数学一模突破卷03（天津专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 9[A][B][C[D] 2 [A][B][C][D] 6A]B][C]D] 4 3[A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 阙 4[A]B][C]D] 8A]B][C]D] 二、 填空题（每小题5分，共30分） 10 11. 12. 警 14. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) F D C G B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B A B A A D D D A 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．60 12． 13． 14． 2 15． 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分14分） 【解】（1）由余弦定理知： ∵在△中，，∴，即 ………………………………1分 又∵，∴.即 ………………………………3分 ∴； ……………………………4分 （2）由（1）知，则角为锐角， ∵，∴ ， …………………………6分 由正弦定理知：，则，， ∴ ……………………………8分 又∵，，， ∴； ………………………………10分 （3）由（2）知，， 所以，. ………………………………12分 所以. ………………………………14分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， ………………………………2分 又平面，平面， 所以平面； ………………………………3分 （2）由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， ……………………………4分 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：                    又，分别为的中点， 则， 所以； ……………………………6分 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， ………………………………8分 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； ………………………………10分 设平面与平面夹角的大小为， 所以， ………………………………11分 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； ………………………………12分 （3）由（2）平面的一个法向量为； 又， ………………………………13分 所以点到与平面的距离距为： . ……………………………15分 18．（本小题满分15分） 【解】（1）由椭圆短轴长为，得， ………………………………2分 又椭圆C左焦点到直线的距离为， 解得 ………………………………4分 则，故椭圆的方程是. ……………………………6分 （2）设直线，且 联立 则，即得， 且， ……………………………8分 则，过做垂直于长轴的直线为 令，得，同理可得； ……………………………10分 又，， ……………………………12分 则 ， 为定值9. ………………………………15分    19．（本小题满分15分） 【解】（1）设等差数列的公差为，则， 所以， ………………………………2分 因为，当时，解得， 当时，所以， 即，所以， ………………………………4分 即是以为首项，为公比的等比数列，所以. ……………………………5分 （2）因为， 当是奇数时，， ………………………………6分 当是偶数时，， ………………………………7分 则①， ②， ………………………………9分 ①-②得： 即 ， 化简得. ， 所以. ………………………………11分 （3）因为， 当时， ………………………………12分 当时，， 所以 ， ………………………………14分 因为，所以， 故. ………………………………15分 20．（本小题满分16分） 【解】（1）当时，， 所以， ………………………………1分 得到，又， ……………………………2分 所以在处的切线方程为． ……………………………3分 （2）由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ………………………………4分 ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ……………………5分 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， ………………………………6分 当，即时，在上单调递减， ，所以， ………………………………7分 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． ……………………………9分 （3）因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， ……………………10分 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明， 又因为，即证， ………………………………12分 令， 即， 注意到， 因为………………………14分 则在上单调递减，所以在恒成立， ………………15分 所以，即满足. ………………………………16分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在一项调查中有两个变量和，如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．函数的最小正周期为为图像的对称轴，则在区间上的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）． 12．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ． 13．从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 ；在事件发生的条件下，事件发生的概率 ． 14．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值． 15．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分14分）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为. (1)求； (2)若，求； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为 19．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且， (1)求的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． (3)求证：． 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在一项调查中有两个变量和，如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．函数的最小正周期为为图像的对称轴，则在区间上的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）． 12．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ． 13．从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 ；在事件发生的条件下，事件发生的概率 ． 14．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值． 15．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分14分）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为. (1)求； (2)若，求； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为 19．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且， (1)求的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． (3)求证：． 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，所以，故选B 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，从而，故充分性成立， 若，则，但不一定成立，如取，故必要性不成立， 所以，“”是“”的充分而不必要条件．故选：A． 3．在一项调查中有两个变量和，如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】散点图呈曲线，A中函数为线性函数，不合题意，排除选项； 由散点图可知整体呈增长态势，且增长速度变慢， 对B选项中函数，当时，函数为单调递增函数，且增长速度逐渐变慢，符合题意，故B正确； 对于C选项，当时，函数为开口向上的二次函数，增长先慢后快,不合题意, 当时，函数为开口向下的二次函数，增长先慢后快,不合题意,排除选项C； 对于D选项，函数为指数型函数，当时单调递增，且越增越快，不合题意， 当时为单调递减函数，不合题意，故排除D；故选：B 4．下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象关于原点对称，A正确； 对于B，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象关于轴对称，不关于原点对称，B错误； 对于C，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象不关于原点对称，C错误； 对于D，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象关于轴对称，不关于原点对称，D错误； 故选：A 5．设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 因此，.故选：A. 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】若，，则或，故A错误；若，，则的关系不确定， 故B错误；若，，则或相交，故C错误；故选D． 7．函数的最小正周期为为图像的对称轴，则在区间上的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， ， ，因此 ，当 时，， 即最大值与最小值的和为，故选：D. 8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为， 双曲线的两条渐近线方程为， 不妨设A在第一象限，则，，∵四边形ABCD的面积为2b， ∴由对称性可得，又，∴， 将代入，可得，∴， ∴双曲线的方程为1，故选：D． 9．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长到，到，到， 且，，， 连接，，，得到三棱柱，则． 延长，，则与相交于点．    因为，所以． 又， 所以，故．故选A. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 【答案】 【解析】. 11．在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）． 【答案】60 【解析】由题知的展开式的通项为， 令得，则常数项为． 12．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】设直线的方程为，联立抛物线的方程，消去y得， 所以. 设，所以. 因为所以 因为以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，所以, 即 所以直线的方程为 因为，所以点P到直线AB的距离为. 13．从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 ；在事件发生的条件下，事件发生的概率 ． 【答案】 / 【解析】根据题意，从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，有 种取法， 事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则事件的取法有种， 则， 事件的取法有种，则， ， 故． 14．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值． 【答案】 /0.5 2 【解析】由题意得 ， 故，故； 由三角形面积公式得，故， 其中， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时 ，故. 15．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】即有3个不同的实根，显然， 亦即函数与函数有三个不同的交点，作出图像如图所示， 由图像可知，的图像与函数的图像相切为临界， 联立与，可得， 由，解得或， 结合图像易知不符合题意， 则当时函数与函数有三个不同的交点 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分14分）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为. (1)求； (2)若，求； (3)求的值. 【解】（1）由余弦定理知： ∵在△中，，∴，即 ………………………………1分 又∵，∴.即 ………………………………3分 ∴； ……………………………4分 （2）由（1）知，则角为锐角， ∵，∴ ， …………………………6分 由正弦定理知：，则，， ∴ ……………………………8分 又∵，，， ∴； ………………………………10分 （3）由（2）知，， 所以，. ………………………………12分 所以. ………………………………14分 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 【解】（1）由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， ………………………………2分 又平面，平面， 所以平面； ………………………………3分 （2）由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， ……………………………4分 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：                    又，分别为的中点， 则， 所以； ……………………………6分 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， ………………………………8分 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； ………………………………10分 设平面与平面夹角的大小为， 所以， ………………………………11分 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； ………………………………12分 （3）由（2）平面的一个法向量为； 又， ………………………………13分 所以点到与平面的距离距为： . ……………………………15分 18．（本小题满分15分）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 【解】（1）由椭圆短轴长为，得， ………………………………2分 又椭圆C左焦点到直线的距离为， 解得 ………………………………4分 则，故椭圆的方程是. ……………………………6分 （2）设直线，且 联立 则，即得， 且， ……………………………8分 则，过做垂直于长轴的直线为 令，得，同理可得； ……………………………10分 又，， ……………………………12分 则 ， 为定值9. ………………………………15分    19．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且， (1)求的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． (3)求证：． 【解】（1）设等差数列的公差为，则， 所以， ………………………………2分 因为，当时，解得， 当时，所以， 即，所以， ………………………………4分 即是以为首项，为公比的等比数列，所以. ……………………………5分 （2）因为， 当是奇数时，， ………………………………6分 当是偶数时，， ………………………………7分 则①， ②， ………………………………9分 ①-②得： 即 ， 化简得. ， 所以. ………………………………11分 （3）因为， 当时， ………………………………12分 当时，， 所以 ， ………………………………14分 因为，所以， 故. ………………………………15分 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 【解】（1）当时，， 所以， ………………………………1分 得到，又， ……………………………2分 所以在处的切线方程为． ……………………………3分 （2）由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ………………………………4分 ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ……………………5分 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， ………………………………6分 当，即时，在上单调递减， ，所以， ………………………………7分 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． ……………………………9分 （3）因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， ……………………10分 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明， 又因为，即证， ………………………………12分 令， 即， 注意到， 因为………………………14分 则在上单调递减，所以在恒成立， ………………15分 所以，即满足. ………………………………16分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $