专题04 平面直角坐标系（考点清单，2考点梳理+6题型解读）七年级数学上学期新教材人教版五四制

该初中数学知识清单聚焦“平面直角坐标系”专题，涵盖坐标系概念、点的坐标特征、坐标表示平移与位置等核心内容，构建了从基础概念到实际应用的层级化学习支架。 清单按“考点清单+题型解读”系统呈现，2大考点梳理概念（如标注坐标轴上点易错点），6类题型覆盖选择、填空、解答（含规律探究等综合题），通过例题变式培养推理意识，网格图题发展几何直观，助力学生自主突破重难点，教师可直接用于分层教学。

专题04 平面直角坐标系（考点清单，2考点梳理+6题型解读） 清单01 用坐标描述平面内点的位置 1、平面直角坐标系 1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。 一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴成为纵轴或y轴。 2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。 注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。 3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。 注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。 ②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。 ③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。 2、点的坐标特点 1）坐标P（a，b） 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0； 原点：a=0，b=0 x轴上 y轴上 2）①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。 ②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。 3）点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数； 点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数； 点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ； 清单02 坐标方法的简单应用 1．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 2、用坐标表示平移 1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。 2）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 3）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【考点题型一】平面直角坐标系（） 【例1-1】（23-24七年级下·全国·期末）在下列所给出的点中，一定在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）若点在x轴上，则 ． 【例1-3】（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ． 【例1-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数． (1)求点，的坐标； (2)点在第三象限，且到轴的距离为1，请在正方形网格图中建立适当的平面直角坐标系，画出三角形，并求出三角形的面积． 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·期末）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期末）已知点在轴上，则点的坐标是 ． 【变式1-3】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，则m的值为______； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？ 【变式1-4】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为． (1)当时，　　； (2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标． 【变式1-5】（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B均在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，．    (1)请在图中建立平面直角坐标系； (2)若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上的一点，则_____，点E的坐标为_____． 【考点题型二】用坐标表示位置（） 【例2-1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）下列描述，能确定具体位置的是（    ） A．东经，北纬 B．教室第2排 C．北偏东 D．学校附近 【例2-2】（23-24七年级下·吉林松原·期末）七巧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏.它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．    【变式2-1】（24-25七年级下·全国·期末）下列表述中，能确定具体位置的是（   ） A．小明家在建设路上 B．小华坐在电影院的第2排 C．北京市位于东经 D．学校在小林家北偏东，距离800米的方向上 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 【变式2-3】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图，是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置表示为，实验室的位置表示为． (1)请你建立适当的平面直角坐标系并写出食堂、图书馆的坐标； (2)已知办公楼和教学楼，其中轴，且，轴，且，请你求出两点的坐标． 【考点题型三】用坐标表示平移（） 【例3-1】（24-25七年级下·全国·期末）小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，． (1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； (2)写出激流勇进点的坐标为_______； (3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标． 【例3-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，，请按下列要求操作： (1)请在图中画出 (2)将向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，在图中画出，并直接写出的坐标 【变式3-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出、、的坐标． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【考点题型四】坐标系中求几何图形的面积（） 【例4】（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把平移后，三角形内任意一点的对应点为． (1)画出平移后的图形； (2)平移后得到三角形顶点的坐标分别为：________；________；________； (3)四边形的面积是________． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为． (1)点的坐标为 ；点的坐标为 ． (2)①画出三角形； ②求出三角形的面积． 【变式4-2】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是． (1)画出平移后的三角形并写出，的坐标； (2)写出由三角形平移得到三角形的过程； (3)求出三角形的面积． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且． (1)求三角形平移的距离； (2)将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积． 【变式4-4】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【考点题型五】坐标系中点的坐标规律的探究（） 【例5】（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A．（1012，1013） B．（1013，1012） C．（1012，1012） D．（1013，1013） 【变式5-5】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五跳动到点，第六次跳动到点按这样的跳动规律，点的纵坐标是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式5-6】（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．    【变式5-7】（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 【变式5-8】（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ． 【考点题型六】坐标系中最值问题（） 【例6-1】（22-23七年级下·浙江台州·期末）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点，则n的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【例6-2】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 【例6-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． (1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； (2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 【变式6-1】（23-24七年级下·浙江金华·期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（    ） A．25 B．30 C．36 D．48 【变式6-2】（22-23七年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为 ， ． 【变式6-3】（23-24七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的较大值为点，的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定． (1)已知，， ① ； ②点是坐标系内一动点，当时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点坐标； (2)已知点，点，当时，的最小值是 ，的最大值是 ； (3)已知点，点，点在线段上，点的坐标是，点向右平移1个单位长度得到点，对于线段上任意一点，存在点满足，直接写出的取值范围． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系（考点清单，2考点梳理+6题型解读） 清单01 用坐标描述平面内点的位置 1、平面直角坐标系 1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。 一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴成为纵轴或y轴。 2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。 注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。 3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。 注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。 ②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。 ③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。 2、点的坐标特点 1）坐标P（a，b） 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0； 原点：a=0，b=0 x轴上 y轴上 2）①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。 ②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。 3）点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数； 点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数； 点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ； 清单02 坐标方法的简单应用 1．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 2、用坐标表示平移 1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。 2）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 3）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【考点题型一】平面直角坐标系（） 【例1-1】（23-24七年级下·全国·期末）在下列所给出的点中，一定在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第二象限内点的坐标符号进行判断即可． 【详解】解：A、在第一象限，不符合题意； B、由，则一定在第二象限，符合题意； C、时，则在第二象限，时，则在第三象限，时，则在x轴上，故不一定在第二象限，不符合题意； D、在第四象限，不符合题意； 故选：B． 【例1-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）若点在x轴上，则 ． 【答案】0 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查坐标的特征，根据x轴上点的纵坐标为求解即可． 【详解】解：点在x轴上，则， 故答案为：． 【例1-3】（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，先根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解方程得到或，再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∵点P在第四象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例1-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数． (1)求点，的坐标； (2)点在第三象限，且到轴的距离为1，请在正方形网格图中建立适当的平面直角坐标系，画出三角形，并求出三角形的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析；4 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、坐标系中描点 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相反数的定义，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，根据相反数的定义，建立方程，求出a的值． （1）先根据点的横坐标与点的横坐标互为相反数，得出，求出，然后得出答案即可； （2）先求出点的坐标为，然后根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，画出，利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：点的横坐标与点的横坐标互为相反数， ， 解得， ，， 点，的坐标分别为，. （2）解：点在第三象限，且到轴的距离为1， ， 由（1）得，， ， 点的坐标为， 建立平面直角坐标系并画出的三角形，如图所示.（画法不唯一） 三角形的面积为： 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·期末）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标的相关知识，用到的知识点为：轴上点的横坐标为0． 根据轴上的点到轴的距离为3，可得点的纵坐标为，进而根据轴上点的横坐标为0可得具体坐标． 【详解】解：轴上的点到轴的距离为3， 点的纵坐标为， 轴上点的横坐标为0， 点的坐标为或， 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期末）已知点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标的特征，解决本题的关键是记住y轴上点的特点为横坐标为0．在y轴上，那么横坐标为0，就能求得m的值，求得m的值后即可求得点A的坐标． 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标是0， ， 解得， ，点的纵坐标为2029， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式1-3】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，则m的值为______； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？ 【答案】(1)3 (2)第二象限 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了y轴上坐标的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据在y轴上的坐标，横坐标为0，计算出m，即可得到P的坐标； （2）根据P的纵坐标比横坐标大6，列出等式，求出m，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大6， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点P在第二象限． 【变式1-4】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为． (1)当时，　　； (2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键； （1）由可求P点坐标，从而可得，，代入计算即可求解； （2）由平面直角坐标系的性质可得，，根据点P在第一象限，进而计算求解即可； 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴． 故答案为：5． （2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ，， ∵， ∴． ∵点P在第一象限， ∴ 当时，，解得， ∴． 【变式1-5】（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B均在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，．    (1)请在图中建立平面直角坐标系； (2)若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上的一点，则_____，点E的坐标为_____． 【答案】(1)见解析； (2)C，D两点见解析；C，D两点的横坐标不同，纵坐标相同；直线与轴平行； (3)3，． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形、坐标系中描点 【分析】（1）根据点A，B的坐标分别为，，点A向右2个单位，再向下1个单位得到原点；点B向左3个单位，再向下1个单位得到原点，根据原点位置画出平面直角坐标系即可； （2）根据C，D两点的坐标分别为，，画出C，D两点，描述坐标异同，判断直线与x轴位置关系即可； （3）根据点为直线上的一点，C，D两点的坐标分别为，，得，求出的值，再计算的值，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）点A，B的坐标分别为，， 点A向右2个单位，再向下1个单位得到原点；点B向左3个单位，再向下1个单位得到原点，根据原点位置画出平面直角坐标系． 平面直角坐标系如图所示：      （2）根据C，D两点的坐标分别为，，画出C，D两点，如图所示：   C，D两点的横坐标不同，纵坐标相同；由图可知直线与轴平行． （3）点为直线上的一点，C，D两点的坐标分别为，， ， ， ，点E的坐标为， 故答案为3，． 【点睛】本题考查了坐标与图形、画平面直角坐标系、求点的坐标，正确作出平面直角坐标系、列式计算是解题的关键． 【考点题型二】用坐标表示位置（） 【例2-1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）下列描述，能确定具体位置的是（    ） A．东经，北纬 B．教室第2排 C．北偏东 D．学校附近 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置、根据方位描述确定物体的位置、用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置、方向角等知识点，掌握确定具体位置 的方法成为解题的关键． 根据用坐标表示位置、方向角和距离确定具体位置即可解答． 【详解】解：A．东经，北纬是用经度、纬度来确定物体的位置．故本选项符合题意； B. 教室第2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C. 北偏东没有说明距离，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D. 学校附近，不能确定具体位置，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2-2】（23-24七年级下·吉林松原·期末）七巧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏.它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示：    ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·期末）下列表述中，能确定具体位置的是（   ） A．小明家在建设路上 B．小华坐在电影院的第2排 C．北京市位于东经 D．学校在小林家北偏东，距离800米的方向上 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了确定具体位置．熟练掌握坐标法，方位法是解题的关键． A、B、C中，没有具体到一个点，不能确定具体位置；D中，小林家北偏东，距离800米的方向上，是确定的一点，故能确定具体位置． 【详解】A. 小明家在建设路上，不能确定具体位置； B. 小华坐在电影院的第2排，不能确定具体位置； C. 北京市位于东经，不能确定具体位置； D. 学校在小林家北偏东，距离800米的方向上，能确定具体位置． 故选：D． 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 【答案】南偏西， 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 【变式2-3】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图，是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置表示为，实验室的位置表示为． (1)请你建立适当的平面直角坐标系并写出食堂、图书馆的坐标； (2)已知办公楼和教学楼，其中轴，且，轴，且，请你求出两点的坐标． 【答案】(1)见解析，食堂；图书馆 (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，地理位置与坐标的确定，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，再根据地理位置标坐标； （2）根据平面直角坐标系的特点，数形结合分析即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： 食堂；图书馆； （2）解： 轴，且， 点的坐标为或， 轴，且， 点的坐标为或． 【考点题型三】用坐标表示平移（） 【例3-1】（24-25七年级下·全国·期末）小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，． (1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； (2)写出激流勇进点的坐标为_______； (3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、平移(作图)、写出直角坐标系中点的坐标、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查坐标与图形及作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质． （1）根据旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，，建立平面直角坐标系； （2）利用所建立的直角坐标系写出激流勇进点的坐标即可； （3）由平移的性质画出线段，并直接写出点和点的坐标； 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图． （2）解：激流勇进点的坐标为， 故答案为：； （3）解：画出线段如图，． 【例3-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，，请按下列要求操作： (1)请在图中画出 (2)将向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，在图中画出，并直接写出的坐标 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，，， 【知识点】坐标与图形、平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变换--平移： （1）根据点的坐标画出即可； （2）根据平移的性质，画出，进而写出的顶点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 由图可知：，，． 【变式3-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 【详解】解：∵点在经过此次平移后的对应点为， ∴的平移规律为：向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，， ∴， 故选B． 【变式3-2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出、、的坐标． 【答案】画图见解析，，， 【知识点】坐标与图形、平移(作图)、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题主经考查了网格作图．熟练掌握平移作图，平移坐标变换，是解决问题的关键． 把点A、B、C分别向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点、、，连接，，，即得，坐标分别为：，，． 【详解】解：把点A、B、C分别向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点、、，连接，，，得到， 即为所求作， 、、的坐标分别为：，，． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 【考点题型四】坐标系中求几何图形的面积（） 【例4】（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把平移后，三角形内任意一点的对应点为． (1)画出平移后的图形； (2)平移后得到三角形顶点的坐标分别为：________；________；________； (3)四边形的面积是________． 【答案】(1)作图见解析 (2)，， (3) 【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图平移变换、网格中求图形面积，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，熟练掌握平移作图及平移性质是解决问题的关键． （1）根据点对应点为，右移3个单位长度，下移2个单位长度，进而可以画出平移后的图形； （2）结合（1）即可得到三角形各顶点的坐标； （3）根据网格即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：把平移后，三角形内任意一点的对应点为， 将向右移3个单位长度，下移2个单位长度，即可得到平移后的图形，如图所示： 为所作； （2）解：如图所示： ，，； 故答案为：，，； （3）解：如图所示： 四边形的面积， 故答案为：18． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为． (1)点的坐标为 ；点的坐标为 ． (2)①画出三角形； ②求出三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析②8.5 【知识点】坐标与图形、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查坐标与平移： （1）根据题意，确定点的平移规则，进而求出点，的坐标即可； （2）①根据平移规则，画出图形即可；②分割法求出三角你的面积即可． 【详解】（1）解：∵，经平移后对应点为， ∴平移规则为：先向左平移6个单位，再向上平移2个单位， ∵， ∴，即：； 故答案为： （2）①如图，三角形为所作； ②的面积． 【变式4-2】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是． (1)画出平移后的三角形并写出，的坐标； (2)写出由三角形平移得到三角形的过程； (3)求出三角形的面积． 【答案】(1)图见解析，， (2)先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【知识点】平移(作图)、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积 【详解】（1）如图所示，即为所求： ∴，； （2）先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； （3）如图所示： ， 答：的面积是． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且． (1)求三角形平移的距离； (2)将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积． 【答案】(1)5 (2)见解析，14 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，确定平移距离，利用网格求面积，准确确定平移方式为解题关键． （1）先确定出点A的坐标，再求平移距离即可； （2）由平移方式作图，再利用网格求面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得． 点的坐标为， 平移的距离为； （2）三角形和三角形如答图所示． 设线段平移至的过程中扫过的面积为， 则． 【变式4-4】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【知识点】坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）分类讨论，根据点在点左边或者右边，两种情况，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， ，， ， ， 即； 当点在点左边时，如图， ，， ， ， 即； （3）解：当点在轴正半轴时， ， ， ， ①点在点右边，如图， 可得， 设， 可得方程， 解得， ； ②点在点左边，如图，连接， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ； 当点在轴负半轴时， ③点在点左边，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ； ④点在点右边，如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为，，． 【考点题型五】坐标系中点的坐标规律的探究（） 【例5】（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内， ， 点在第三象限， ，，…， ． 故选：D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象与点坐标可知，每跳动次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， …… 依此类推，每跳动次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现， ∵， ∴，即， 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律，根据已知点的坐标表示出第n个点的坐标，得出坐标的规律，然后求得点的坐标即可． 【详解】解：观察偶数项的坐标规律：， ，，……， 可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2， ∵2024为偶数， ∴的坐标为， 故选：C． 【变式5-3】（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键． 根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第4个点，则在y轴上，其非零坐标即横坐标为． 【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组， 第1组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，； 第2组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，； …… 以此类推，，则点是第506组的第4个点，则在轴上，其非零坐标即横坐标为1012， 故点的坐标是， 故选：C． 【变式5-4】（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A．（1012，1013） B．（1013，1012） C．（1012，1012） D．（1013，1013） 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律． 分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2024与2的商和余数，继而得解． 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， 则， ∴第2024次的坐标是：， 故选C． 【变式5-5】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五跳动到点，第六次跳动到点按这样的跳动规律，点的纵坐标是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据所给运动方式发现点的横坐标为，且纵坐标按1，0，，，0，2，0循环出现是解题的关键．根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：根据动点的运动方式可知， 第一次从原点跳动到点， 第二次跳动到点， 第三次跳动到点， 第四次跳动到点， 第五跳动到点， 第六次跳动到点， ， 由此可见，纵坐标按2，1，1，，0，循环出现， 又因为余4， 所以点的纵坐标为， 故选：D． 【变式5-6】（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．    【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 第4次运动到点，第5次接着运动到点，， 横坐标为运动次数，经过第2027次运动后，动点的横坐标为2027， 纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， 经过第2027次运动后，动点的纵坐标为：余3， 故纵坐标为四个数中第3个，即为2， 经过第2017次运动后，动点的坐标是：， 故答案为：． 【变式5-7】（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出一般规律是解题关键．由题意可知，第排最后一个数字为，进而得出第63排最后一个数字为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第排恰好排个数， 第排最后一个数字为， 当时，， 即第63排最后一个数字为， ， 2024在第排第8个数， 2024可用有序实数对表示为， 故答案为： 【变式5-8】（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键．根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【详解】解：根据题意，如图： 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始， ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 故答案为：． 【考点题型六】坐标系中最值问题（） 【例6-1】（22-23七年级下·浙江台州·期末）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点，则n的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】坐标与图形、实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据题意画出“马”从点P出发到点的路线，进而求解即可． 【详解】如图所示，当点P往右上角方向走“日”字时，n有最小值，    由图象可得，n的最小值为9． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标确定位置；能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键． 【例6-2】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 【答案】 2 【知识点】绝对值的几何意义、坐标与图形 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当时，，根据绝对值的几何意义，可知表示与直线之间的距离，当点在点时，距离最大，由此得解； （2）先求出当点A和到直线距离相等时，此时，有最大值，然后画图分析可知，当直线在直线上方时，点距离直线距离最大，由于点P不与点A重合，此时取不到最大值，当直线在直线下方时，当P与点B重合时可以取到最大值，由此得解． 【详解】解：（1）当时，，根据绝对值的意义，可知表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，距离最大，此时． （2）如图，直线， 此时，折线段上，点、距离直线的距离最大，都是， 当时，，表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，取得最大值， 如图：当直线，在直线上方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，由于P不与点A重合， 此时不存在最大值． 当直线，在直线下方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，此时存在最大值，即当在点处时取得最大值． 综上所述，，t存在最大值． 故答案为：①2；②． 【例6-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． (1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； (2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 【答案】(1)C、D、F (2)①，，，，，，，，，② 7 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形 【分析】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则． （1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”； （2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，即可得出结果． 【详解】（1）解：画图如下： ∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0，1，2，3，取值1，2，3，4，、取值0，1，2，3，4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点， ∴n的最大值为， 故答案为：7． 【变式6-1】（23-24七年级下·浙江金华·期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（    ） A．25 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】本题考查了利用坐标表示位置，几何变换的代数表示法，属于新定义型题目，解答本题需要同学们仔细审题，理解位置数是怎样规定的．根据，，且、都是整数，某生的位置数为8，可得出的最小值，在分别列出、为符合条件的整数时的值，从而得出答案． 【详解】解：，，， ， 又， ，即， ，，且、都是整数， 的最小值为10， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 即的最大值为25， 故选：A 【变式6-2】（22-23七年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为 ， ． 【答案】 3 5 【知识点】坐标与图形 【分析】首先求出点A和点B在x轴上，且，然后得到当点P到x轴的距离最小时，的面积取得最小值，此时点P在点M的正下方，当点P到x轴的距离最大时，的面积取得最大值，此时点P在点M的正上方，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵， ∴点A和点B在x轴上，且 ∵以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点， ∴当点P到x轴的距离最小时，的面积取得最小值， 此时点P在点M的正下方， ∵，半径为1， ∴此时的面积； 当点P到x轴的距离最大时，的面积取得最大值， 此时点P在点M的正上方， ∵，半径为1， ∴此时的面积； 综上所述，的面积的最小值和最大值依次为3，5． 故答案为：3，5． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的面积，根据题意判断三角形的面积是解题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的较大值为点，的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定． (1)已知，， ① ； ②点是坐标系内一动点，当时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点坐标； (2)已知点，点，当时，的最小值是 ，的最大值是 ； (3)已知点，点，点在线段上，点的坐标是，点向右平移1个单位长度得到点，对于线段上任意一点，存在点满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)的最大值为，最小值为； (3) 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）①直接利用定义计算即可；②先判断符合条件的A的位置，再结合图形解答即可； （2）设，当时，分两种情况讨论，结合新定义可得答案； （3）根据点的坐标特点分两种情况讨论；当在第四象限时，当在第二象限时，再进一步结合图形与新定义可得答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∴； ②当时， ∴满足条件的点如图所示； ∴满足条件的绝对距离最小时的点坐标为； （2）解：∵点，点，设， 当时， ①当，， 解得：或，， ∴或；， ∴的最大值为，最小值为； 当，时， 解得：或，； ∴或，； ∴的最大值为，最小值为； 综上：的最大值为，最小值为； （3）解：如图，当在第四象限时， 当时，满足条件， ∴此时，即， 如图，当在第二象限时， 由平移可得：， 此时满足条件， ∴，即， 综上：； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，坐标与图形，平移的性质，理解新定义的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $