广东省深圳市福田某校2025-2026学年高三上学期第三次模拟考试数学试题

2025-2026学年度第一学期 高三年级 三模考试 数学学科试题 答题注意事项： 1.本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．3 2.已知复数满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 3.在△中，为边上的中线，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4.已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则△AOF的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 6.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 7．上世纪科学家提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 8．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．圆C与y轴相交 C．若与圆C相交，则 D．若圆C上的点关于直线的对称点仍在圆C上，则 10．如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．点到平面的距离为 C．平面平面 D．三棱锥的体积为3 11．△ABC的内角的对边分别为，已知，下列选项正确的是（   ） A． B．可能成立 C．△ABC可能是等腰三角形 D．△ABC面积的最大值为25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知各项均为正数的等比数列满足，，则 . 13．树人中学举办校运动会，甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者被随机地分配到篮球､羽毛球､乒乓球三个不同的体有场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者.已知有三位志愿者被分配到篮球馆服务，则甲没有被分配到篮球馆的概率为 . 14．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16.(本小题满分15分) 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 17、(本小题满分15分) 如图，在正方体中，棱长为2，是棱的中点，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求四棱锥和四棱锥重合部分的体积； (3)求平面C1PQ与平面PQC的夹角余弦值． 18、(本小题满分17分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为点，若不过点D的直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 19.(本小题满分17分) 设函数． (1)证明，其中k为整数； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． 高三年级 数学科试卷 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 高三年级 考试 数学学科试题及答案 答题注意事项： 1.本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．3 1．B 2.已知复数满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 3.在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 4.已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 6.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 7．1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 8．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．圆C与y轴相交 C．若与圆C相交，则 D．若圆C上的点关于直线的对称点仍在圆C上，则 【答案】ACD 10．如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．点到平面的距离为 C．平面平面 D．三棱锥的体积为3 【答案】AC 11．∆ABC的内角的对边分别为，已知，下列选项正确的是（   ） A． B．可能成立 C．可能是等腰三角形 D．∆ABC面积的最大值为25 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知各项均为正数的等比数列满足，，则 . 【答案】/ 13．树人中学举办校运动会，甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者被随机地分配到篮球､羽毛球､乒乓球三个不同的体有场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者.已知有三位志愿者被分配到篮球馆服务，则甲没有被分配到篮球馆的概率为 . 【答案】/0.4 14．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以的通项公式. （2）由（1）知， 所以 . 16.(本小题满分15分) 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 【详解】（1）所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共个，所以． （2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、、、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所以，，，， 的分布列为 所以． 17、(本小题满分15分) 如图，在正方体中，棱长为2，是棱的中点，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求四棱锥和四棱锥重合部分的体积； (3)求平面C1PQ与平面PQC的夹角余弦值． 【详解】（1）如图所示，取的中点，在上取，    因为是的中点，是的中点， 所以，且， 因为，， 所以，且， 所以，， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面平面， 所以平面； （2）如图，设，，取中点为，的中点为， 由正方体性质可知，点为正方体的中心， 所以四棱锥和四棱锥重合的几何体为四棱锥和三棱柱形成的组合体．   ， ； （3）以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    有，，，，，， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，即， 设平面C1PQ与平面PQC的夹角为， ， 所以平面C1PQ与平面PQC的夹角的余弦值为． 18、(本小题满分17分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为点，若不过点D的直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为． 由已知，，即， 又，所以， 由，可得，所以， 因为的焦点在轴上，所以的标准方程是． （2）证明：由（1）知， 设， 将两边平方， 化简得， 所以， 即， 即． ①当直线垂直于轴时，且， 故，解得或（舍去）， 此时过点； ②当直线的斜率存在时，设， 联立方程， 得， 由， 得，且， 由， 得， 即． 将代入上式， 得， 即， 所以， 所以或， 当时，直线过点，不符合题意， 所以， 所以直线的方程为， 此时过点． 综上可知直线过定点． 19.(本小题满分17分) 设函数． (1)证明，其中k为整数； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． 【详解】（1）因为函数， 所以 ； （2）因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解，    故的一个极值点满足， 所以； （3）设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. 高三年级 数学科试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $