精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试卷

塘沽一中2026届高三毕业班第三次月考 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和并集的定义求解. 【详解】，，， ，. 故选：D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式性质证明充分性，由特例验证必要性. 【详解】已知，若，则，故充分性成立； 已知，若，不妨取，则不满足，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数在上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数在上的单调性排除D 【详解】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。 故选：C 4. 将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球及圆柱的体积公式求解即可. 【详解】设底面半径为，由题意挖去球的半径最大为， 所以，. 故选：B 5. 下列说法正确的有（ ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得出①正确，由标准差定义判断②正确，由随机变量的数学期望及方差性质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确. 【详解】①：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故①正确． ②：根据标准差定义，一组数据的标准差 时， 显然有，故②正确． ③：若随机变量，满足，则， ，故③错误； ④：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队， 男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作， 每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院， 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 综上，共有种分配方式，故④正确； 故选：C 6. 已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，利用，求得的值，计算即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位后的解析式为， 又平移后的函数图像与原来图像重合，所以， 所以，所以，又，所以， 所以， 当时，则， 又，且时，， 所以，所以， 所以 . 故选：B. 7. 设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标（用表示）， 然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可. 【详解】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N， 设点， 由得 ， 即……①， 又因为, 所以, 所以， 所以……②， 由①②可解得， 在中，， ， 所以， 所以, 解得或（舍去）， 故选：C 【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，点满足，，则下列说法正确的有（ ） ①双曲线的离心率为；②与的面积的比值为； ③双曲线的渐近线方程为；④与的内切圆半径之比为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量关系和几何关系得，，然后利用双曲线定义得，，，进而利用勾股定理求得 ，，即可求解离心率和渐近线判断选项①③；利用求解判断②；结合选项②根据求值即可判断④. 【详解】由已知得，因为，，所以垂直平分， 所以，. 设，则，所以，所以， 所以，即. 在直角三角形中，，所以可得，离心率， 所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以①③均正确. ，②正确. 设与的内切圆半径分别为，， 则 ，假设，可以推出，矛盾， 所以，④错误. 故选：C. 9. 已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令函数，判断函数的增减性，然后结合条件，判断函数的增减，从而逐项判断，根据，数列单调递减，选项和选项都错误，结合条件，选项错误，最后结合具体数列项判断选项A 正确. 【详解】由， 解得或， 由零点存在性定理得， 当时，，数列单调递减， ， ， 同理，， 迭代下去，可得，数列单调递减， 故选项和选项都错误； 又， ，故错误； 对于，， 而， ，故A正确． 故选：A． 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知为虚数单位，,则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】移项，再利用分母实数化进行计算即可. 【详解】, 故答案为：. 11. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 12. 将一次考试所有学生的成绩，制成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在，估计本次考试成绩的众数为_________；若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率为_______. 【答案】 ①. 分； ②. 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的面积之和为1求得，再利用频率分布直方图估计众数；先求得和低于70分的人数，利用枚举法求得总的取法，及2人分数都在的取法，利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】由频率分布直方图，得，因此； 由频率分布直方图可知众数为分. 低于70分的同学的频率为，则低于70分的同学应抽取人， 其中成绩在的人数为人，记这3人为， 成绩在的两位同学记为， 从5人中任取两人有，共10种取法， 其中2人分数都在的取法有3种， 所以2人分数都在的概率为. 故答案为：分；. 13. 平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据塞尔瓦定理以及圆的几何性质，求解和，并求直线的方程，求解点的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】由△ABC的垂心到直线BC距离，设圆E半径为r， 由塞尔瓦定理可得，由圆的几何性质可得，联立解得，， 因为直线BC方程为，,且，所以直线EG方程为， 设，则E到直线BC距离，解得（舍去）或， 所以圆E的标准方程为． 故答案为： 14. 如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则___________；若点P满足与共线，，则的值为___________. 【答案】 ①. ## ②. 或 【解析】 【分析】把两边用表示即可得解；利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合第一空把用表示，利用垂直向量点积为零可得解． 【详解】， ∴， ∴， 则 ， 又，∴， 所以； ∵与共线， ∴可设，， ∵， ∴， ∴ =， =， ∴=，① ∵， ∴，，，② 把②代入①并整理得： ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 故的值为或． 故答案为：；或． 15. 设集合M为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当b最小时，的取值为________， 【答案】## 【解析】 【分析】先分析出，或或或或，当时二次函数的图象可以最靠下，即最小，且，当对称轴为时最小，从而得到不等式，求出的最小值及此时的取值计算求解. 【详解】若空间向量，，均为非零向量，则空间向量，，共线或两两互相垂直， 此时三组向量中两两共线的有0组或3组； 若其中一个为零向量，当另外两个向量共线且不为零向量时， 此时三组向量中两两共线的有3组， 若另外两个向量一定不共线， 则， 此时零向量和另外两个向量组成两组共线向量，此时两两共线的有2组， 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 则，由得是的子集， 令，其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 由二次函数的连续性和对称性，或或或或， 当或或或时， 所得的取值范围必包含； 当时二次函数的图象可以最靠下，即b最小，且， 由对称性可知，当对称轴为时最小， 此时且，则， 综上，，最小时，的取值为，所以. 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）将两边平方，得，由余弦定理可得，进而求得； （2）①由三角形面积公式，结合正弦定理可求得，代入，可得，从而得到的周长. ②根据正弦定理、同角三角函数平方关系和三角形边角关系得到，的值，利用二倍角公式和两角和的正弦公式计算得到答案. 【小问1详解】 由两边平方，得， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 ①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以，可得 ， 计算可得. 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）由（1）得直线的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解. （3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即， 令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知、F分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，且的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与线段AF相交于S，与椭圆交于P、Q两点. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求点P的坐标. 【答案】（1） （2）（Ⅰ）设，，， 联立方程，消x得：， 直线l与线段AF交于S点，则，所以，， 因为， 所以， （Ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上及三角形面积公式求椭圆参数，即可得方程； （2）设，，，联立椭圆方程，并写出对应韦达公式，（Ⅰ）根据，即可证；（Ⅱ）由三角形面积相等有，进而得到，再确定P为线段AF的中垂线与椭圆的交点，即可求P的坐标. 【小问1详解】 由的面积为，得，解得，所以①， 又点在椭圆C上，所以②， 联立①②解得，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）由得：，即，又. 所以，所以，则， 所以，又， 所以，所以， 所以P为线段AF的中垂线与椭圆的交点， 由，解得：或， 因此，P的坐标为或. 19. 已知数列是等比数列，，，，成等差数列. （1）求的通项公式和； （2）数列满足；当时，；当时，.记数列的前项和为. ①若，求的值； ②若，求证：. 【答案】（1） （2）①； ②∵，，∴ ∴，（，，） 即 ∵，∴对，都有. 另一方面，∵，，（，，） ∴对，都有 ∴ ∵，， ∴ ∴. 【解析】 【分析】（1）代入等比数列的基本量，即可求解； （2）①由（1）可知，，，再根据，确定的值； ②由得，进一步得到，以及，并代入求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ∵，且， ，∴，∴， 则为求数列的前项和， 所以， ， 两式相减得， 解得： ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴当，时， ∵，∴或， 记，则 ∴当时，， ∴当时，，满足题意，∴. ②略 【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是确定求和的通项公式和项数，第二小问的关键是推理出和. 20. 已知函数（）函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）已知有三个不同的极值点，，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，且满足，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，有， 且，且有， 由得， 同理，由得； 此时， 同理可得，， 所以， 设函数， 则， 可知在上单调递增， 所以， 又因为，所以在恒成立， 即在上单调递增， 因为， 所以当时，， 因为，所以等价于， 可知为方程的两个根， 由函数在上单调递增，在上单调递减可知， 当时，取得最大值， 则，即， 令，则， 可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，，； 可得，所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出切点出的函数值和导函数值，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）根据函数的极值点和导函数零点之间的关系，通过导函数证明函数单调性，判断函数有三个零点时的参数范围，求出结果； （ⅱ）根据函数极值的乘积，进一步缩小参数的范围，根据参数的范围，以及零点存在定理，判断出函数两个极值点的大致范围，进而证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，则， 则， 当有三个不同的极值点，，，等价于有三个不同的正根， 即，即，解得或， 令，则， 令，解得， 可知当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，则函数最大值为， 可知当或时，， 所以当时，由两个不同的正根， 所以实数的取值范围为； （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2026届高三毕业班第三次月考 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的有（ ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为 A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，点满足，，则下列说法正确的有（ ） ①双曲线的离心率为；②与的面积的比值为； ③双曲线的渐近线方程为；④与的内切圆半径之比为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知为虚数单位，,则__________. 11. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 12. 将一次考试所有学生的成绩，制成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在，估计本次考试成绩的众数为_________；若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率为_______. 13. 平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程______. 14. 如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则___________；若点P满足与共线，，则的值为___________. 15. 设集合M为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当b最小时，的取值为________， 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知、F分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，且的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与线段AF相交于S，与椭圆交于P、Q两点. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求点P的坐标. 19. 已知数列是等比数列，，，，成等差数列. （1）求的通项公式和； （2）数列满足；当时，；当时，.记数列的前项和为. ①若，求的值； ②若，求证：. 20. 已知函数（）函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）已知有三个不同的极值点，，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，且满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $