4.4数学归纳法（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.4数学到归纳法 题型一数学归纳法 题型二数学归纳法证明恒等式 基础达标题 题型三数学归纳法证明整除问题 数学归纳法 题型四数学归纳法与数列问题 能力提升题 题型一数列新定义问题 拓展培优题 基础达标题 题型一数学归纳法 1.(22-23高一下上海华东师范大学第二附属中学期末)用数学归纳法证明1+支+青+…十克<（口EN 且n>1),第一步要证的不等式是 2.(24-25高二上上海青浦高级中学利用数学归纳法证明不等式1+支+青+…十方<（知）(n≥2，且 n∈N)的过程，由n=k到n=k+1时，左边增加了() A.2k1项 B.2k项 C.k-1项 D.k项 3.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2×1×3×…×(2n-1),n∈N,n≥1"时， 从“n=k”变到”n=k+1”时，左边应增乘的因式是_ 题型二数学归纳法证明恒等式 1.(24-25高二上上海延安中学期中)已知等差数列{an}的首项为1，公差为d,前n项和为Sn若 a1=d=1,用数学归纳法证明：】 明=SnEN n≥ 2.是否存在常数a、b,使等式 1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+··+(n-1)×2+n×1=言n(n+a)(n+b)对-切正整数n 都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论.若不存在，请说明理由. 3.是否存在常数a、b、c,使等式1·(n2-12)+2·(n2-22)+…+n…(n2-n2)=an4+bn2+c对任 何正整数n都成立？证明你的结论. 1/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三数学归纳法证明整除问题 1.设neN,用数学归纳法证明：f(a)=32+2.8n-9是64的倍数， 2.已知f(n)=(2n+7)·3+9,存在自然数m,使得对任意neN,都能使m整除f(n),则最大的 m的值为一 3,已知数列{an}满足a1=0,a2=1,at2=aH1十an(n∈N),证明：数列{an}的第4m十1项 (m∈N)能被3整除. 4.(20-21高二上·上海大同中学，期中)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x+y能被x+y整除”，第二步 归纳假设应写成() A.假设n=2k+1(k∈N)正确，再推n=2k+3正确 B.假设n=2k-1k∈N)正确，再推n=2k十1正确 c.假设n=k(kEN)正确，再推n=k+1正确 D.假设n=k(k≥1)正确，再推n=k+2正确 题型四数学归纳法与数列问题 1.设数列{an}满足a1=2,且a+1=a-nan十1(n为正整数). (1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式： (2)用数学归纳法证明你的猜想成立. 3,当n=1时 2.已知f(n)=2n+1,g(n)= (f(g(n-1)),当n≥2，且n为正整数时· (1)求g(1),g(2),g(3),g(4)的值； (2)猜想g(n)的表达式并用数学归纳法证明. 3.(24-25高二下，上海吴淞中学期末)请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误. (1)设n为正整数，求证：2+4十6+…+2n=n2+n十1. 证明：假设当n=k(k为正整数)时等式成立，即有2+4+6+…+2k=k2+k十1： 那么当n=k+1时，就有2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何正整数n等式都成立. (2)设n为正整数，求证：1+2+22+…+21=2”-1 证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立. ②假设当=k(k≥1，k为正整数)时，等式成立，即有1+2+22+…+2k1=2k-1, 那么当n=k+1时，由等比数列求和公式，就有1+2+2+…十2k1+2*=2”=2k+1.1,等式 1上2 2/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 也成立 根据①和②，由数学归纳法可以断定1+2+22+…+21=2”-1对任何正整数n都成立. 错误是 B 能力提升题 题型一数列新定义问题 1.(21-22高一下上海徐汇区期末)对给定实数p,若数列{an}满足以下三个条件：①a1十p≥0， a2十p=0;②对任意正整数n,a4r1<a4n;③对任意正整数m、n, a叶n∈{am十an十p,am十an十p十1}.则称数列{an}为“Ep数列". (1)对前4项为2、-2,0、2的数列，可以是E2数列吗？说明理由； (2)若{an}是Eo数列，求as的值： (3)是否存在常数p,使得存在Ep数列{an},对任意正整数n,均满足Sn≥S1o?若存在，求出所有这样的 p;若不存在，说明理由， 2.(25-26高二上上海实验学校期中)已知数列{an}的通项公式an=2,数列{bm}的通项公式 bn=3n+2(neN)若de{aa2…,an…}n{b1b2…,bn…},则称d为数列{an}与 {bn}的公共项，将数列{an}与{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{dn}. (1)直接写出d1、d2、d3、d4的值； 2)猜想并证明{dn}的通项公式，并求数列{是}各项和； (3)是否存在正整数rs、t(r<s<t)使得ar+as+a:=b2o5o成立，若存在，求出rs、t;若不存在， 说明理由， 3.(24-25高二上上海松江二中，期中)在各项均不为零的数列{an}中，选取第k1项、第k2项、、第k项， 其中m≥3，k1<k2<··<km,若新数列akak:·,akm为等比数列，则称新数列为{an}的一个 长度为m的“等比子列”.已知等差数列{an}，其各项与公差d均不为零。 (1)若在数列{an}中，公差d=2,n=4,且存在项数为3的“等比子列”，求数列{an}的通项公式 (2)若an=号n+寺，数列ak+ak:·,ak为{an}的一个长度为n的“等比子列”，其中k1=1,公比为q.当 q最小时，求k的通项公式： (3)若公比为q的等比数列{bn},满足a1=b1,a2=b2,b3=a(i≥3，i∈N),证明：数列{bn}为数 列{an}的“等比子列" 3/5 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展培优题 1.设数列{an}的前n项和为SmS1=克，对任意n∈N,n≥1都有S+1=六成立. (1)求S2,S3,S4的值： (2)猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明. 2.已知f(x)在(-1,1)上有定义，f()=-1且满足x、yE(-1,1)时，有f(x)+f(y)=f(瑞》 (1)证明：f(x)在(-1,1)上为奇函数； 2)证明：等式1+f(信)+f(合)+··+f(n4)+f()=0,n为正整数. 3.已知正项数列(n}和(bn}中，4=a,b1=1-a,当n≥2时，n=n1bnba=完 (1)用数学归纳法证明：对任何正整数n,都有an十bn=1. (2)求数列{an}的通项公式. xx为正奇数 4,23:24高二上上海外国语大学附层外国语学校月考)已知函数f(x)= f(),x为正偶数 (1)依次求f(2),f(3)+f(4),f(5)+f(6)+f(7)+f(8)的值： (2)对任意正整数n,记an=f(21+1)+f(21+2)+f(21+3)+f(21+4)+…+f(2),即 n=∑F(21+).猜想数列}的通项公式，并用数学归纳法证明。 5.(21-22高二下上海延安中学期中)如图， P1(xy1)P2(x2y2),Pn(xnyn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x之0)上的n个 点，点A:(a,0)(i=1,2,3,,n在x轴的正半轴上，且△A1AP;是正三角形(Ao是坐标原点). (1)求a1、a2、a的值及数列an的递推公式： (2)猜想点Aa(an0)的横坐标an关于n的表达式，并用数学归纳法证明. P P A A2 4/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 an+1 6.(21-22高二下上海曹杨第二中学期末)在数列{an}中，am1=V艺， n为正整数. (1)若数列{an}为常数列，求{an}的通项； 2)若a1=0,用数学归纳法证明：an=c0s票 7.(21-22高二下·上海格致中学.月考)n2(n≥5)个正数排成n行n列方阵，其中每一行从左至右成等差数列， 每一列从上至下都是公比为同一个实数q的等比数列.已知312=1，a14=2,55=最 a11 a12 a13.ain\ a21a22a23…a2m a31 a32 as3.asn an an2 ans am (1)设bn=a1n,求数列{bn}的通项公式； (2)设Tn=a11+a22+a33+…+a,请用数学归纳法证明：Tn=2-学(n∈N*). 5/5 4.4数学归纳法 题型一 数学归纳法 1．(22-23高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海青浦高级中学·)利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 3．利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 【答案】 【分析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案. 【详解】当时，左边式子为， 当时，左边式子为， 故左边增乘的因式是． 故答案为：． 题型二 数学归纳法证明恒等式 1．(24-25高二上·上海延安中学·期中)已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 2．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或证明见解析 【分析】由数学归纳法证明即可. 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 3．是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？证明你的结论． 【答案】答案见解析. 【分析】令，利用待定系数法初步确定的值，后利用数学归纳法证明结论. 【详解】假设存在，使得所给等式成立． 令代入等式得解得 以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立． ①当时，由以上可知等式成立； ②假设当时等式成立， 即， 当时， ． 即时等式成立． 由①②知等式对于一切正整数都成立． 故存在，使等式对一切正整数都成立. 【点睛】方法点睛：本题考查利用数学归纳法证明结论，需注意以下两点： （1）用数学归纳法证题的步骤：①明确初始值n0的取值并验证时命题的真假(必不可少)．②“假设，且)时命题正确”，然后证明当时命题成立，最后得出结论．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． （2）数学归纳法证明的关键点：注意“”时与“”时命题形式的差别，弄清等式（或不等式）左端应增加的项，明确左端变形的目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等． 题型三 数学归纳法证明整除问题 1．设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 2．已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 【答案】36 【分析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明． 【详解】，，，都能被带除，猜想能被36带除， （1）时，是36的整数倍， （2）假设时， 是36的整数倍，即（）， 时， ， 由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍， 所以是36的整数倍， 综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而， 所以是最大的数，即． 故答案为：36． 3．已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法，先验证时，结论成立，再证明当时，结论成立，可推出时也成立，即可证明结论成立. 【详解】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 4．(20-21高二上·上海大同中学·期中)用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【答案】B 【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设． 【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确； 故选：B． 【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键 题型四 数学归纳法与数列问题 1．设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【分析】（1）计算出数列的前几项， 由此猜想的一个通项公式； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数） 2．已知，. (1)求，，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据递推式，即可求得答案； （2）结合数列前面几项的值，猜想的表达式，再用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）， ， ， ． （2）猜想：． 下面运用数学归纳法进行证明： ①当时，，猜想成立． ②假设当（为正整数）时猜想成立，即， 则时，， ∴当时，猜想成立， ∴对一切正整数，均成立 3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 【答案】（1）（2） 【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 题型一 数列新定义问题 1．(21-22高一下·上海徐汇区·期末)对给定实数p，若数列满足以下三个条件：①，；②对任意正整数n，；③对任意正整数m､n，.则称数列为“数列”. (1)对前4项为2､､0､2的数列，可以是数列吗？说明理由； (2)若是数列，求的值； (3)是否存在常数p，使得存在数列，对任意正整数n，均满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)1 (3)存在，2 【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列； (2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值； (3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值. 【详解】（1）由性质③结合题意可知，矛盾，故前4项的数列，不可能是数列. （2）性质①， 由性质③，因此或，或， 若，由性质②可知，即或，矛盾； 若，由有，矛盾. 因此只能是. 又因为或， 所以或. 若，则， 不满足，舍去. 当，则前四项为:0，0，0，1， 下面用归纳法证明： 当时，经验证命题成立，假设当时命题成立， 当时： 若，则，利用性质③： ，此时可得：； 否则，若，取可得：， 而由性质②可得：，与矛盾. 同理可得： ，有； ，有； ，又因为，有 即当时命题成立，证毕. 综上可得：，. （3）令，由性质③可知： ， 由于， 因此数列为数列. 由（2）可知: 若； ，， 因此，此时，，满足题意. 2．(25-26高二上·上海实验学校·期中)已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，，，； (2)，的各项和为； (3)只存在一组正整数、、. 【分析】（1）由题意，列举的前4项即可； （2）猜想，结合二项式定理证明即可；由等比数列求和公式求的和即可. （3）假设存在，由奇偶一致可得唯一解. 【详解】（1），，，. （2）猜想，证明如下： 设公共项为， 若是中的项，则存在正整数使得， 若为偶数，则，由的二项展开式可得其除以3余数为1，不符合题意； 若为奇数，则为偶数，则, 除以3余数为2，符合题意； 又，故，所以公共项为数列中指数为大于等于3的奇数的项， 即， 所以 . ，， 则. （3）假设存在正整数、、 使得成立， 则 即 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有， 故 可得 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有 故 可得，所以 所以只存在一组正整数、、，使得成立. 3．(24-25高二上·上海松江二中·期中)在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）“等比子列”可能为；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式； （2）要使公比最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式； （3）要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. （3）由，有，即， 由，，， 所以 ，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时， ， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，化为证明数列中每一项都是数列中的项，并应用数学归纳法求证. 1．设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据，令代入即可求解. （2）利用数学归纳法的证明即可. 【详解】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 2．已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）赋值法，结合奇偶性定义可解； （2）数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数. （2）①时，左边右边. ②假设当时，有， 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立. 3．已知正项数列和中，，，当时，，． (1)用数学归纳法证明：对任何正整数n，都有． (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按照数学归纳法证明步骤推理论证即得. （2）利用（1）及已知构造等差数列，求出通项公式即得. 【详解】（1）（i）当时，，等式成立； （ii）假设当时，等式成立，即， 则当时，，等式也成立， 综合（i）和（ii），得对任何正整数都成立. （2）当时，由，得，则， 即数列是以为首项，1为公差的等差数列，则， 所以. 4．(23-24高二上·上海外国语大学附属外国语学校·月考)已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2)猜想，证明见解析 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 5．(21-22高二下·上海延安中学·期中)如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且△是正三角形是坐标原点）． (1)求、、的值及数列的递推公式； (2)猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据几何关系和抛物线的标准方程代入即可求解； （2）根据数学归纳法即可求解. 【详解】（1）解：设，则，解得，所以，所以， 设，则，解得， 所以，所以， 设，则，解得， 所以，所以， 设，所以， 所以，整理得. （2）根据 猜想. 下面用数学归纳法证明： ①当时，猜想显然成立． ②假设当时，猜想成立，即， 则当时，因为， 所以， 即， 解得不合题意，舍去） 即当时，猜想也成立． 由①②得对一切的猜想均成立． 6．(21-22高二下·上海曹杨第二中学·期末)在数列中，为正整数. (1)若数列为常数列，求的通项； (2)若，用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)见解析. 【分析】（1）根据数列为常数列及所给递推关系，平方后即可得解； （2）根据数学归纳法的证明步骤，结合余弦的降幂公式即可得证. 【详解】（1）， ，又数列为常数列， ， 解得或（舍去） 的通项公式为. （2）当时，，成立； 假设时成立，即， 当时，（为锐角）， 即时，成立， 综上，对任意，都有. 7．(21-22高二下·上海格致中学·月考)个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列．已知，，． (1)设，求数列的通项公式； (2)设，请用数学归纳法证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式； （2）先利用题意和等比数列求出，再利用数学归纳法可以证明. 【详解】（1）（1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为， 由，，得 ，解得，. 故数列的通项公式为. （2）解：由（1）得， 又，且，， 所以； ①当时，，等式成立. ②假设当时等式成立，即， 当时， ，等式成立. 根据①和②可以断定对任何的都成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $