专题10 分式（知识必备+10大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题10 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的基本概念 能准确界定分式，明确分式有意义、值为0的条件，并能解决相关判断与计算问题。 易错点， 常考查分式有意义、无意义及值为0的条件。多以选择题、填空题形式出现 分式的基本性质 理解“分子分母同乘（除）一个不为0的整式，分式值不变”的性质，能灵活进行分式的约分与通分。 易错点，忽略符号和约分不彻底 常结合分式的乘除运算考查 分式的运算 掌握分式乘法、除法、乘方的法则，以及同分母分式加减、异分母分式加减的规则，能准确完成混合运算并化简结果。 解答题的必考题，难度中等，易错点是运算顺序错误、符号处理失误。 整数指数幂与科学记数法 掌握非零数的零次幂、负整数指数幂的运算性质，能将绝对值小于1的正数用科学记数法表示 基础点，题型以选择题、填空题为主，多与实际情境结合 分式方程的解法与应用 能识别分式方程，理解“去分母转化为整式方程”的化归思路，熟练掌握“化简—去分母—解整式方程—验根”的完整步骤；能根据实际问题中的数量关系列分式方程，解决行程、工程、增长率等典型应用题。 重难点，解答题压轴常考，易错点是忘记检验和实际问题中忽略取值范围。 知识点01 分式的定义 1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母. 分式的“三要素”： (1)形如的式子； (2)A，B 为整式； (3)分母B 中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 分数 分式 联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 知识点02 分式有意义、无意义、值为0的条件 1.分式有意义、无意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0 分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0 2. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时， ＝0. 3. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知识点03 分式的基本性质 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用途 进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： 3.分式的约分 （1）分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. （2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. （3）找公因式的方法 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； 当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 4.分式的通分 （1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. （2）最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母. （3）确定最简公分母的方法 当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； 当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 5. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 知识点04 分式的乘方与除法 1..分式的乘法 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 2.分式的除法 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 3..分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算；若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 4.分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用字母表示为()＝ (n为正整数). 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 知识点05 分式的加法与减法 1.同分母分式的加减法 同分母分式的加减法法则 法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 式子表示 2.异分母分式的加减法 法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 式子表示 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分 3.分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序：分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 进行分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 知识点06 整数指数幂 1. 负整数指数幂：一般地，当n是正整数时， (a ≠ 0). 这就是说，(a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)(m，n是整数)； (2)()＝(m，n是整数)； (3)(ab)＝(n是整数)； (4)(m，n是整数)； (5)()= (n 是整数). 3..科学记数法 1. 用科学记数法表示小于1的正数：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 2. 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 (1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). 知识点07 分式方程 1.分式方程的概念 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （2）分式方程应满足的条件 (1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.以上三者缺一不可. 2.分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整式方程. （2）解分式方程的一般步骤 （3）检验分式方程解的方法 直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （4）增根(拓展) 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根. 3.分式方程的应用 （1）列分式方程常用的等量关系 行程问题：速度×时间＝路程. 利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%. 工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和. （2）列分式方程解应用题的一般步骤 审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. 解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. 答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 题型一 分式的基本概念 【典例1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·河南·期末）若分式无意义，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型二 分式的基本性质 【典例2-1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 【典例2-2】（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 题型三 分式的运算 【典例3-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【典例3-2】（25-26八年级上·江西·期末）化简： 【典例3-3】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：． 【典例3-4】（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算：； 【变式3-1】（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）计算：． 【 变式3-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）计算： (1)； (2) 【变式3-4】（24-25八年级上·江西上饶·期末）计算与化简． (1) (2) 题型四 科学记数法 【典例4】（24-25八年级上·广东东莞·期末）锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为，已知，则锂的原子半径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米．其中0.00000000018用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）2023年9月，上海微电子研发的浸没式光刻机成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知米，则数据0.000000028用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·重庆·期中）祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.00086平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里． 题型五 分式化简求值 【典例5-1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【典例5-2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【变式5-1】（23-24八年级上·广西贵港·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式5-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）先化简，再求值：，其中x为的整数． 【变式5-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 题型六 解分式方程 【典例6-1】（25-26八年级上·北京·期末）解方程：． 【典例6-2】（25-26八年级上·安徽·期末）解方程： 【变式6-1】（23-24八年级上·天津南开·期末）解分式方程：． 【变式6-2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南·期末）解方程： (1)； (2)． 题型七 根据分式方程解的情况求值 【典例7】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【变式7-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【变式7-2】（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是 ． 【变式7-3】（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 【变式7-4】（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 题型八 分式方程无解问题 【典例8】（25-26八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 题型九 分式方程的实际应用 【典例9-1】（行程问题）（24-25八年级上·广东东莞·期末）随着科技的不断进步，我国的高铁、动车实现了跨越式发展，已处于世界领先水平．已知高铁A的平均速度是动车B的倍，高铁A行驶所用的时间比动车B少，求高铁A的平均速度． 【典例9-2】（工程问题）（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 【典例9-3】（经济问题）（24-25八年级上·甘肃武威·期末）年月1日是中华人民共和国成立周年纪念日，某商家用元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的倍，但每件贵了元，求该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？ 【典例9-4】（和差倍问题）（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【变式9-1】（24-25八年级上·吉林·期末）小明打算利用寒假到朱雀山滑雪场玩雪圈，从家到目的地全程80千米，由于假期车流量大，实际行驶速度是原计划的，结果实际比原计划多用了15分钟，求原计划的行驶速度是多少？ 【变式9-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）某市计划对道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造20米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米？ 【变式9-3】（24-25八年级上·北京顺义·期末）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价． 【变式9-4】（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 题型十 分式最值 【典例10】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式10-1】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【变式10-2】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）要使分式有意义，则x应满足（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m． 5．（25-26八年级上·广西来宾·期中）计算： ． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 7．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 8．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）解分式方程时，去分母变形为 ． 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： 10．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算： 11．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程：． 12．（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25八年级上·全国·期末）为了改善交通环境，对某段路进行改造，需要铺设一段长300米的排污管道，铺设120米后为了尽可能减少施工对交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加，结果完成这一任务共用了30天，求原计划每天铺设排污管道多少米． 14．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 5．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）已知，，下面关于的三个结论：①关于的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数的取值是4或2．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 7．（25-26八年级上·安徽·期末）若关于的方程有增根，则 ． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 11．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 12．（24-25八年级上·重庆·期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·全国·期末）当 时，关于的方程无解． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 5．（24-25八年级下·重庆·期末）若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则 ；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则 ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 7．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 8．（24-25八年级上·吉林·期末）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天．甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为600元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 9．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ (3)商家以（2）中每件衬衫的最少标价卖出，把所得利润的全部用于购进甲、乙型号的电风扇赠给敬老院，如果甲型号电风扇每台250元，乙型号电风扇每台150元，那么有哪几种购买方案？请直接写出答案． 10．（24-25八年级上·全国·期末）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 11．（24-25八年级下·四川乐山·期末）对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 12．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求、的值； (3)分式的值为正数时，应满足什么条件？ 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 16．（25-26八年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的基本概念 能准确界定分式，明确分式有意义、值为0的条件，并能解决相关判断与计算问题。 易错点， 常考查分式有意义、无意义及值为0的条件。多以选择题、填空题形式出现 分式的基本性质 理解“分子分母同乘（除）一个不为0的整式，分式值不变”的性质，能灵活进行分式的约分与通分。 易错点，忽略符号和约分不彻底 常结合分式的乘除运算考查 分式的运算 掌握分式乘法、除法、乘方的法则，以及同分母分式加减、异分母分式加减的规则，能准确完成混合运算并化简结果。 解答题的必考题，难度中等，易错点是运算顺序错误、符号处理失误。 整数指数幂与科学记数法 掌握非零数的零次幂、负整数指数幂的运算性质，能将绝对值小于1的正数用科学记数法表示 基础点，题型以选择题、填空题为主，多与实际情境结合 分式方程的解法与应用 能识别分式方程，理解“去分母转化为整式方程”的化归思路，熟练掌握“化简—去分母—解整式方程—验根”的完整步骤；能根据实际问题中的数量关系列分式方程，解决行程、工程、增长率等典型应用题。 重难点，解答题压轴常考，易错点是忘记检验和实际问题中忽略取值范围。 知识点01 分式的定义 1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母. 分式的“三要素”： (1)形如的式子； (2)A，B 为整式； (3)分母B 中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 分数 分式 联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 知识点02 分式有意义、无意义、值为0的条件 1.分式有意义、无意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0 分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0 2. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时， ＝0. 3. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知识点03 分式的基本性质 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用途 进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： 3.分式的约分 （1）分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. （2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. （3）找公因式的方法 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； 当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 4.分式的通分 （1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. （2）最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母. （3）确定最简公分母的方法 当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； 当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 5. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 知识点04 分式的乘方与除法 1..分式的乘法 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 2.分式的除法 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 3..分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算；若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 4.分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用字母表示为()＝ (n为正整数). 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 知识点05 分式的加法与减法 1.同分母分式的加减法 同分母分式的加减法法则 法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 式子表示 2.异分母分式的加减法 法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 式子表示 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分 3.分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序：分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 进行分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 知识点06 整数指数幂 1. 负整数指数幂：一般地，当n是正整数时， (a ≠ 0). 这就是说，(a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)(m，n是整数)； (2)()＝(m，n是整数)； (3)(ab)＝(n是整数)； (4)(m，n是整数)； (5)()= (n 是整数). 3..科学记数法 1. 用科学记数法表示小于1的正数：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 2. 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 (1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). 知识点07 分式方程 1.分式方程的概念 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （2）分式方程应满足的条件 (1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.以上三者缺一不可. 2.分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整式方程. （2）解分式方程的一般步骤 （3）检验分式方程解的方法 直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （4）增根(拓展) 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根. 3.分式方程的应用 （1）列分式方程常用的等量关系 行程问题：速度×时间＝路程. 利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%. 工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和. （2）列分式方程解应用题的一般步骤 审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. 解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. 答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 题型一 分式的基本概念 【典例1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义． 分式的定义是分母中含有字母的式子．根据此定义，逐一判断每个式子是否为分式． 【详解】解：∵ 分式是分母中含有字母的式子， ∴ 分母含a，是分式； 分母π是常数，不是分式； 分母4是常数，不是分式； 分母含x，是分式； ，分母含y，是分式； 分母含x，是分式． ∴ 分式有、、、，共4个． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·河南·期末）若分式无意义，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件．掌握使分式无意义的条件是分母为0是解题关键．根据使分式无意义的条件“分母为0”计算即可． 【详解】解：分式无意义， ， ， 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 题型二 分式的基本性质 【典例2-1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：A． 【典例2-2】（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 【变式2-1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：A、不一定成立，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 题型三 分式的运算 【典例3-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，先通分，再化简，得，即可作答． 【详解】解： 【典例3-2】（25-26八年级上·江西·期末）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键． 先将括号里的分式进行因式分解约分，再通分加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 【典例3-3】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【典例3-4】（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算：； 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先将算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，最后进行加减计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式的减法法则是解答本题的关键．根据异分母分式的减法法则计算化简即可解答． 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方计算，再根据有理数的混合运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． （1）先进行分式的乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可； （2）先通分，然后进行同分母的减法运算，最后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式3-4】（24-25八年级上·江西上饶·期末）计算与化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的运算，负整数值指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先通分，化成同分母，再进行减法运算即可； （2）先进行负整数指数幂和幂的乘方运算，再进行分式的除法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型四 科学记数法 【典例4】（24-25八年级上·广东东莞·期末）锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为，已知，则锂的原子半径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， ． 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米．其中0.00000000018用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：0.00000000018用科学记数法表示为． 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）2023年9月，上海微电子研发的浸没式光刻机成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知米，则数据0.000000028用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 【变式4-3】（25-26八年级上·重庆·期中）祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.00086平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，需根据原数小数点移动的位数，由此求解即可． 【详解】飞濑岛的面积约为0.00086平方公里，将小数点向右移动4位得到8.6， 因此，则用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型五 分式化简求值 【典例5-1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【典例5-2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 或 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 当时，原式．（0与选一个代入求值即可） 【变式5-1】（23-24八年级上·广西贵港·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后将的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的乘除法运算．熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 【变式5-2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式化简的法则． 先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式5-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）先化简，再求值：，其中x为的整数． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到，展开原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 为的整数， 为0、1、2， 且， ∴且， 可以取0， 当时，原式． 【变式5-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的化简求值、列分式方程、解分式方程等，掌握这些是解题的关键． （1）先根据分式值相等列出方程，通过因式分解、去分母求解，再检验解的合理性； （2）先将分式除法转化为乘法，化简后进行减法运算．再代入x的值计算结果即可． 【详解】（1）解：由题意得： 去分母得： 解得： 经检验：是原分式方程的解． 所以，当时，分式和分式的值相等. （2）由题意得： ， 当时，原式． 所以当时，求分式的值为． 题型六 解分式方程 【典例6-1】（25-26八年级上·北京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键． 先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可． 【详解】解： 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 【典例6-2】（25-26八年级上·安徽·期末）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及检验是解题的关键． 先去分母，将其化为整式方程，再解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得， 系数化成1，得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 【变式6-1】（23-24八年级上·天津南开·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元一次方程求解的方法是关键． 根据题意，先去分母，转换为一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可． 【详解】解：， 整理得，， 等式两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为． 【变式6-2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查的是分式方程的解法； （1）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案； （2）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故方程无解． 题型七 根据分式方程解的情况求值 【典例7】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 【变式7-2】（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 先求得方程的解，再解，求出a的取值范围． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴，且， 解得：且和， 故答案为：，且． 【变式7-3】（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 【变式7-4】（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 题型八 分式方程无解问题 【典例8】（25-26八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1或 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 【详解】解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 故答案为：或 题型九 分式方程的实际应用 【典例9-1】（行程问题）（24-25八年级上·广东东莞·期末）随着科技的不断进步，我国的高铁、动车实现了跨越式发展，已处于世界领先水平．已知高铁A的平均速度是动车B的倍，高铁A行驶所用的时间比动车B少，求高铁A的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出题目中等量关系，根据等量关系列出方程是解题的关键．设动车B的平均速度为，则高铁A的平均速度为，然后根据“高铁A行驶所用的时间比动车B行驶相同的路程所用时间少”列出方程解答即可． 【详解】解：设动车B的平均速度为，则高铁A的平均速度为，则 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：高铁A的平均速度为． 【典例9-2】（工程问题）（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 【答案】原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 【典例9-3】（经济问题）（24-25八年级上·甘肃武威·期末）年月1日是中华人民共和国成立周年纪念日，某商家用元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的倍，但每件贵了元，求该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？ 【答案】80元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，根据购进第二批这种纪念衫数量是第一批购进量的2倍列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元． 【典例9-4】（和差倍问题）（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 【变式9-1】（24-25八年级上·吉林·期末）小明打算利用寒假到朱雀山滑雪场玩雪圈，从家到目的地全程80千米，由于假期车流量大，实际行驶速度是原计划的，结果实际比原计划多用了15分钟，求原计划的行驶速度是多少？ 【答案】原计划的行驶速度是 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．设原计划的行驶速度是，则实际行驶速度是，根据“实际比原计划多用了15分钟”，列出等量关系，即可求解． 【详解】解：设原计划的行驶速度是，则实际行驶速度是， 根据题意：， 解得：， 经检验，当是原分式方程的解， 答：原计划的行驶速度是． 【变式9-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）某市计划对道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造20米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米？ 【答案】甲工程队每天改造道路的长度是120米，乙工程队每天改造道路的长度是100米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设甲工程队每天改造道路的长度是米，则乙工程队每天改造道路的长度是米，根据甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲工程队每天改造道路的长度是米，则乙工程队每天改造道路的长度是米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天改造道路的长度是120米，乙工程队每天改造道路的长度是100米． 【变式9-3】（24-25八年级上·北京顺义·期末）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价． 【答案】A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元 【分析】本题考查的是分式方程的应用. 设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元，再利用购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的倍，列方程，解方程即可. 【详解】解：设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元， 依题意，得， 解得， 经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义， 所以， 答：A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元． 【变式9-4】（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【答案】(1)每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元； (2)商家最多可以购买副甲种春联． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）通过设甲种春联进价为未知数，依据两种春联购进数量相同这一条件，列分式方程求解进价． （2）设购进甲种春联数量，进而表示出乙种春联数量，根据利润不低于给定值的条件，列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； （2）解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 题型十 分式最值 【典例10】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 【变式10-1】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 【变式10-2】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）要使分式有意义，则x应满足（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 即应满足， 故选：A． 2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 3．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广西来宾·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算是解题的关键． 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案是：． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 【答案】3 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键．根据分式无意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， 解得：． 故答案为：3． 7．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式值为零的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴x的值为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）解分式方程时，去分母变形为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的除法、乘方运算． 先计算负整数指数幂和分式的乘方，再将除法化为乘法求解． 【详解】解： ． 10．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义，乘法法则，负整数指数幂的意义，立方根的定义等计算即可． 【详解】解： ． 11．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】将分式方程去分母化为一元一次方程求解并检验根是否为增根即可．本题考查可化为一元一次方程的分式方程的求解，掌握分式方程解法是求解的关键． 【详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 检验： 当时，， 是增根，舍去， 原分式方程无解． 12．（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键． 先算括号内的加法，再将除式的分母因式分解，把除法转化为乘法，约分即可化简原式，最后将代入化简后的式子，进行计算即可得到答案． 【详解】解：原式， ， ， ； 当时， ， ， ． 13．（24-25八年级上·全国·期末）为了改善交通环境，对某段路进行改造，需要铺设一段长300米的排污管道，铺设120米后为了尽可能减少施工对交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加，结果完成这一任务共用了30天，求原计划每天铺设排污管道多少米． 【答案】9米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天铺设管道x米，根据需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加，结果共用了30天完成了这一任务，根据等量关系：铺设120米管道的时间铺设米管道的时间天，可列方程求解． 【详解】解：设原计划每天铺设排污管道x米， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天铺设排污管道9米． 14．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考要了分式方程的应用，根据压强公式，结合题目中压强之比为的条件，建立分式方程求解． 【详解】解：铁块A的重量为50N，底面积为，对桌面的压强为， 铁块B的重量为100N，底面积为，对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，异分母分式加减法，构造二元一次方程组求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等式右边通分，根据等式两边相等，得到关于A、B的方程组求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 5．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）已知，，下面关于的三个结论：①关于的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数的取值是4或2．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是解分式方程，分式的值为整数的条件，理解题意是解本题的关键，先建立分式方程，解方程后可判断①，求解，再结合配方法可判断②，把化为，再结合分式的值可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的根，故①不符合题意； ∵，， ∴ ，故②符合题意； ∵， ∵式子的值为整数，为整数， ∴或， ∴或或或；故③不符合题意； 综上所述，其中正确的有1个． 故选：B． 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽·期末）若关于的方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 故答案为：1． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由已知条件化简得到 ，然后代入分式计算即可． 【详解】解：由 ，得 ， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解以及完全平方式，理解分式方程的增根以及完全平方式的定义是正确解答的前提． 由分式方程的解为整数以及增根的意义可求出或或，然后根据完全平方式定义得到或，即可得到满足条件的整数． 【详解】解：关于的分式方程的解是，且解为整数，a为整数， 或且， 解得或或或， 而当时，分式方程有增根， ， 或或， 是一个完全平方式， ， 或， 故 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得； （2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 【答案】(1)35天 (2)210000元 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该项工程的规定时间是天，根据“甲的工作量乙的工作量”列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙队合作完成所需的天数，再根据施工费用施工时间每天施工的费用列式计算即可． 【详解】（1）解：设该项工程的规定时间是天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该项工程的规定时间是35天； （2）解：甲、乙队合作完成所需的天数为：（天， 则该工程施工总费用（元， 答：该工程施工总费用是210000元． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 【答案】(1)公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； (2)购买34个公蟹，66个母蟹 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解一元一次不等式组的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出公蟹的单价，再将其代入中，即可求出母蟹的单价； （2）设该公司购买m个公蟹，则购买个母蟹，根据“购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出购买方案． 【详解】（1）解：设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； （2）解：设该公司购买m只公蟹，则购买只母蟹， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34， ∴该公司购买34只公蟹，66只母蟹. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·全国·期末）当 时，关于的方程无解． 【答案】或1或6 【分析】此题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可． 【详解】解：由原方程得：， 整理得： （i）当，即时，原方程无解； （ii）当，原方程有增根， 当时，，即； 当时，，即， 即当，或时原方程无解， 故答案为：，或． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·重庆·期末）若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则 ；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的分式运算． 根据“梦幻数”的定义取符合条件的最小的数求出是，代入计算即可；根据“梦幻数”的定义得到，，可得，由E是整数可知为2的倍数且为5的因数，即可得到，计算即可． 【详解】解：∵是最小的“梦幻数”， 百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1， ∴是， ∴； ∵是“梦幻数”， 且满足的千位数字为，十位数字为8， ∴是即（）， ∴， ∵是“梦幻数”， 的百位数字为6，十位数字是， ∴是即（或）， ∴， ∴ ， ∵为整数， ∴为2的倍数且为5的因数（c、a均为正整数且，或） 当为5的因数时，或或， ∵为2的倍数，且取最大值，，或， 当时，，当时，； 当时，，当时，； 当时，，当时，； 综上所述，当时，取最大值， ∴，， ∴． 故答案为：；． 6．（24-25八年级上·全国·期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】(1)20天 (2)方案C 【分析】本题考查分式方程的应用，正确寻找等量关系构建方程是解决问题的关键． （1）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案C，可列方程得，解方程即可解决问题； （2）分别求得三个方案的工程款，比较即可得解． 【详解】（1）解：设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案C，可列方程得1， 解得， 经检验：是所列方程的根， 答：规定的工期是20天． （2）解：由（1）知：即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天， ∴A方案的工程款为（万元）； B方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了工期，因此不能选； C方案的工程款为（万元）； ∵ ∴在不耽误工期的前提下，方案C最节省工程款． 7．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天．甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为600元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 (2)①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择甲工程队 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， 则暑假共51天，甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， 从资金的角度考虑，学校应选择乙工程队， ， 则暑假共51天，甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 综上：从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理，学校应选择甲工程队． 9．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ (3)商家以（2）中每件衬衫的最少标价卖出，把所得利润的全部用于购进甲、乙型号的电风扇赠给敬老院，如果甲型号电风扇每台250元，乙型号电风扇每台150元，那么有哪几种购买方案？请直接写出答案． 【答案】(1)120件 (2)150元 (3)共两种方案，方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台；方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台 【分析】（1）依据题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据题意，列出方程，进而计算可以得解； （2）依据题意，由，又设每件衬衫的标价y元，依题意，列出不等式，进而计算可以得解； （3）依据题意得，由（2）知每件衬衫标价150元，可得到两批衬衫的利润，设购买甲型号电风扇m台，乙型号电风扇n台，可得，结合m、n为非负整数，即可判断得解． 本题主要考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 【详解】（1）解：由题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件． （2）解：由题意，， 设每件衬衫的标价y元，依题意有 ， 答：每件衬衫的标价至少是150元． （3）解：由题意得，由（2）知每件衬衫标价150元， 两批衬衫的利润为： 元 利润的为 设购买甲型号电风扇m台，乙型号电风扇n台， 、n为非负整数， 存在以下两种情况： 当时，，，，； 当时，， 有两种购买方案： 方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台． 方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台． 10．（24-25八年级上·全国·期末）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；②每年行驶超过千米，买新能源车的年费用更低 【分析】（）用总电价除以续航里程列出代数式即可； （）①根据题意列出分式方程，解方程求出的值，进而即可求解；②设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解； 本题考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为； （2）解：①由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴，； 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； ②解：设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 11．（24-25八年级下·四川乐山·期末）对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)存在，时，题中等式成立． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及解分式方程； （1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解； （3）根据，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由（1）可知，则 ； （3）解：由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 12．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求、的值； (3)分式的值为正数时，应满足什么条件？ 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的化简、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）由已知得，再根据分式化简的步骤求解即可； （2）由已知得，由分式的性质得到，据此求解即可； （3）由题意得到或，结合，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵分式的值为正数时， ∴或， 又∵， ∴或， 解得． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ （2）设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； （3）∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 【答案】(1)； (2)①从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待，理由见解析；② (3)当时，时间；当时，时间． 【分析】本题主要考查了行程问题中的时间、路程、速度的关系，分式方程的应用，列代数式，以及分情况讨论的数学思想．熟练掌握行程问题的基本公式时间路程速度时间路程速度，并能根据实际情况分情况讨论是解题的关键． （1）确定第一个学生从教室前门到安全出口所经过的路程，根据速度公式时间路程速度时间路程速度来计算时间． （2）①要判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，需分别计算从后门撤离的第一个学生到达前门的时间和从前门撤离的学生全部撤出教室的时间，然后比较这两个时间的大小．②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，根据两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同这一条件，列出方程求解． （3）化学实验室内有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，需要分情况讨论，根据不同的情况计算全部学生撤离到安全出口所用的时间． 【详解】（1）解：∵ 从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所走的路程为教室的长度，行进速度为， ∴时间； （2）解：①化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，从前门撤离的学生队列长度为． 从前门撤离的学生全部撤出教室的路程是队列长度加上学生身体的总厚度，学生身体的总厚度为， ∴总路程为． 从后门撤离的第一个学生到达前门的路程是教室的长度． ∵速度相同，路程， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门的时间小于从前门撤离的学生全部撤出教室的时间， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待． ②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，则第二次的行进速度为． 第一次演练中，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生有名，队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为．后门的第一名撤离学生到前门的时间是， ∵， ∴第一次演练时间为． 第二次演练中，学生间隔为，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，后门的第一名撤离学生到前门的时间是． ∵， ∴第二次演练时间为． 由两次时间相同 ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一次疏散演练队伍的行进速度为． （3）解：化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，名学生从后门撤离． 从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 当时，时间． 当时，时间． 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 16．（25-26八年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】(1)3； (2) (3)12 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为 ． 【详解】（1）解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $