专题03旋转（考点清单，4个考点清单+11种题型解读）九年级数学上学期人教版五四制

该初中数学旋转专题知识清单系统梳理了旋转的核心内容，涵盖旋转概念、性质、作图、中心对称及坐标对称等7大考点，配套11种题型解读，精选各地期末真题作为例题与变式题，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“考点清单+题型解读”双结构设计，考点清单分层梳理知识要点，如中心对称与中心对称图形的关联对比，培养空间观念；题型按能力层级分类，含现实情境题（如亚运会吉祥物旋转判断），引导用数学眼光观察，通过变式训练提升推理能力，教师可直接选用真题例题设计分层教学，助力学生高效掌握旋转知识，发展数学思维与应用意识。

专题03 旋转（考点清单，4个考点清单+11种题型解读） 【清单01】旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的），如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点. 注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转。 【清单02】旋转的性质 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。 【清单03】旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【清单04】中心对称(两个图形) 1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形. (2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. (3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等. 3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 4.作图步骤： ①连接原图形上所有的特殊点和对称中心；②将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；③将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 【清单05】中心对称图形(一个图形) 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【清单06】点坐标对称 1.关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点关于原点的对称点为 2.关于轴对称的点的特征 两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于x轴的对称点为 3.关于轴对称的点的特征 两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于y轴的对称点为 【清单07】图案设计 图案设计一般是利用图形的平移、轴对称和旋转来完成的 考点题型1：判断图形的旋转 【例1】（2023-24九年级上·安徽芜湖·期末）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【例2】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）下列属于旋转运动的是（        ） A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千 【变式1-2】（2023-24九年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 考点题型2：旋转三元素的判定 【例3】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【例4】（2023-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 【变式2-1】（2023-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式2-2】（2023-24九年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式2-3】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，四边形是正方形，是上一点 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果点是的中点，那么经过上述旋转后，点转到了什么位置？ 考点题型3：利用旋转的性质求解 【例5】（2023-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例6】（2023-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【变式3-1】（2023-24九年级上·云南曲靖·期末）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023-24九年级上·全国·期末）已知：如图，P是正方形内一点，． (1)作出绕B点逆时针旋转后的图形（不要求写作法）； (2)求的长． 考点题型4：利用旋转的性质证明 【例7】（2023-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【例8】（2023-24九年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，分别延长与交于点，连接、．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式4-1】（2023-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，延长交直线于点，交于点，求证； 【变式4-2】（2023-24九年级下·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【变式4-3】（2023-24九年级下·山东菏泽·期末）如图，点E与F分别在正方形的边、上，．求证：．    考点题型5：平面直角坐标系中图形旋转 【例9】（2023-24九年级上·全国·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例10】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ． 【变式5-1】（2023-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是 ． 【变式5-3】（2023-24九年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 考点题型6：图形旋转的规律问题 【例11】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例12】（2023-24九年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【变式6-1】（2023-24九年级下·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标 ． 【变式6-2】（2023-24九年级下·广东汕头·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到则的直角顶点的坐标为 ． 【变式6-3】（2023-24九年级上·四川泸州·期末）如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为 ． 考点题型7：中心对称 【例13】（2023-24九年级上·河北保定·期末）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点A的对称点是点 D． 【例14】（2023-24九年级上·云南昆明·期末）如图，在坐标平面内（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度，点，，都在格点上）． (1)作关于原点中心对称的，并直接写出点的坐标； (2)求以，，为顶点的三角形的面积． 【变式7-1】（2023-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023-24九年级上·全国·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． (2)作出关于坐标原点O成中心对称的，并写出点的坐标． (3)判断是否可由绕某点M旋转得到．若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标． 【变式7-3】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D．若，则阴影部分的面积之和为 ． 考点题型8：中心对称图形 【例15】（2023-24九年级上·全国·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【例16】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等． (1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形； (2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形； (3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形． 【变式8-1】（2023-24九年级上·山东德州·期末）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式8-2】（2023-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【变式8-3】（2023-24九年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．    (1)将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出； (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________． 考点题型9：关于原点的中心对称 【例17】（2023-24九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a、b的值为（  ） A． B． C． D． 【例18】（2023-24九年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图， 轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是 ．    【变式9-1】（2023-24九年级上·辽宁大连·期末）若点与点关于原点对称，则的值是（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式9-2】（2023-24九年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式9-3】（2023-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 考点题型10：图案设计 【例19】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【例20】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【变式10-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【变式10-2】（2023-24九年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【变式10-3】（2023-24九年级上·吉林·期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转（考点清单，4个考点清单+11种题型解读） 【清单01】旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的），如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点. 注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转。 【清单02】旋转的性质 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。 【清单03】旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【清单04】中心对称(两个图形) 1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形. (2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. (3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等. 3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 4.作图步骤： ①连接原图形上所有的特殊点和对称中心；②将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；③将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 【清单05】中心对称图形(一个图形) 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【清单06】点坐标对称 1.关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点关于原点的对称点为 2.关于轴对称的点的特征 两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于x轴的对称点为 3.关于轴对称的点的特征 两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于y轴的对称点为 【清单07】图案设计 图案设计一般是利用图形的平移、轴对称和旋转来完成的 考点题型1：判断图形的旋转 【例1】（2023-24九年级上·安徽芜湖·期末）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 【例2】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出，故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）下列属于旋转运动的是（        ） A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千 【答案】D 【详解】解：A. 小明向北走了 10 米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意； B. 传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意； C. 电梯从 1 楼到 10 楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意； D. 小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查图形旋转运动，掌握旋转定义与特征，旋转中心，旋转方向，旋转角度是解题关键． 【变式1-2】（2023-24九年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次， 用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为， 所以，该轨迹对应的车轮为正方形的． 故选：B． 【变式1-3】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意； B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意； C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意； D、图形可以通过平移得到，故不符合题意； 故选B． 考点题型2：旋转三元素的判定 【例3】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到， 旋转角是或， 故选：A． 【例4】（2023-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【变式2-1】（2023-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为点P， 旋转中心是点P， 故选：A． 【变式2-2】（2023-24九年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 【变式2-3】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，四边形是正方形，是上一点 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果点是的中点，那么经过上述旋转后，点转到了什么位置？ 【答案】(1)点 (2)旋转角是 (3)点旋转到的中点处 【详解】（1）解：由图得知：经旋转后到达的位置，公共顶点是点， 故旋转中心是点． （2）解：由图得知：经旋转后到达的位置， 故的对应边是， ∵四边形是正方形， ∴， ∴旋转角是． （3）解：如图，由图得知：经旋转后到达的位置， 故的对应边是， ∴点旋转到的中点处． 考点题型3：利用旋转的性质求解 【例5】（2023-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴，且， ∴， 故选：B． 【例6】（2023-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， 而点在的延长线上，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（2023-24九年级上·云南曲靖·期末）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可知，， ，， ， 故选：C． 【变式3-2】（2023-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵B，C，E三点在同一直线上， ∴， ∴． ∴， 故选：A． 【变式3-3】（2023-24九年级上·全国·期末）已知：如图，P是正方形内一点，． (1)作出绕B点逆时针旋转后的图形（不要求写作法）； (2)求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)3 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由旋转可知：， ∴，， ∴， ∴． 考点题型4：利用旋转的性质证明 【例7】（2023-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 【例8】（2023-24九年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，分别延长与交于点，连接、．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：由旋转得：， ， ， 在和中 ， ()， ， 平分． （2）解：由旋转得：， ， 由（1）得：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 在中， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定及性质，面积法，勾股定理，线段垂直平分线的判定定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【变式4-1】（2023-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，延长交直线于点，交于点，求证； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，， ， ． 在和中， ， （SAS）； （2）证明：如图， ， ． 又， ， ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式4-2】（2023-24九年级下·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：， 理由如下： 以点为中心，把逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知： ， 由（2）可知：， 又， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式4-3】（2023-24九年级下·山东菏泽·期末）如图，点E与F分别在正方形的边、上，．求证：．    【答案】见解析 【详解】解：证明：， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图： ， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即．    【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 考点题型5：平面直角坐标系中图形旋转 【例9】（2023-24九年级上·全国·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作轴于点，如图，由题意，得：，， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为； 故选C． 【例10】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， 设点A的对应点为点E，点B的对应点为F， 如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得； 综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或， 故答案为：或． 【变式5-1】（2023-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令点和点旋转后的对应点分别为和，过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知， 是等边三角形，且边长为2， ，轴， ， 则． 在中， ， 所以点的坐标为． 故选：D． 【变式5-2】（2023-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：作轴于， 点的坐标为， ， ， ∴， ，， ， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（2023-24九年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【详解】（1）解：如图1所示，△即为所求． 由图可得，点， 故答案为：； （2）解：如图2所示，即为所求． 由图可得，点， 故答案为：． 考点题型6：图形旋转的规律问题 【例11】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 【例12】（2023-24九年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转， ∴第2025次旋转结束时，点对应点与点A关于原点对称， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：． 【变式6-1】（2023-24九年级下·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标 ． 【答案】 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，，，，， ， 点与同在一个象限内， ，，， 点． 故答案为：． 【变式6-2】（2023-24九年级下·广东汕头·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到则的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点、， ， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：， ， ∴的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为． 【变式6-3】（2023-24九年级上·四川泸州·期末）如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵，且点C为的中点， ∴点C的坐标为，即， 根据题意有， 第1次旋转结束时点C的坐标为； 第2次旋转结束时点C的坐标为： 第3次旋转结束时的坐标为； 第4次旋转结束时点G的坐标为；　　 第5次旋转结束时点C的坐标为； ⋯⋯⋯ 所以，每旋转4次，回到原来的位置， 所以，第2026次旋转结束时点的坐标为， 故答案为： 考点题型7：中心对称 【例13】（2023-24九年级上·河北保定·期末）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】D 【详解】解：∵与'关于O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，B ，C正确，D不正确． 故选：D． 【例14】（2023-24九年级上·云南昆明·期末）如图，在坐标平面内（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度，点，，都在格点上）． (1)作关于原点中心对称的，并直接写出点的坐标； (2)求以，，为顶点的三角形的面积． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2)12 【详解】（1）解：如解图，即为所求，点的坐标为； （2）由（1）得点，连接， 的面积为． 【变式7-1】（2023-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】（2023-24九年级上·全国·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． (2)作出关于坐标原点O成中心对称的，并写出点的坐标． (3)判断是否可由绕某点M旋转得到．若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标； (2)见解析，点的坐标； (3)见解析，点M的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点C1的坐标； （2）解：如图，即为所求，点的坐标； （3）解：如图，点M即为所求，点M的坐标． 【变式7-3】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D．若，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【详解】解：如图，过点作于点F，过点A作于点E， ∵于点D． ， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴ ∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点， ∴，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形的面积． 故答案为：12． 考点题型8：中心对称图形 【例15】（2023-24九年级上·全国·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例16】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等． (1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形； (2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形； (3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：∵平行四边形是中心对称图形， ∴将线段向右平移两个单位，即可得到平行四边形， 作图，如下， （2）解：∵等腰梯形是轴对称图形， ∴以线段为腰，作等腰梯形， 作图，如下， （3）解：∵正方形是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴以线段为一边，做正方形， 作图，如下． 【变式8-1】（2023-24九年级上·山东德州·期末）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【变式8-2】（2023-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【变式8-3】（2023-24九年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．    (1)将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出； (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求；    （3）如图，点的坐标是． 故答案为：． 考点题型9：关于原点的中心对称 【例17】（2023-24九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a、b的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：， 故选：D． 【例18】（2023-24九年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图， 轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：由图可知，点A位于第二象限， ∵ 轴于点E，轴于点F，且，， ∴， ∴点A的坐标是， 点A关于原点的对称点的坐标是； 故答案为：． 【变式9-1】（2023-24九年级上·辽宁大连·期末）若点与点关于原点对称，则的值是（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解∶∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选∶D． 【变式9-2】（2023-24九年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象经过一三四象限， ∴一次函数的图象y轴向上平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称， ∴平移后的函数的解析式为， ∵直线经过点，该点关于原点的对称点为， 将代入，得， 解得， 即平移后解析式为， 可以化为：， 所以一次函数的图象y轴向上平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 或一次函数的图象x轴向左平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 故选：D． 【变式9-3】（2023-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限， ∴点在第三象限， ∴， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： ． 故选：C． 考点题型10：图案设计 【例19】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【详解】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换， 图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【例20】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图1所示： （2）解：如图2所示： （3）解：如图3所示： 【变式10-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 【变式10-2】（2023-24九年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）（1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 故答案为：是轴对称图形；是中心对称图形； （2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【变式10-3】（2023-24九年级上·吉林·期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图： （2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图： 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $