专题2.4 二次函数的应用（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦二次函数的应用，系统梳理利用二次函数解决利润问题、图形面积最值、抛物线形问题等核心知识点，通过14个考点讲练覆盖实际问题（如拱桥、销售、投球）与综合问题（如线段周长、特殊三角形），结合中考真题演练及基础夯实、培优拔高分层练习，构建“知识梳理-考点突破-真题应用-分层巩固”的完整学习支架。 资料以实际生活情境（如拱桥高度计算、销售利润最大化）为载体，培养学生模型意识与应用意识，通过典例精讲与变式训练结合提升推理能力，分层设计满足不同学生需求，助力教师课堂教学效率提升，也便于学生课后自主复习、查漏补缺。

专题2.4 二次函数的应用 【知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用二次函数解决利润问题 1 知识点梳理02：利用二次函数求图形面积的最值 2 知识点梳理03：利用二次函数解决抛物线形问题 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 2 考点2：拱桥问题(实际问题与次函数) 6 考点3：销售问题(实际问题与二次函数) 12 考点4：投球问题(实际问题与二次函数) 14 考点5：喷水问题(实际问题与次函数) 16 考点6：增长率问题(实际问题与二次函数) 18 考点7：其他问题(实际问题与次函数) 19 考点8：线段周长问题(二次函数综合) 22 考点9：面积问题(二次函数综合) 28 考点10：角度问题(二次函数综合) 35 考点11：特殊三角形问题(二次函数综合) 43 考点12：特殊四边形(二次函数综合) 47 考点13：相似三角形问题(二次函数综合) 52 考点14：其他问题(二次函数综合） 58 中考真题 实战演练 61 难度分层 拔尖冲刺 68 基础夯实 68 培优拔高 76 知识点梳理01：利用二次函数解决利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系： 利润=售价-进价； 总利润=单件商品的利润×销售量． 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题． 知识点梳理02：利用二次函数求图形面积的最值 （1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． （2）应用二次函数解决实际问题的基本思路： ①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；⑤检验结果的合理性． 知识点梳理03：利用二次函数解决抛物线形问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题． 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【答案】(1)矩形田地的面积的最大值为 (2)当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，，再由篱笆总长可得，进而可用含x的代数式表示出、，再根据矩形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，解得，，再根据二次函数的性质求取值范围即可． 【规范解答】（1）根据题意可得矩形，矩形，矩形，矩形的面积相等， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴，     ∴， ∵， 解得， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 答：矩形田地的面积的最大值为； （2）根据（1）可得， 令， 解得，，     ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，     ∴当时，，     ∴当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线在x轴上，点A的坐标为，与交于点D．点P从点O出发，沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，过点P作，分别交边于点E，F；同时点Q从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接．设运动时间为． (1)若点A在线段的垂直平分线上，求t的值． (2)连接，设四边形的面积为y，求y与t之间的函数关系式． (3)连接，是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）根据正方形的性质，结合点的坐标，得到，进而求出，证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，根据中垂线的性质得到，列出方程进行求解即可； （2）分割法表示四边形的面积，列出函数关系式即可； （3）连接，作于点，勾股定理求出，分，，三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点A在线段的垂直平分线上时，则：， ∴， ∴； （2）由（1）知：，，，，为等腰直角三角形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 连接，则：四边形的面积 ； 故； （3）连接，作于点，则：，， 由（2）知：， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①，则：，解得或（舍去）； ②当时，则：，解得或（舍去）； ③当时，则：，解得或，均不符合题意，舍去； 综上：或． 考点2：拱桥问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（2025·山西临汾·二模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 (3)3 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将顶点，分别代入，求出a，c的值，即可解答； （2）根据游船宽，从桥下正中间通过，求出当时，，再求出游船从桥下正中间通过所需最小高度为，由，得到游船能安全通过，即可解答； （3）过点P作于F，于M， 推导出，得到，即，设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，推导出，，得到，，则，点C关于y轴的对称点为，继而推导出，再由点D、E关于y轴对称，得到，根据勾股定理，得到，得到，由，开口向下，对称轴为，推导出当时，随n的增大而减小，则当时，取得最大值，为． 【规范解答】（1）解：由题意，得 ，抛物线顶点为． 设抛物线的表达式为，将顶点代入，得 ； ∴抛物线的表达式为， 将代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵游船宽，从桥下正中间通过时， ∴将代入抛物线，得 ， ∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔， ∴所需最小高度为 ∵， ∴游船能安全通过． （3）过点P作于F，于M，过点C作轴于点N，如图1 ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． 即， ∴， 设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则 ，， ∴，， ∴，或（不符合题意，舍去）， ∴，， 即，点C关于y轴的对称点为， ∴ ， ∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E关于y轴对称， ∴， ∴ 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，随n的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为． 答：取得最大值为3． 【变式训练】（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【规范解答】（1）解：由题知，点为抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，， 解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 考点3：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）丽江古城某客栈客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满．当每套房间每天的定价每增加10元时，就会有一套房间空闲．对有游客入住的房间，客栈需对每套房间每天支出20元的各种费用．设每套房间每天的定价增加x元．求： (1)房间每天的入住量y（套）关于x（元）的函数关系式； (2)该客栈每天的房间收费总额z（元）关于x（元）的函数关系式； (3)该客栈客房部每天的利润W（元）关于x（元）的函数关系式；当每套房间的定价为每天多少元时，W有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)，当每个房间的定价为每天元时，W有最大值，且最大值是元． 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用、求二次函数的最大（小）值，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题． （1）根据题意可得； （2）已知每天定价为x元，则每天要元．则； （3）支出费用为，则利润，利用配方法化简可求最大值． 【规范解答】（1）解：由题意得：； （2），即； （3） ， 当时，W有最大值， 此时，，就是说，当每个房间的定价为每天元时，W有最大值，且最大值是元． 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题关键是理解题意，弄清数量关系． （1）根据“当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只”，列出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式即可； （2）结合（1），根据“利润每只利润销售量”，即可获得答案； （3）首先根据“每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于”，列出方程组，解得的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 考点4：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·山西朔州·月考）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小康这次的成绩不能得到满分，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式． （2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分． 【规范解答】（1）解：由题意可设， 将代入，得， ， 抛物线的解析式为． （2）解：小康这次的成绩不能得到满分． 理由：当时，， ∴小康投掷实心球的成绩小于米， ∴小康这次的成绩不能得到满分． 【变式训练】（2025·河北·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键； （1）依据题意，由点是抛物线上一点，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，由，从而可以判断得解； （3）依据题意可得直线的解析式为，设这束红外线的长度为，则，进而可以判断得解． 【规范解答】（1）解：点是抛物线上一点， ． ． （2）解： ， 抛物线最高点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 考点5：喷水问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（2025·陕西西安·二模）在一次消防实战演练中，一栋高楼内距地面32米的A处和38米的B处出现火情．消防员在C点处喷水灭火，水流从C点射出恰好能到达A处，且水流的最大高度为40米，水流最高点到高楼的水平距离为8米．以高楼底部为原点建立平面直角坐标系，水流高度y（米）与出水点到高楼的水平距离x（米）满足二次函数关系． (1)求第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)A处火源熄灭后，消防员前进一定的距离到D点进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线形状完全相同，若使水流刚好到达B处，消防员应至少前进多少米？ 【答案】(1) (2)消防员应至少前进4米 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，点A的坐标为，点的坐标为，第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，从而可设抛物线的解析式为，再将点A代入求出a，进而可以判断得解； （2）依据题意，设消防员应至少前进h米，则消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，将点代入即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，点A的坐标为，点的坐标为，第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设此时抛物线的解析式为，将点代入， 得， ∴， ∴． （2）由题意，设第二次抛物线的解析式， 将点代入，得， 解得或， ∴消防员应至少前进4米． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）某公园有一个直径为的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，如图，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系(仅考虑截面在第一象限部分)． (1)若喷出的水柱在距水池中心处达到最高，且高度为，求水柱所在抛物线的函数解析式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ 【答案】(1)； (2)为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心以内． 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的应用是解题的关键． （）设水柱所在抛物线的函数解析式为，将代入求出的值即可； （）当时，有，然后求出的值即可． 【规范解答】（1）解：设水柱所在抛物线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，有，解得（舍去），， 答：为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心以内． 考点6：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【规范解答】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 【变式训练】（2024九年级下·上海·专题练习）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式． 【规范解答】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 考点7：其他问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（2025·陕西商洛·三模）如图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以点为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，左侧轨道抛物线的顶点在轴上，与轴交于点，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的解析式； (2)在轨道（抛物线）距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下一个轨道抛物线．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同（即抛物线由抛物线向右平移得到），求的长． 【答案】(1) (2)的长为15米 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知，，设抛物线的函数解析式为，把代入，求解值，进而可得抛物线解析式； （2）由题意知，当时，，解得，即，，得出，由抛物线的形状与抛物线完全相同，，则抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意知，，， 设抛物线的函数表达式为． 把的坐标代入，得， 解得， ∴． （2）解：由题意得：， 当时，， 解得：． ∴，． ∴． ∵抛物线的形状与抛物线完全相同． ∴， ∴抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的． ． ，即的长为15米． 【变式训练】（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)建立平面直角坐标系如图， 【思路点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数是解题的关键． （1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，求出坐标，再由待定系数法求直线的解析式； （3）根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标． 【规范解答】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为， 当时，， ， ， 平移后， 设直线的解析式为，   ， 解得 ； （3）解：根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵，   ， ， ， ． 考点8：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【思路点拨】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【规范解答】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2） ， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 【变式训练】（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，拋物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，直线， (2)①点是线段的中点，理由见解析；② (3)或或 【思路点拨】（1）将点代入可求，则，抛物线的对称轴为直线，可求，进而可得点关于对称轴的对称点的坐标； （2）①待定系数法求直线的解析式，进而可求的坐标为，由的坐标为，可知点为线段的中点．②设，，则，，然后求解作答即可； （3）由平移可知为，为，，①当时，图象开口向下，顶点为，当时，；此时顶点在线段上，抛物线 与线段只有一个交点；当时，，可求；当时，，可求，即；②时，图象开口向上，当顶点 在线段上时，同理①，（舍去）；当时，，可求；当时，，可求，即；然后作答即可． 【规范解答】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， ∴，抛物线的对称轴为直线，点关于对称轴的对称点的坐标为； （2）①解：点是线段的中点，理由如下； 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点的坐标为， 当时，，即的坐标为， ∴点为线段的中点． ②解：设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最长， 将，代入得，，即， ∴当线段最长时，点的坐标为； （3）解：由平移可知为，为， ∴， ①当时，图象开口向下，顶点为， 当时，； 此时顶点在线段上，抛物线 与线段只有一个交点，如图： 当时，，如图： 解得； 当时，，如图： 解得（舍）； ∴； 综上所述，当或时，抛物线 与线段只有一个交点； ②当时，图象开口向上， 当顶点 在线段上时，同理①，（舍去）； 当时，，如图： 解得； 当时，， 解得（舍）， ∴； 综上所述，或或． 考点9：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·海南海口·月考）2025年春晚舞台运用了大量、全息投影等高科技手段打造沉浸式视觉体验．假设舞台有一个虚拟的动态光影图案，其轮廓曲线可以用函数来近似表示，如图，已知抛物线（是常数）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出点坐标； (3)点是轴下方的抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接，设所得的面积为． ①求关于的函数解析式； ②探究：若的面积为整数，则这样的共有多少个． 【答案】(1) (2)或； (3)①；②24个 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，设，求出点B和点C的坐标，利用两点距离计算公式得到，，，再分和两种情况，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）①可求出直线的解析式为，当点P在y轴右侧时，过点P作轴，交于点M，根据列式求解即可；当点P在y轴左侧时，过点P作轴，交直线于点M，根据 列式求解即可；②根据（3）①所求求出和时S的取值范围，根据S为整数，确定满足题意的S的个数，进而确定m的个数，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：∵抛物线（是常数）与轴交于， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴是直线， ∴可设． 在中，当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴， ∴，，． ①当时，如图所示： 则， ∴， 解得， ∴； ②当时，如图所示： 则， ∴， 解得， ∴； 综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，点M的坐标为或； （3）解：①设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当点P在y轴右侧时，过点P作轴，交于点M，如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴； 当点P在y轴左侧时，过点P作轴，交直线于点M，如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴ ； 综上所述，； ②当时，， ∵， ∴当时，S随m的增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，， ∵S为整数， ∴S的值可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9， ∴此时满足S为整数的m的值一共有9个 ∴有9个； 当时，， ∵， ∴当时，S随m的增大而增大，当时，S随m的增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∵S为整数， ∴S的值可以为1，2，3，4，5，6，7，8， ∴此时满足S为整数的m的值一共有个， ∴有15个； 综上所述，满足S为整数的一共有． 【变式训练】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) (3)点P的坐标为和 【思路点拨】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）作于H，轴交于点G，易证，设，则，可表示出，进而求出的函数解析式，进而即可求解； （3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【规范解答】（1）解：∵交x轴于点A， ∴， ∴， ∴， ∵直线与y轴交于点B， ∴B点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且， ∴可设二次函数， 把代入得，， ∴二次函数的表达式：； （2）解：作于H，轴交于点G， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 又∵，， ∴， ∵， 当时，最大，此时，， ∴； （3）解：（I）当点B为直角顶点时，过B作交x轴于点，则，如图1， ∴， ∴，得， ∴； （II）当点D为直角顶点时，作，如图2， 将与联立， 得 解得（舍去）或， 将代入得，， ∴D点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，则， 故点坐标为； （Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，如图3， 设， 则由，得， ∴， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为和． 考点10：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图，直线经过点，为直线上的一个动点，且位于轴的下方，为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以为邻边构造矩形，求矩形的周长的最小值． (3)如图，设抛物线的顶点为，在（）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段和的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值； （3）先利用锐角三角函数证明出 ，进而得到F点的其中一个位置，在另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵抛物线 经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵经过点， ∴， ∴， ∴直线：； 设，则， ∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为， ∴； 又∵， ∴， 当时，的值最小，最小值为； ∴该矩形周长的最小值为； （3）存在，或； 由（2）可知，， ∵抛物线的函数表达式为：； ∴顶点D坐标为， 如图4，作， 因为，， ∴； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ 令，解得：，； ∴,, ∴, ∴， ∴当F点在点A处时，能使得 ，此时; 如图5，在BC另一侧，当 时， ， 过C点作，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：， ∴， 由勾股定理可得：且, 即，且； 解得：，; ∴ ∴ 设直线的函数解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为：， 联立抛物线解析式与直线的函数解析式，得： 解得：（与B点重合，故舍去），或， ∴， 综上可得，抛物线上存在点或，使得 ． 【变式训练】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【思路点拨】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 考点11：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【思路点拨】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【变式训练】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【思路点拨】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【规范解答】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 考点12：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值； (3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？ 【答案】(1)二次函数的“回旋”函数的解析式为； (2)，或，； (3)存在使得为矩形． 【思路点拨】（1）由新定义即可求解； （2）求出新函数的表达式为：，得到时，，再分类求解即可； （3）证明，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，，， ∴二次函数的“回旋”函数的解析式为． （2）解：的“回旋”函数为：， 由知，其顶点坐标为， 将该点代入得， 解得， 则函数的表达式为， 即时，， 当时， 当时，， 解得，则； 当时， 当时，， 解得，则； 综上，，或，． （3）解：如下图： 设点、、、的横坐标分别为：，，，，， ∴点的坐标为：且，，点的坐标为： 且，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设左侧抛物线的对称轴交轴于点， ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∵， ∴ 同理：， ∴， 即， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∴存在使得为矩形． 【变式训练】（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【思路点拨】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【规范解答】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 考点13：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【思路点拨】（1）在中，当时，，即，当时，，解得，即，由旋转的性质可得，，即可得解； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （3）过点作轴于，由勾股定理逆定理得出，从而可得，求出直线的解析式为，设点，再分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离； (3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点到直线的距离 (3)存在，点的坐标为或或 【思路点拨】（）求出直线的解析式，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，作于点，由平行线的性质可得，进而得到，设，则，可得，再根据锐角三角函数的定义解答即可求解； （）当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，可得；当点在轴下方时，分和两种情况，利用相似三角形和二次函数的性质解答即可求解； 【规范解答】（1）解：把代入，得， ∴ 把代入得，， ∴， ∴一次函数， 把代入，得， ∴ ∴， 把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的平行线交于点，作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等， 此时点与点关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ②当点在轴下方时， （）当时，，则， 由勾股定理得，， 又∵， ∴， 过点作轴于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ，，，， ∴， ，， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在抛物线上， ， 根据点的对称性，当点在第三象限时，符合条件的点， ∴点的坐标为：或； （Ⅱ）当时，如图， 则直线， ∴可设直线的表达式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式，得， 解得或（不合，舍去） ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，为顶点的三角形与不相似，故舍去， 同理的对称点同样不合； 综上，点的坐标为或或． 考点14：其他问题(二次函数综合） 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，已知抛物线的顶点的坐标为，以原点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的另两个交点为，且点在点的左侧，有一个内角为． (1) (2)如图②，若与直线平行，点的坐标为，点的坐标为，点都在抛物线上，且点位于直线的两侧，交于点交于点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】（1）抛物线对称轴为轴，且开口向下，求出的值，如图所示，可得三角形为等边三角形，确定出的坐标，代入抛物线解析式即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为），由与已知直线平行，得到值相同，表示出直线解析式，进而表示出，，，，求出与的值相等，即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线过点， ． 抛物线的对称轴为轴，且开口向下， ． 以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线交于另两点，连接，如图所示， 为等腰三角形． 又有一个内角为， 为等边三角形，且． 设线段与轴的交点为，则有，且， ． 点在点的左侧， 点的坐标为． 点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的表达式为． （2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为）． 与直线平行， 设直线的解析式为，则有，即， 直线的解析式为． 将代入， 解得或， ，即． 点位于直线的两侧，且， ， ， ，，． 在中，， 在中， ． 故． 【变式训练】（2025·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、待定系数法求函数表达式等，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明点M，N关于直线对称，则，则图象G的最高点纵坐标为4，即可求解； （3）要使图象G在直线上方，即对于，都有，即，进而求解． 【规范解答】（1）解：将点和代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：将化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线． ， 点M，N关于直线对称，． 图象G的最高点纵坐标为4， 将代入，得， ． （3）解：由题意知直线的方程为， 当时，， 要使图象G在直线上方，即对于，都有， 即． 由二次函数图象解不等式，得， 要在内， 解得． ， ． 1．（2024·全国·中考真题）如图，嘉淇从斜坡上的点O处抛出一个沙包，沙包运动路线的表达式为，若斜坡的坡度，则沙包在斜坡的落点A的垂直高度是 ． 【答案】 【思路点拨】先根据坡度定义设出点坐标，再结合抛物线过原点确定的值，最后求出点纵坐标．本题主要考查了二次函数的应用以及坡度的定义，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【规范解答】解：∵ 斜坡的坡度， ∴ 设点的坐标为（）． ∵ 抛物线过原点， ∴ ， 解得或． ∵ 抛物线开口向下， ∴ ， ∴ ， ∴ 抛物线的表达式为． ∵ 点在抛物线上， ∴ ， 解得（舍去）或． 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）2023年5月28日，中国东方航空使用中国商飞全球首架交付的大型客机，执行航班，开启这一机型全球首次商业载客飞行，该航班标志若的“研发、制造、取证、投运”全面贯通．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 由题意得，由可知当时，s有最大值，然后根据题意作答即可． 【规范解答】解：， ， ∴当时，s有最大值， ∵飞机滑行到最大距离时停下，此时滑行的时间最长， ∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒． 故答案为：18． 3．（2024·黑龙江·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【规范解答】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【规范解答】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 5．（2024·湖北·中考真题）问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 【答案】（1）（2）（3）绿化改造所需费用至少为 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键． （1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案； （2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题； （3）由二次函数的性质求出矩形面积的最大值即可解决问题； 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∵ ∴， ∴和的相似比是， ∴与的高之比等于相似比是． 故答案为：． （2）作于N，交于M， ∵， ∴， ∴， ∵的面积，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大； （3）延长交于E，作于F，交于点G，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 当矩形的面积最大时，费用最小， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为，则花卉的面积最小值为， 所以，绿化改造所需费用至少为元 基础夯实 1．（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【规范解答】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【规范解答】解：设窗的高度为，宽为， 故， ∴． ∴当时，S最大值为． 故选：C． 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数、二次函数性质解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【规范解答】解：设点坐标为，则， ， 由三角形面积公式可得：， 整理得， 根据二次函数性质可知，当时，三角形面积有最大值，最大值为． 故选：C． 4．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 【答案】8 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可． 【规范解答】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得， 代入函数关系式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 由题意可设，代入抛物线的解析式，得：， ∴， ∴， ∴（米）， ∴最低水位与最高水位之间的距离为8米． 故答案为：8． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 【答案】 10 3 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用．由图可知，要求的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可；要求铅球推出的过程中最大高度，即求得顶点的纵坐标即可． 【规范解答】解：将代入， ， 整理得：， ， 解得：或（舍去） ∴铅球推出的水平距离的长是． ∵， ∴顶点的坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是． 故答案为：10；3． 6．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 设，证明，可得，即可求解． 【规范解答】解：设， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1． 故答案为：1 7．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则 ，记的面积为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征∶二次函数图像上点的坐标满足其解析式，也考查了三角形面积公式．先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到． 【规范解答】解：当时， ，则，所以； 当时， ，则，所以， 当时，，则，所以； 同样方法可得，所以． 故答案为： ， 8．（24-25九年级下·四川自贡·月考）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【规范解答】（1）解：依题意，得， 整理得 解得：，， 将代入得， 将代入得， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 9．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)，w的最大值为338；最小值为240 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到答案； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，即可求得w；由二次函数的性质可求得w的最大值和最小值． 【规范解答】（1）根据题意，得． 与x之间的函数关系式为，其中且为正整数. （2）根据题意，得,其中且为正整数. ，抛物线的开口向下． 当时，w取最大值，． 抛物线的对称轴为直线，且， ∵ ， 当时，取最小值，． 与x之间的函数关系式为，w的最大值为338，最小值为240． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 【答案】见详解 【思路点拨】本题考查了新定义，判别式的应用，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，整理得，再求出判别式，即，即可作答． 【规范解答】解：∵直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为 ∴ ∴ 整理得 ∴ ∴直线L与抛物线P只有一个交点， ∴无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切 培优拔高 11．（2024·安徽·二模）如图，在矩形中，，，动点E，F分别从A，B两点同时出发，绕矩形的边做逆时针运动，若动点E，F的运动速度都为，当F点运动到D点时，两点同时停止运动．设点E的运动时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），则能大致刻画y与x的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查求函数解析式，函数图象．根据点E和点F的运动情况，分三种情况：①时，②时，③时，分别求出的面积，得到y关于x的函数关系式，即可判断其图象． 【规范解答】解：点E从点A运动到点B的时间为，从点B运动到点C的时间为， 点F从点B运动到点C的时间为，从点C运动到点D的时间为， ∴时，点E在上，点F在上， 时，点E在上，点F在上， 时，点E在上，点F在上． ①时，点E在上，点F在上，如图， 此时，， ∴， ∴y与x的函数关系式为； ②时，点E在上，点F在上，如图， 此时， ∴， ∴y与x的函数关系式为； ③时，点E在上，点F在上，如图， 此时，， ∴ ∴y与x的函数关系式为； 综上所述，y与x的函数关系式为，其函数图象为 ． 故选：D 12．（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【规范解答】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 13．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰直角中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动，过点作交直角边或于点，以为边向右作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰直角重合部分的面积为下列图象能反映与之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据题意将点分为三段，点在线段时，且点未到达线段；点向右运动截止于点重合前，且点位于线段右侧；点在线段上；分别求解即可．本题主要考查等腰三角形的性质和正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是分类讨论． 【规范解答】解：点运动的路程为， ， 由题意可得：， ， 由题意可得：， 当点在线段时，如图， 则， ，， ， ， ， ， 此时， 那么，； 若点向右运动截止于点重合前，如图， 则，，， ，， 则； 若点在线段上时，如图，则，， ， 故选：． 14．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【规范解答】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 15．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线（其中b为常数）的顶点为A． （1）设点A到x轴的距离为h，则h的最小值为 ． （2）若直线与抛物线交于A，B两点，且，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 4 【思路点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合运用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的顶点坐标求出顶点A的纵坐标，即可得h的最小值，再根据且A与B在直线上，得出点关于点对称，进而画出图象即可求解． 【规范解答】解：（1）是拋物线的顶点， 点A到x轴的距离为， ， 的最小值为4． （2）抛物线的顶点为A， ， ， 点在直线上，， 点关于点对称， ， 点在抛物线上， ， 解得， 当时， ，如图（1）， 观察图象可知当，即抛物线在直线下方时，取值范围为． 当时，，如图（2）， 观察图象可知当，即抛物线在直线下方时，取值范围为． 综上可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【规范解答】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 17．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图所示，点A是抛物线：上的一点，过点A作垂直于x轴和抛物线： （）交于点B，过点A作轴分别与y轴和抛物线交于点C，D，过点B作轴分别与y轴和抛物线交于点E，F．下列结论：①若，则点D的坐标为；②F是的中点；③；④．其中正确的是 （写序号）． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 逐一分析判定，即可解答． 【规范解答】解：设点， ∵， ∴， ∴， ∵轴，点D在抛物线上， ∴点D坐标为， ①正确， ∵， ∴，③错误． ∵，点F坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，④正确． 故答案为：①②④． 18．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路点拨】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 19．（2025·甘肃天水·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． (1)写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ (2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (3)商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) 每个定价为70元，应进货200个 (3) 每个定价65元，获得的最大利润是6250元 【思路点拨】 本题主要考查一元二次方程，二次函数的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．（1）根据利润售价进价直接列式； （2）根据总利润每个利润销售量列方程，解方程后选择进货量较小的解； （3）将总利润表示为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 【规范解答】（1）解：每个进价为40元，销售定价为50元，设每个定价增加x元， ∴每个获得的利润为（元）； （2）解：设每个定价增加元，则销售量为个， 总利润为， 化简得，即， 两边除以得， 解得或， 当时，进货量（个）， 当时，进货量（个）， ∵要使进货量较少， ∴取， 定价为元，进货200个； （3）解：总利润， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 定价为元， 最大利润元． 20．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，有一抛物线（为常数）的顶点为点，交轴于点． (1)若点； ①求出点坐标． ②在抛物线对称轴上有一点，抛物线对称轴右侧图像上有一点．连接，和互补，且．求点、的坐标． (2)当时，向下平移抛物线，使点落在轴正半轴上点处，点平移到点处．连接，线段上有一点，过点作垂线交抛物线对称轴右侧图像于点．求的取值范围． 【答案】(1)①点坐标为；②点，点； (2)． 【思路点拨】（1）①根据抛物线顶点坐标求出、的值，进而得到抛物线解析式，再求与轴交点的坐标．②先确定抛物线对称轴，根据角的关系得到角相等，设出点坐标，利用三角函数和勾股定理求出点、坐标． （2）先求出平移后相关点的坐标，得到直线和的解析式，设出点坐标，进而得到点坐标，求出和的长度表达式，再求其比值的取值范围． 【规范解答】（1）解：①∵抛物线的顶点为， ∴，， ∴， ∴抛物线解析式为， 令，则， ∴点坐标为． ②过作轴于点，过作于点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∵和互补，且为锐角， ∴，为钝角， ∴点在顶点的上方， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ， （）， ∴，， ∵点在抛物线对称轴右侧图像上， ∴点的横坐标为， 把代入得， ∴点， 当时，， ∴点． （2）解：设点， 当时，原抛物线为，顶点， 向下平移抛物线，使点落在轴正半轴上点处，则， 当时，， 点， ∴平移后点即， ∴，， 过点作，交于，则， ∵， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线为， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点， 把点代入直线为，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立， ， ， ， ， 解得， ∵点在抛物线对称轴右侧图像上， ∴， 则， ， ， ， 根据式子的特点，随的增大而增大， 当时，，当时，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 二次函数的应用 【知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：利用二次函数解决利润问题 2 知识点梳理02：利用二次函数求图形面积的最值 2 知识点梳理03：利用二次函数解决抛物线形问题 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 2 考点2：拱桥问题(实际问题与次函数) 4 考点3：销售问题(实际问题与二次函数) 6 考点4：投球问题(实际问题与二次函数) 7 考点5：喷水问题(实际问题与次函数) 8 考点6：增长率问题(实际问题与二次函数) 9 考点7：其他问题(实际问题与次函数) 9 考点8：线段周长问题(二次函数综合) 11 考点9：面积问题(二次函数综合) 12 考点10：角度问题(二次函数综合) 14 考点11：特殊三角形问题(二次函数综合) 16 考点12：特殊四边形(二次函数综合) 17 考点13：相似三角形问题(二次函数综合) 19 考点14：其他问题(二次函数综合） 20 中考真题 实战演练 21 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 26 知识点梳理01：利用二次函数解决利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系： 利润=售价-进价； 总利润=单件商品的利润×销售量． 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题． 知识点梳理02：利用二次函数求图形面积的最值 （1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． （2）应用二次函数解决实际问题的基本思路： ①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；⑤检验结果的合理性． 知识点梳理03：利用二次函数解决抛物线形问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题． 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线在x轴上，点A的坐标为，与交于点D．点P从点O出发，沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，过点P作，分别交边于点E，F；同时点Q从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接．设运动时间为． (1)若点A在线段的垂直平分线上，求t的值． (2)连接，设四边形的面积为y，求y与t之间的函数关系式． (3)连接，是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点2：拱桥问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（2025·山西临汾·二模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 【变式训练】（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 考点3：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）丽江古城某客栈客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满．当每套房间每天的定价每增加10元时，就会有一套房间空闲．对有游客入住的房间，客栈需对每套房间每天支出20元的各种费用．设每套房间每天的定价增加x元．求： (1)房间每天的入住量y（套）关于x（元）的函数关系式； (2)该客栈每天的房间收费总额z（元）关于x（元）的函数关系式； (3)该客栈客房部每天的利润W（元）关于x（元）的函数关系式；当每套房间的定价为每天多少元时，W有最大值？最大值是多少？ 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 考点4：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·山西朔州·月考）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【变式训练】（2025·河北·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 考点5：喷水问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（2025·陕西西安·二模）在一次消防实战演练中，一栋高楼内距地面32米的A处和38米的B处出现火情．消防员在C点处喷水灭火，水流从C点射出恰好能到达A处，且水流的最大高度为40米，水流最高点到高楼的水平距离为8米．以高楼底部为原点建立平面直角坐标系，水流高度y（米）与出水点到高楼的水平距离x（米）满足二次函数关系． (1)求第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)A处火源熄灭后，消防员前进一定的距离到D点进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线形状完全相同，若使水流刚好到达B处，消防员应至少前进多少米？ 【变式训练】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）某公园有一个直径为的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，如图，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系(仅考虑截面在第一象限部分)． (1)若喷出的水柱在距水池中心处达到最高，且高度为，求水柱所在抛物线的函数解析式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ 考点6：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024九年级下·上海·专题练习）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 考点7：其他问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（2025·陕西商洛·三模）如图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以点为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，左侧轨道抛物线的顶点在轴上，与轴交于点，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的解析式； (2)在轨道（抛物线）距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下一个轨道抛物线．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同（即抛物线由抛物线向右平移得到），求的长． 【变式训练】（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 考点8：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，拋物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3) 将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 考点9：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·海南海口·月考）2025年春晚舞台运用了大量、全息投影等高科技手段打造沉浸式视觉体验．假设舞台有一个虚拟的动态光影图案，其轮廓曲线可以用函数来近似表示，如图，已知抛物线（是常数）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出点坐标； (3)点是轴下方的抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接，设所得的面积为． ①求关于的函数解析式； ②探究：若的面积为整数，则这样的共有多少个． 【变式训练】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 考点10：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图，直线经过点，为直线上的一个动点，且位于轴的下方，为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以为邻边构造矩形，求矩形的周长的最小值． (3)如图，设抛物线的顶点为，在（）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 考点11：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【变式训练】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 考点12：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值； (3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？ 【变式训练】（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 考点13：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离； (3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点14：其他问题(二次函数综合） 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，已知抛物线的顶点的坐标为，以原点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的另两个交点为，且点在点的左侧，有一个内角为． (1) (2)如图②，若与直线平行，点的坐标为，点的坐标为，点都在抛物线上，且点位于直线的两侧，交于点交于点，连接．求证：． 【变式训练】（2025·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 1．（2024·全国·中考真题）如图，嘉淇从斜坡上的点O处抛出一个沙包，沙包运动路线的表达式为，若斜坡的坡度，则沙包在斜坡的落点A的垂直高度是 ． 2．（2024·上海·中考真题）2023年5月28日，中国东方航空使用中国商飞全球首架交付的大型客机，执行航班，开启这一机型全球首次商业载客飞行，该航班标志若的“研发、制造、取证、投运”全面贯通．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒． 3．（2024·黑龙江·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024·湖北·中考真题）问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3） 某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 基础夯实 1．（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 4．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 6．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 7．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则 ，记的面积为，则 ． 8．（24-25九年级下·四川自贡·月考）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 9．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 培优拔高 11．（2024·安徽·二模）如图，在矩形中，，，动点E，F分别从A，B两点同时出发，绕矩形的边做逆时针运动，若动点E，F的运动速度都为，当F点运动到D点时，两点同时停止运动．设点E的运动时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），则能大致刻画y与x的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 12．（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰直角中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动，过点作交直角边或于点，以为边向右作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰直角重合部分的面积为下列图象能反映与之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 15．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线（其中b为常数）的顶点为A． （1）设点A到x轴的距离为h，则h的最小值为 ． （2）若直线与抛物线交于A，B两点，且，则当时，x的取值范围是 ． 16．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 17．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图所示，点A是抛物线：上的一点，过点A作垂直于x轴和抛物线： （）交于点B，过点A作轴分别与y轴和抛物线交于点C，D，过点B作轴分别与y轴和抛物线交于点E，F．下列结论：①若，则点D的坐标为；②F是的中点；③；④．其中正确的是 （写序号）． 18．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 19．（2025·甘肃天水·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． (1)写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ (2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (3)商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 20．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，有一抛物线（为常数）的顶点为点，交轴于点． (1)若点； ①求出点坐标． ②在抛物线对称轴上有一点，抛物线对称轴右侧图像上有一点．连接，和互补，且．求点、的坐标． (2)当时，向下平移抛物线，使点落在轴正半轴上点处，点平移到点处．连接，线段上有一点，过点作垂线交抛物线对称轴右侧图像于点．求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $