜地发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上移动，已知火车的速度为5个单位长度/秒，火车的速度为2个单位长度/秒（两火车均向右移动），几秒后两火车的处与处相距3个单位长度？ 【答案】（1）12；6；（2）；（3）5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意找到题目中的等量关系． （1）由数轴观察知三个玩具火车长是，则一个玩具火车长为6个单位长度，再求出点处的数字即可； （2）设的长为，根据点的位置也通过“隧道”列出关于的方程，据此求解即可得； （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，分在的左侧和在的右侧两种情况，分别利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）根据题意画出图形如图1所示． 由数轴观察，知三个玩具火车的长为， 所以一个玩具火车的长为． 所以点处的数字是12． 故答案为：12；6． （2）如图2． 根据题意，得， 设的长为， 所以，整理，得， 故答案为． （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位， 因为原点与点重合，点表示的数为12， 所以点移动后所对应的点为，点移动后所对应的点为， 由题意，知或， 解得或， 所以5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度． 31．如图1， 数轴上，从左到右依次有点A，点 C，点 D，点 B，其中点A，点B 表示的数分别为和75， 点C 与点D 间的距离为40， 若点O 在点A和点B的正中间，则称点为的中点． (1)若点A，点D 间的距离为50， 点Q 为线段的中点，则点Q 所对应的数为______ (2)如图2， 若点D 所对应的数为x，点M为线段的中点，请用含x 的代数式表示点M 所对应的数，写出必要的推理过程．（结果要求化简） (3)如图3， 一根小木棍的长度刚好等于点C 与点D 间的距离，小木棍可在数轴上运动．将小木棍的右端点F 与点B 重合，让小木棍以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时小钢球P 以相同的速度从点A 向右运动．当小钢球P 与小木棍的右端点F重合时，小钢球P立即以原来速度的2倍返回，而小木棍暂停2秒后，再以原来速度的继续向左运动．当点E 与点A 重合时，小钢球P 和小木棍同时停止运动．设小钢球 P 运动的时间为t秒，在这个运动过程中，当小钢球P 与小木棍的左端点E 的距离为10个单位长度时，求出此时的t值． 【答案】(1)5 (2) (3)或或或 【分析】本题考查两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式分别求出点表示的数，再根据中点的表示方法，求出点Q 所对应的数即可； （2）同（1）法，列出代数式即可； （3）分当点未与点相遇之前，点与点相遇后未与点重合时，当点从点返回，未追上点之前，和点从点返回，追上点之后，4种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点A，点B 表示的数分别为和75，点A，点D 间的距离为50， ∴点D 表示的数为； ∵点C 与点D 间的距离为40， ∴点表示的数为， ∵点Q 为线段的中点， ∴点Q 所对应的数为； （2）∵点C 与点D 间的距离为40，点D 所对应的数为x， ∴点表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴点 所对应的数为； （3）由题意，运动之前点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当点与点重合时，，此时点和点表示的数为，点表示的数为，点移动的速度变为每秒6个单位长度，小木棍的移动速度变为每秒个单位长度；点与点重合时所用的总时间为：秒； ①当点未与点相遇之前，，解得； ②当点与点相遇后未与点重合时，，解得， ③当点从点返回，点运动2秒钟后，所表示的数为，相距，设从此刻开始后，， 当点未追上点时，，解得，此时； 当点追上点后，，解得，此时； 综上：或或或． 32．在数轴上，我们可以利用线段端点表示的两个数进行减法运算的方法，即大的数减去小的数，求线段的长度． 如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别是、0、3、线段；线段；线段． (1)若点E、F表示的数分别是和，则线段EF的长为________． (2)点M、N为数轴上的两个动点．点N在点M的右边，点M表示的数是，若线段MN的长为，则点N表示的数是________． (3)点P，Q为数轴上的两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A—C—A运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点A运动．设点P、Q的运动时间为t（）秒． ①当点P沿A—C运动时，求点P、Q相遇时t的值． ②当点B将线段PQ分成的两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1)7 (2)8 (3)①②或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，有理数的减法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用大的数减去小的数即得线段的长； （2）线段的长为，点N在点M的右边，即是表示的数比表示的数大，即可列式得到答案； （3）①当点沿运动时，表示的数是，表示的数是，由相遇时，表示同一个数列方程可解得答案； ②分两种情况列方程，当点沿运动，当点沿运动，第二种情况又分为当时，当时，分别列方程可解得答案． 【详解】（1）解：点、表示的数分别是和， 线段的长为， 故答案为：7； （2）解：点表示的数是， 故答案为：8； （3）解：①当点沿运动时，表示的数是，表示的数是， ， 解得， 答：当点沿运动时，点、相遇时的值是； ②当点沿运动，即时，表示的数是，表示的数是， 到达时，还未到达， 点将线段分成的两部分的比为时，在左侧且时， ， 解得， 当点沿运动，即时，表示的数是，表示的数是， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当点将线段分成的两部分的比为时，的值为或或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $