周测评(十八) 分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

你只管劳力，剩下的交给时间。 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十八） 数学·分类加法计数原理、分步 乘法计数原理、排列与组合 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 5.下列计算正确的是 24分。在每小题给出的四个选项中，只 A.A号=5×4=20 有一项是符合题目要求的。 B.A=n(n-1)(n-2) 题号 2 3 4 答案 Cc--10 D.C8=8×7×6=336 1.若A,B,C,D,E,F六人站队照相，要求 A在B的左边（可以相邻，可以不相邻）， 6.将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成 则所有不同的站法有 个数列，记第i项为a:(i=1,2,…,7), A.180种 B.240种 则下列说法正确的是 () C.300种 D.360种 A.若a4=7,a1十a2十a3<a5十a6十a7, 2.已知任何大于1的整数总可以分解成素 则这样的数列共有360个 因数乘积的形式，且如果不计分解式中 B.若该数列恰好先减后增，则这样的数 素因数的次序，这种分解式是唯一的.如 12=22×3,12的不同正因数有(2+1)× 列共有64个 (1+1)=6个，则2000的不同正因数个 C.若所有的奇数不相邻，所有的偶数也 数为 ( ) 不相邻，则这样的数列共有144个 A.25 B.20 D.若a1>a2>a3,a3<a4<a5,a5>a6 C.15 D.12 >a7,则这样的数列共有71个 3.将8个大小形状完全相同的小球放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 2个小球，则不同的放法种数为 ( 12分。 A.3 B.6 7.一个箱子里有大小形状相同的红、白、 C.10 D.15 黄、黑色小球各三个，甲、乙、丙三人分别 4.定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸 从箱子中任取一个球，则每次取出的球 运数”，比如116,431，则所有幸运数的个 数为 共有 种不同的组合， A.21 B.35 8.将1,1,1,1,2,4,6,8这8个数填入如图 C.36 D.45 所示的格子中（要求每个数都要填入，每 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 个格子中只能填一个数)，则不同的填数 12分。在每小题给出的选项中，有多项 方法共有 种；若填入的每行数 符合题目要求。全部选对的得6分，部 之和为偶数，则不同的填数方法共有 分选对的得部分分，有选错的得0分。 种（用数字作答）： 题号 5 6 第1行 答案 第2行 高二学科素养周测评（十八）数学第1页（共2页） 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 10.(30分)药房里有若干味药.药剂师用这 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 些药配成22副药方，每副药方中恰有5 9.(22分)某班共有16名男同学，运动会期 味药，从中任选的三味药都恰好只包含 间，要从中选出4名男生代表本班去参 在某一副药方中， 加4×100米接力赛. (1)药房中共有几味药？ (1)共有多少种选法？ (2)药物分为烈性药和非烈性药，要求 (2)如果还要确定第一棒与第二棒的人 每副药方中至少有一味是烈性药. 选，共有多少种选法？ (ⅰ)若药房中有7味烈性药，证明：全 (3)如果这四棒的人选都确定，共有多少 部药方中一定有一副药方至少含有4 种选法？ 味烈性药. (ⅱ)证明：全部药方中一定有一副 药方至少含有4味烈性药. 高二学科素养周测评（十八）数学第2页（共2页）·数学· 2025一2026学年度高 数学·分类加法计数原理、分 一、选择题 1.D【解析】由于A,B照相的顺序一定，所以共 有A9=360种. 2.B【解析】因为2000=24×53，所以2000的 不同正因数个数为(4十1)×(3+1)=20. 3.B【解析】依题意，每个盒子放入2个球，余下 2个球可以放入一个盒子有C种方法，放入两 个盒子有C?种方法，所以不同的放法种数为C 十C3=6. 4.C【解析】“各位数字之和为8的三位数叫幸 运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有： 若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运 数”； 若首位为7，则剩余两位为1,0，共有A豆=2个 “幸运数”； 若首位为6，则剩余两位为2,0或1,1，共有A号 十1=3个“幸运数”； 若首位为5，则剩余两位为3,0或2,1，共有2A =4个“幸运数”； 若首位为4，则剩余两位为4,0或3,1或2,2，共 有2A经十1=5个“幸运数”； 若首位为3，则剩余两位为5,0或4,1或3,2，共 有3A=6个“幸运数”； 若首位为2，则剩余两位为6,0或5,1或4,2或 3,3,共有3A十1=7个“幸运数”； 若首位为1，则剩余两位为7,0或6,1或5,2或 4,3,共有4A号=8个“幸运数”； 综上，共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个 “幸运数” 二、选择题 5 5.ABC【解析】对于A,A号=6-2)=5X4= n! 20,故A正确；对于B,A= (n-3)1=n(n-1). (m-2),故B正确；对于C,Cg=5-3)1X31 5 5×4×3 8! 3X2X1-10,故C正确：对于D,C=(8-3》!X3 =8×7X6 3×2X1=56,故D错误. 6.ACD【解析】对于A,由于1+2+3+4+5+6 =21为奇数，根据对称性可知这样的数列有2· A·A=360个，故A正确； 对于B,从2,3,4,5,6,7中选出1个数排在1的 参考答案及解析 学科素养周测评（十八） 步乘法计数原理、排列与组合 右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列 有C6个；从2,3,4,5,6,7中选出2个数排在1 的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数 列有C%个；从2,3,4,5,6,7中选出3个数排在 1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的 数列有C个；从2,3,4,5,6,7中选出4个数排 在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增 的数列有C个；从2,3,4,5,6,7中选出5个数 排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后 增的数列有C个，故满足条件的数列的总个数 为C+C%十C+C十C%=62个，故B错误； 对于C,若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不 相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、 偶、奇”，则满足条件的数列有A4·A=144个， 故C正确； 对于D,若a3=1,则先从其余6个数中任选2 个数作为a1,a2且a1>a2,有C号种方法，剩余 4个数中最大的为a5,剩下的3个数任取2个 作为a6,a?且a6>a7,有C?种方法，则这样的 数列有CC号=45个；若a3=2,则先从除去1之 外的5个数中任选2个数作为a1,a2且a1> a2,有C号种方法，剩余4个数中最大的为a5,a7 =1,剩下的2个数任取1个作为a6或a4即可， 有C2种方法，则这样的数列有CC=20个；若 a3=3,则先从除去1,2之外的4个数中任选2 个数作为a1,a2且a1>a2,有C?种方法，剩余4 个数只有位置固定的1种排法，其中a6=2,a?= 1,则这样的数列有C=6个，所以满足条件的数 列共有45十20+6=71个，故D正确. 三、填空题 7.64【解析】由题意可知，甲、乙、丙每人每次都 可能取出4种颜色不同的小球，所以取出的小 球共有4×4×4=64种不同的组合」 8.1680;912【解析】首先任选4个格子填1，有 C种不同的填数方法，再将余下的4个数填入 其它4个格子，有A4种不同的填数方法，所以 不同的填数方法共有CA=1680种.要使填 入的每行数之和为偶数，则第1,2行填1的个 数有(0,4)，(2,2)，(4,0)三种情况.若(0,4)，即 第1行0个1，第2行4个1，此时有A4=24种 不同的填数方法；若(2,2)，即第1行、第2行各 2个1，此时有CACA号=864种不同的填数 方法；若(4,0)，即第1行4个1，第2行0个1， 此时有A4=24种不同的填数方法，所以共有 24+864+24=912种不同的填数方法. 83 真题密卷 四、解答题 9.解：(1)从16名男生中选4人共有C16=1820 种选法 (6分) (2)如果还要确定第一棒、第二棒的人选，则共 有C16A=21840种选法. (14分) (3)如果每一棒的人选都要确定，则共有CA4 =43680种选法。 (22分) 10.(1)解：设药房共有n味药，则一共可形成C 个“三药组”，且每个“三药组”恰好只包含在一 副药方中， (3分) 22副药方中，每副药方可形成C=10个“三药 组”，合计220个“三药组”， (6分) 所以C%=220,所以n=12,药房中共有12味药. (10分) (2)证明：设共有烈性药x味，假设每副药方中 至多含有3味烈性药，不妨把1味烈性药和2 味非烈性药称为“R一三药组”，则共有C,C,- 个“R一三药组”」 (13分) 另一方面，由题意可得每3种烈性药恰有一副 药方包含它，故有C?副药方恰含有3种烈性药 (15分) 2025一2026学年度高1 数学· 一、选择题 1.D【解析】(x一1)？的展开式中的第五项为T5 =C2x3(一1)4=35x3」 2.D【解析】(x√5十y√)展开式的通项为 T1=Cc(y)"(女，冷4-r+2r 4,7+r=3,解得r=2,所以xy的系数是C 2 =6, 3.C【解析】对于A,由莱布尼茨三角形知，当n 为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值，n =2023为奇数，中间两项同时取得最小值，故 A错误； 对于B,当n=2024时，这一行有2025个数， 1. 最中间为第1013个数，即2025C盟，故B 错误； 对于C,第6行有？个数，第5个数是(6十1)C 1 -105,故C正确： 对于D,由于从第0行开始每一个数均等于其 学科素养周测评 每副这样的药方含有CC=3个“R一三药 组”，其余22-C副药方只含有1种或2种烈 性药，它们中每一副都可形成CC=6或 CC号=6个“R一三药组”， (17分) 故22副药方一共可形成3C?+6(22-C?)个 “R一三药组”， 故C,C2-,=3C,+6(22-C), 得r3-13r2+67r=132. (20分) (1)将r=7代人，得r3-13r2+67r=175≠ 132,即说明若药房中有7味烈性药，全部药方 中一定有一副药方至少含有4味烈性药. (24分) (iⅱ)r3-13r2+67r=132两边考虑都除以5， 右侧余2， 对于r(x2-13r+67),当r取0,1,2,3,4,5 时，均不成立，即说明每副药方中至多含有3 味烈性药的假设不成立， (28分) 所以全部药方中一定有一副药方至少含有4 味烈性药， (30分) 学科素养周测评（十九） 项式定理 1 1 “脚下”两个数之和，故(n十1)C十(n十1)C 一nC可r∈N,l≤r≤n),故D错误. 1 4.C【解析】由题设，左边的通项公式为 T+1=Ciw·(2023x)y+Co·202310-·(-x), =C10·[2023+(-1)·2023100-]·x',r ∈{0,1,2，…，100}. 所以a6=C10·[2023十(-1)·2023100-]， k∈{0,1,2，…，100}. 因为C0>0,所以要使得a。<0成立，则k为 奇数，且2023-2023100-<0恒成立， 等价于2023<2023100-曰k<100一k曰k< 50,又k是正奇数，故k的最大值为49. 二、选择题 5AD【架折】动爱发二溪式5-后厂的袋 开式通项为T=c)(左) =C5(-1)r2号x-(0≤r≤9，r∈N). 对于A,令-2=0，得，=0，所以常数项是T