第二十四章 投影、视图与展开图（复习讲义）数学北京版九年级下册

该初中数学复习讲义围绕“投影、视图与展开图”单元，通过知识点分块梳理构建知识体系，将平行投影与中心投影的区别联系、三视图“长对正、高平齐、宽相等”原则等核心内容，以要点归纳形式呈现，清晰展现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计分层递进，涵盖投影求高度、三视图还原等九类题型，如利用树影与台阶影长结合求树高的例题，培养空间观念与几何直观。基础巩固与能力提升测试适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升学生应用意识与推理能力。

第二十四章 投影、视图与展开图（复习讲义） 1. 理解投影的基本概念，掌握平行投影与中心投影的区别与联系 通过观察实物与模型的投影，培养从具体到抽象的思维能力。 2.学会绘制简单几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图） 经历三视图的绘制过程，掌握"长对正、高平齐、宽相等"的作图原则。 3.掌握常见几何体（柱体、锥体、球体）的展开图绘制方法 通过展开与折叠的实践活动，建立二维图形与三维图形的转换意识。 4.能够根据展开图还原立体图形，培养空间想象能力 运用数学建模思想解决实际生活中的视图问题。 知识点01 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 知识点02 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 知识点03 三视图的概念 1视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. 2正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. 3三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 知识点04 三视图之间的关系 （1） 位置关系 （2） 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 知识点05 画几何体的三视图 1 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 2 由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 题型一 利用投影求高度 【例1】如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 【变式1-1】如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：A． 【变式1-2】数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】如图所示，根据题意可知，， 根据物高与影长的比相等，得， 解得， ∴． 所以树高为4米． 故选：C． 【变式1-3】如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则树与路灯的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型二 影子的变化 【例2】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【答案】D 【详解】解：A、根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 【变式2-1】．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【答案】D 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 【变式2-2】用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 【变式2-3】如图，小红同学从走向路灯到离开路灯的过程中，她的影子的变化过程是（   ） A．由长变短 B．由短变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】D 【详解】解：由人在马路上走过一盏路灯的过程中，可知光线与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当人到达灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，当远离路灯时，则影子又开始变长； 故选：D． 题型三 盲区 【例3】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 【变式3-1】下列几项设计不是为了减少盲区的是（ ） A．较大的会场设计成阶梯状 B．城市许多路口设计得都十分宽阔 C．城市设计了许多高层住宅 D．汽车上，司机前的玻璃窗面积设计的尽量大 【答案】C 【详解】解：A、较大会场的座位都呈阶梯形状，是为了使后面的观众有更大的视野，从而减小盲区； B、越靠近路口视野越大，盲区越小； C、越靠近高楼视野越小，盲区增大； D、汽车上，司机前的玻璃窗面积设计的越大视野越广，盲区越小； 故选C 【点睛】本题主要考查了学生对视点，视角和盲区的理解能力，掌握盲区定义是判别的关键． 【变式3-2】人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（ ） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：如图，AB为窗户，由此知离窗户越远，视角就会越小，盲区就会变大， 故选A.    【点睛】此题主要考查视角与盲区，解题关键是明确视角盲区的意义. 【变式3-3】电影院呈阶梯或下坡形状的主要原因是（　　） A．为了美观 B．减小盲区 C．增大盲区 D．盲区不变 【答案】B 【详解】解：电影院呈阶梯或下坡形状是为了然后面的观众有更大的视角范围，减小盲区． 故选B． 题型四 三视图 【例4】．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.该选项为几何体的正视图，不符合题意； B. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； C. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； D. 该选项为几何体的俯视图，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的左视图为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：卯的左视图为． 故选：C． 【变式4-2】如图所示，几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：该几何体的左视图为； 故选A． 【变式4-3】中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 从给定彩瓷杯子的正面观察，确定其形状对应的选项． 【详解】从杯子正面看，会看到梯形，选项D符合从正面看到的形状． 故选：D． 题型五 利用三视图还原 【例5】．从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． ∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱， 根据主视图中间是虚线可知其中一条棱看不见； 故选：A． 【变式5-1】．如图三视图所表示的几何体是（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．圆锥 D．不存在 【答案】D 【详解】解：观察题干的三视图，这样的几何体是不存在的， 故选：D 【变式5-2】．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 【变式5-3】．某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．选项中的三棱锥的左视图不是长方形，不符合题意； B．符合题意； C．选项中的长方体的俯视图不是三角形，不符合题意； D．选项中的圆锥的俯视图不是三角形，不符合题意． 故选：B． 题型六 利用三视图求面积 【例6】．一个空间几何体，主视图是一个圆，左视图和俯视图都是边长为2的正方形，那么这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，该圆柱底面半径，高， 所以，， 则这个几何体的表面积为． 故答案为：C． 【变式6-1】．一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【答案】C 【详解】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且对角线长为2，该长方体的高为3， ∴正方形的边长为， 故其侧面积为． 故选：C． 【变式6-2】．中国空间站“天和”核心舱的某部件三视图如图所示，则该部件的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由几何体的三视图可知：该部件是圆柱，且圆柱的高是20cm，底面直径是10cm， ∴该部件的侧面积； 故选：A. 【变式6-3】．如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是直径较大的圆柱， 这个几何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则； ； 这个几何体的表面积是， 故选：C． 题型七 利用三视图求体积 【例7】．如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意可得，正三棱柱的底面为等边三角形，过作于点， ∴， ∴， ∴，即等边三角形的高为， ∴这个正三棱柱的体积是， 故选：． 【变式7-1】．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三视图可知，这个几何体是一个圆锥，且母线长为5，底面圆直径为6， ∴底面圆半径为3， ∴该圆锥的高为， ∴该圆锥的体积为， 故选：C． 【变式7-2】．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）． A．32π B．36π C．40π D．160π 【答案】C 【详解】解：由图可知，该几何体是一个空心圆柱， ∴， 故选：C． 【变式7-3】．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为， 则它的体积是， 故选：B． 题型八 确定正方体的个数 【例8】．正方体的个数最多为（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【详解】解：从上面看，第一层有5个小正方体，从正面看第二层最多有5个小正方体， 故最多有个小立方体， 故选：D． 【变式8-1】．如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这堆立体图形中小正方体的个数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：根据题意，得图如下： 一共有个， 故选：C． 【变式8-2】．一个几何体是由一些完全相同的小正方体搭成，它的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最多有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【详解】解：综合主视图和俯视图，可以得到如下图形： ∴底层有5个小立方体，第二层最多有4个小立方体， ∴搭成这个几何体的小正方体的个数最多是9个． 故选：A． 【变式8-3】．从正面、左面、上面观察一个由相同的小正方体构成的几何体，依次得到图所示的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：根据题意得，这个几何体共有层，由俯视图可得第一层正方体的个数为个，由主视图和左视图可得第二层正方体的个数为个， 这个几何体的小正方体有（个）， 故选：B． 题型九 正方体侧面展开图 【例9】．一个正方体的六个面分别标有数字，，，，，，从三个不同的方向看到的情形如图所示，图为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，∵与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∵与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∴的对面数字是， 由图可知：的对面数字是， ∴的值为， 故答案为：． 【变式9-1】．如图，是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字组成的三个词，分别是兰州人引以自豪的“三个一”（一本书、一条河、一碗面），在正方体上与“读”字相对的面上的字是 ． 【答案】面 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以根据这一特点可知，正方体上与“读”字相对的面上的字是“面”， 故答案为：面． 【变式9-2】．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，∵与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∵与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∴的对面数字是， 由图可知：的对面数字是， ∴的值为， 故答案为：． 【变式9-3】．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：1． 题型十 求侧面展开面积 【例十】．如图是某几何体的表面展开图，该几何体的侧面积 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由图可得，该几何体为圆柱， ∴该几何体的侧面积为：． 故答案为：． 【变式10-1】．如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 故答案为：． 【变式10-2】．如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 【答案】 【详解】解：塑料膜的面积 ， 故答案为：． 【变式10-3】．正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据三视图可知，B选项中几何体符合题意， 故选：B． 2．下列平面图形中不能围成正方体的是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【详解】解：正方体的表面展开图，共有11种情况，其中“型”的6种，“型”的3种，“型”的1种，“型”的1种， 因此选项B、C、D可以折叠成正方体， 再根据“田凹应弃之”可知选项A符合题意， 故选：A． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度是普通砖的三倍以上，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“目壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从几何体的左侧看到的是一个矩形，从几何体的右面看到的是三个竖直排列的矩形， 左视图中有条虚线把矩形分成个小矩形， 几何体的左视图如下图所示： 故选：B． 4．如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子不符合题意． 故选：B． 5．如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数字互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．12 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意可得， ，， 解得，， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“学”字所在面的相对面上的汉字是 ． 【答案】持 【详解】解：根据题意得：与“学”字所在面的相对面上的汉字是“持”． 故答案为：持 7．如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于 ．    【答案】6 【详解】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2， 则这个长方体的体积为， 故答案为：6． 8．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是 个． 【答案】4 【详解】由几何体的主视图和左视图可知，该几何体为两层三列， 最低层最少为个，第二层为1个， 如图（一种最少的情况的俯视图）： ∴最少由4个小正方体组成， 故答案为：4． 9．如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的边长是 ． 【答案】5 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 故答案为： 10．如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， ∵， ∴得到的展开图最大周长是， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，一个无盖的正方体盒子，图1是它的一种展开图，请在图2，图3中分别画出另外两种不同的展开图． 【答案】见解析（答案不唯一） 【详解】解：如图，（答案不唯一） 12．如图，这是一个直五棱柱，若它的底面边长都是，侧棱长都是，回答下列问题： (1)它有____个面，_____个顶点，_____条棱． (2)它的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)7，10，15 (2)它的所有侧面的面积之和是 【详解】（1）解：由所给图形可知，五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱． 故答案为：7，10，15． （2）由题可知，直五棱柱的侧面是长方形，且由5个面积相等的侧面组成， 一个侧面的面积为， 侧面积之和为． 答：它的所有侧面的面积之和是． 13．如图所示的是一个包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称 (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积 【答案】(1)正六棱柱 (2) 【详解】（1）这个包装盒为正六棱柱． （2）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． 14．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2)见解析 (3)小亮的影长是． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 15．综合与实践 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． 应用与计算： (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_________； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2)该无盖盒子的体积为 【详解】（1）解：（1）当时， ∴此时，折成的无盖长方体盒子的体积； 故答案为：； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，由四个相同正方体搭成的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图．俯视图是从物体的上面向下看得到的视图，据此作答即可． 【详解】 解：从上面向下看，从左到右有两排，且其正方形的个数分别为2、1，且为 故选：B． 2．如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（　　） A．由A走向D，再走回A B．由B走向C C．由A走向C，再走回A D．由C走向B，再走回A 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键． 根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的关系，进而得出符合要求的选项． 【详解】路的旁边有一盏路灯，当小红走到灯下以前：l随s的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随s的增大而增大， 小红的行走过程是由A走向C，再走回A， 故选：C． 3．某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的形状图，解题关键点：熟记常见几何体的形状图．由几何体的形状图可知该几何体为圆柱，进而利用圆柱体积公式求解即可得解． 【详解】解：由图可知该几何体是底面直径为2，高为3的圆柱， ∴该几何体的体积是：， 故选：A． 4．如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体表面积．掌握立体图形的三视图是解题的关键．由立体图形可知，上表面共有8个正方形，下表面共有8个正方形，前表面共有7个正方形，后表面共有7个正方形，右表面共有8个正方形，左表面共有8个正方形，将各面积相加即可求解． 【详解】解：图中每一个正方形面积， ， 故选：D． 5．图①是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图①沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图②）后，与线段重合的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体展开图．根据题意利用正方体展开图特点并结合空间想象能力即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意得：与线段重合的线段是． 故选：C 二、填空题 6．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是 ． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．将正方体的展开图重新折叠成正方体，观察图形即可得出答案． 【详解】解：把展开图折叠成正方体如图所示： 观察图形可知，距顶点A最远的点是C． 故答案为：C． 7．如图是一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸板，将其在四个直角处分别剪去一个边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等且体积均为的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程方程的应用， 根据剪裁方法和长方形纸板的边长可得无盖长方体纸盒的边长，从而由其体积为列方程即可求解． 【详解】解：由图可知：中间的一个正方形的边长为， ∴无盖长方体纸盒的底面一边长为：， 另一边长为， ∴ 解得：， 故答案为． 8．如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由 个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 【答案】 38 126 【分析】本题考查了正方体及其表面积．由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前层到后层有小正方体 （个）； 这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 故答案为：38；126． 9．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为 ． 【答案】2 【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入体积公式计算即可． 【详解】解：由三视图可知，几何体是底面为等腰三角形的三棱柱，底面的等腰三角形的底边长为2，腰高为1，三棱柱的高为2， 故该几何体的体积为：． 故答案为2． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解答本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想． 10．如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 【答案】3.24 m2 【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．，再利用面积比等于相似比的平方，求地面上阴影部分的面积即可. 【详解】 解：根据题意由图可知， ， 由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为 ×1.2×1.2=3.24m2． 【点睛】解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 三、解答题 11．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2) 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 解得， 路灯的高度为4.4米 12．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 13．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，在对应的网格中画出该几何体从正面、左面和上面看得到的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查从三个方向看几何体，解题的关键是掌握从三个方向看几何体．根据从正面、左面、上面看到的图形分别画出各图形即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 14．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； (2)如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】(1)20，40 (2)不能 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，，． 故答案为：20；40； （2）解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 15．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164 【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体， ∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．． ∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体， ∴，即， 解得或（舍去）， 故答案为：6，20； 探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体， 图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 故答案为：18； 探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成， ∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段， ∴图1中一共包含个长方体， 故答案为：； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：∵拿走前后的三视图需要一样， ∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求， ∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体， ①当剩下正方体按如下俯视图摆放时， 表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124 ②当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142 ③同理，当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158 ④当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164 故答案为：124或142或158或164 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十四章 投影、视图与展开图（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1,理解投影的基本概念，掌握平行投影与中心投影的区别与联系 通过观察实物与模型的投影，培养从具体到抽象的思维能力。 2.学会绘制简单几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图） 经历三视图的绘制过程，掌握“长对正、高平齐、宽相等“的作图原则。 3.掌握常见几何体（柱体、锥体、球体）的展开图绘制方法 通过展开与折叠的实践活动，建立二维图形与三维图形的转换意识。 4.能够根据展开图还原立体图形，培养空间想象能力 运用数学建模思想解决实际生活中的视图问题。 知识图谱梳理，因基础 平行投影 一中心投影 中心投影与平行投影 正投影 视点视角和盲区 投影、视图与展开图 ,三视图的概念 三视图 三视图的关系 画三视图 平面展开图 教材要点精析·夯重点 知识点01平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面或墙壁等）上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有 被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影 叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： 1/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长 图1 图2 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的 长度 2.物高与影长的关系 (1)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小 在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东， 影长也是由长变短再变长 (2)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例， 即： 甲物体的高甲物体的影长 乙物体的高ˉ乙物体的影长 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等， 知识点02中心投影 若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点” 就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台 灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源 远的物体它的影子长， 图1 图2 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远， 影子越短，但不会比物体本身的长度还短 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点 在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置 知识点03三视图的概念 1视图 从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图， 2/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2正面、水平面和侧面 用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右 边的面心做侧面 3三视图 一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图： 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图， 叫做左视图主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 知识点04三视图之间的关系 (1)位置关系 (2) 三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示 主视图 左视图 俯找图 (1》 (2) (2)大小关系 三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视 图与俯视图的宽相等的原则如图(2)所示 知识点05画几何体的三视图 1画图方法： 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： (1)确定主视图的位置，画出主视图： (2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； (3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 几何体上被其他部分遮挡而看不见的分的轮廓线应画成虚线 2由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和 左侧面，然后综合起来考虑整体图形 3/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点题型突破·拓思维 题型一利用投影求高度 【例1】如图，在大树AB的右侧有三个台阶T一T,每个台阶的高、宽分别是0.2m和0.4m.某一时刻， 测得台阶在地面上的影子DE=0.45m,此时树梢顶点A的影子落在台阶T,上（包含两个端点)·己知大树 AB的底部到台阶的距离BC=1.9m,则大树AB的高度可能是() A B A.3m B.3.4m C.3.8m D.4.2m 【变式1-1】如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全 落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD=9米，留在墙上的影长CD=2米， 则旗杆的高度() B A.7.2米 B.8.2米 C.9.2米 D.10.2米 【变式1-2】数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹 竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台 阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落 在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你 和他们一起算一下，树高为()·（假设两次测量时太阳光线是平行的） 4/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1-3】如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若树高AB=2m,树影BC=3m,路灯的高度 OP为5m,则树与路灯的水平距离BP为() 路灯 B C A.5m B.4.5m C.4m D.3m 题型二影子的变化 【例2】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子△AB,C,三角板始终保持与 地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是() B A.∠A,B,C,越来越大 B.影子不是直角三角形 C.影子越来越小 D.影子越来越大 【变式2-1】·如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子() 女 B A 5/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.始终不变 B.由长逐渐变短 C.由短逐渐变长 D.先变短后变长 【变式2-2】用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会() 00口 A.先变大后变小 B.逐渐变小 C.逐渐变大 D.先变小后变大 【变式23】如图，小红同学从走向路灯到离开路灯的过程中，她的影子的变化过程是() A.由长变短 B.由短变长 C.先变长后变短 D.先变短后变长 题型三盲区 【例3】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是() 口口 B A.△ACE B.△ADF C.△ABD D.四边形BCED 【变式3-1】下列几项设计不是为了减少盲区的是() A.较大的会场设计成阶梯状 B.城市许多路口设计得都十分宽阔 C.城市设计了许多高层住宅 D.汽车上，司机前的玻璃窗面积设计的尽量大 【变式3-2】人离窗子越远，向外跳望时此人的盲区是() A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 【变式3-3】电影院呈阶梯或下坡形状的主要原因是() 6/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.为了美观 B.减小盲区 C.增大盲区 D.盲区不变 题型四 三视图 【例4】·如图所示的几何体，其俯视图是() 正面 A c.Y D. 【变式4-1】榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图， 其中卯的左视图为()· 榫 卯 【变式4-2】如图所示，几何体的左视图是() 0山正 【变式43】中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它 的主视图是() 题型五利用三视图还原 【例5】·从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是() 7/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 从正面看 从左面看 从上面看 A B 【变式5-1】·如图三视图所表示的几何体是() 主视图左视图 俯视图 A.直三棱柱B.直四棱柱 C.圆锥 D.不存在 【变式5-2】.某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是() B 8/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-3】·某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是() 主视图 左视图 俯视图 B 题型六 利用三视图求面积 【例6】·一个空间几何体，主视图是一个圆，左视图和俯视图都是边长为2的正方形，那么这个几何体的 表面积为() 主视图 左视图 2 2 俯视图 A.4π B.4π+4 C.6 D.8π 【变式6-1】.一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是() 主视图 左视图 俯视图 A.32 B.16 C.12√2 D.8V5 【变式6-2】·中国空间站“天和核心舱的某部件三视图如图所示，则该部件的侧面积是() 9/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10cm 20cm 主视图 左视图 俯视图 A.200πcm2 B.50xcm2 C.100zcm2 D.400元cm2 【变式6-3】·如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积() 6 主视图 左视图 俯视图 A.168元 B.172π C.66π D.67元 题型七利用三视图求体积 【例7】，如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是() 33 主视图 左视图 俯视图 A.725 B.18V5 C.545 D.645 【变式7-1】.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是() 6 A.36元 B.24π C.12π D.8元 【变式7-2】.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(）· 10/23