周测评(十六) 导数在研究函数中的应用-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

你未来的祥子，藏在规在的劳力里。 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十六） 数学·导数在研究函数中的应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 12分。在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的。 符合题目要求。全部选对的得6分，部 题号 1 2 3 分选对的得部分分，有选错的得0分。 答案 题号 5 5 1.函数f(x)=e-ex的最小值为( 】 答案 A.-e B.-1 C.0 D.1 5.已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图 2.设函数f(x)=az-alnx(a>0且a≠ 象如图所示，则 ) 1)在区间(1，+∞)上单调递增，则a的 取值范围是 A.e,+oo) B.[e2,+∞) C.[2e,+∞) D.[e,+∞) A.f(x)在(2，十∞)上单调递增 3.若函数f(x)=x3-ax2-bx十a2在x B.f(x)在(1,3)上单调递减 =1处有极值10，则b-a= C.f(x)在x=1处取得极大值 A.-15 B.-6或15 D.f(x)有最大值 C.-6 D.15 4.2025年这个寒假，国产AI助手 6.设函数f(x)=sinx十sin2x,则() DeepSeek在全球掀起一场科技风暴. A.f(x)在[0,2π]上有5个零点 DeepSeek在训l练模型时会用到对数似 B.f(x)在[0,2π]上有4个极值点 然函数来优化参数.假设某模型的对数 C.f(x)的图象有1条对称轴在[0， 2π]上 似然函数为L(w)= 2ln(wz:十1)，其 D.f(x)的图象有3个对称中心在[0， 中心是模型参数，x:是输入特征，为了 2π]上 最大化L(),我们需要求解以下哪个 方程 ( 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 】 12分。 A. is1x:十1=n 7.函数f(x)=e一3x十5的单调递增区间 B.之1 为 i-iwz;+=0 8.已知定义在R上的函数f(x十1)为奇函 C. 10x:+1=0 数，f(x+2)为偶函数，当x∈[0,1]时， f(x)=3x3一3x,则方程f(x)=一1在 D.w i=x;十1=n [0,99]上的实根个数为 高二学科素养周测评（十六）数学第1页（共2页） 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 10.(30分)定义：若函数f(x)与g(x)在公 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 共定义域内存在xo,使得f(xo)十g(xo) 9.(22分)已知函数f(x)=-4x3+12x2 =0,则称f(x)与g(x)为“契合函数”， +8. xo为“契合点” (1)求f(x)的极值； (1)若函数f(x)=ae十a和g(x)= (2)当x∈[-2,5]时，求f(x)的最大值 x一xe为“契合函数”，求a的取值 和最小值. 范围 (2)已知函数f(x)=x-lhx-b, 和g(x) x为“奥合函数”且有两个“契合 点”x1,x2 (ⅰ)求b的取值范围， （i)若x2>ex1,证明：x1十x2 >e+1 e-1' 高二学科素养周测评（十六）数学第2页（共2页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十六） 数学·导数在研究函数中的应用 一、选择题 确定f(x)的最值，故D错误， 1.C【解析】由题意得，f'(x)=e一e,令 6.ABD【解析】对于A,由f(x)=sinx十sin2x= f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得x<1,所 sinx十2 sin xcos a=0,可得sinx=0或cosx= 以f(x)的单调递增区间为(1，十∞)，单调递 减区间为(-∞，1)，所以f(x)min=f(1)=0. 2,又x∈[0,2]，所以x=0或x= 2.A【解桥】依题毫，f'(x)=a1a。2≥0在 或x= 3或x=2m,故A正确， 对于B,由f(x)=sinx+sin2x,可得f'(x)= ,十o∞)上恒成立，令g(x)=a*lna-“,则 cosx十2cos2x=cosx十4cos2x-2,令f'(x)=0, g(r)=ana)2+>0在(1，+∞)上恒成 即c0sx+4cos2x-2=0,可得cosx=一1±V33 8 立，所以f'(x)在(1，十∞)上单调递增，所以只 需alna-a=a(lna-l)≥0，解得a≥e. 又x∈[0,2π]，故cosx= 一1士√33有4个解，结 8 3.D【解析】由题意得f'(x)=3x2-2ax一b,故 合二次函数知识可得在每个解的左、右两边导数符 f'(1)=3-2a-b=0,解得a=3或-4. 号不同，所以f(x)在[0,2π]上有4个极值，点，故 f(1)=1-a-b+a2=10, B正确； 当a=3时，b=3-2a=-3,此时f′(x)=3x2 -6.x十3=3(x-1)2≥0，故f(x)在R上单调 对于C,由B可知cosx=二1±V33 由余弦函 8 递增，无极值，舍去；当a=一4时，b=3一2a= 数的图象可得f(x)的极值，点关于x=kπ，k∈Z 11,此时f'（x)=3x2十8x-11= 对称，又f(-x)=sin(-x)十sin2(-x)= -1)8x+1,当x<-号或x>1时， -sinx-sin2x=-f(x),所以f(x)关于原 点对称，又f(2π-x)=sin(2r-x)十sin2(2π >0f)单明递端：当-号<<1时， -x)=-sinx-sin2x=-f(x),所以f(x) 关于（π，0）对称，又f(4π-x)=sin(4π-x)十 f'(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)在x=1 sin2(4π-x)=一sinx-sin2x=-f(x),所以 处取得极小值，满足要求，此时b一a=11十4 f(x)关于(2π，0)对称，又f(2π+x)=sin(2π十 =15. x)+sin2(2π+x)=sinx+sin2x=f(x),所 4.A【解析】由题意得，L'()=乃x wz,十1，函 以2π是f(x)的周期，所以f(x)的图象在区间 数在极值点处的导数为0，所以为了最大化 [0,2π]上没有对称轴，f(x)的图象有3个对称 中心在区间[0,2π]上，故C错误，D正确. L(w),需要找到L(w)的极值点，令L'(w)= 三、填空题 名wx,十1=0，将等式两边同时乘以w, 0,即2x 7.(ln3,十∞)【解析】由题意得，f(x)=e-3,令 得到工1 f'(x)>0,得x>ln3,故单调递增区间 wx2 x1十1wz2十1+…+e2w wxn十1=0，即 为(1n3,+∞). 1 8.98【解析】函数f(x+1)为奇函数，即f(x+1) =一f(一x十1)，故f(x)的对称中心为(1,0)；函 0,即1 数f(x+2)为偶函数，即f(x十2)=f(-x十2)， 1x:十1=n. 故f(x)的对称轴为x=2,又由f(x)=一f(-x 二、选择题 +2)=-f(x+2)=f(x+4),可得f(x)是一 5.BC【解析】由题意可知，当x∈(-∞，-1)U 个周期为4的周期函数， (1,3)时，∫'(x)≤0（不恒为0），f(x)单调递 当x∈[0,1]时，f(x)=3x3-3x,则f'(x) 减；当x∈(-1,1)U(3,+∞)时，f'(x)>0, f(x)单调递增，故A错误，B正确；且f(x)在x= =9x-3,令f'(x)>0,得9。 3<x<1,f(x)单 1处取得极大值，故C正确；虽然可以确定 f(x)的单调性，但没有f(x)的解析式，故无法 调递增；◆f(x)0,得0<r<号，f6x)单调 ·29· 真题密卷 学科素养周测评 通减，所以fx)=f）=8×图）-3× y=hex) 停）=2作出)在区间®，灯上的图 23 -y=a 象，如图所示： 由图象可知，当a∈[0，十∞)时，y=h(x)的 图象与直线y=a有交点，即当f(x)与 g(x)为“契合函数”时，a的取值范围为 [0,十∞). (8分) (2)(1)解：由题意知，f(x)与g(x)的公共定 即在[0,4幻上，方程f(x)=-1有4个实根，又 义域为(0，十∞)， 99=4×24+3, 令f(x)=-g(x),则x-lnx-b=- ez+1 则方程f(x)=-1在[0,99]上的实根个数 为4×24+2=98. x+1-In x-6-1=In e*+i-In x-6-1 四、解答题 9.解：(1)f'(x)=-12x2+24x=-12x(x-2), =In e*ti b-1=-e中1 (12分) (2分) 当x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当0< 令g(r)=e >0),则p(x)=-1)e x2 x<2时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x>2 所以当x∈(0,1)时，p'(x)<0,p(x)单调递 时，f'(x)<0,f(x)单调递减， (8分) 减；当x∈(1，十∞)时，p'(x)>0,p(x)单调 所以f(x)的极大值为f(2)=24,极小值为 递增， f(0)=8. (11分) 所以p(x)≥p(1)=e2,又当x→0+时， (2)f(-2)=88,f(5)=-192, p(x)→十∞；当x→十∞时，9(x)→+∞， 又由(1)得f(0)=8,f(2)=24, 所以p(x)的大致图象如图所示： 故f(x)在[一2,5]上的最大值为88，最小值为 -192. (22分) o(x) 10.(1)解：由题意知，f(x)与g(x)的公共定义域 为R, 令f(x)=-g(x),即ae十a=xe2-x,所以 a=x(e-1)=x(e+1-2) 2x e*+1 e*+1 Ex- e2+1' 1 (3分) 令t=p(x),则t∈[e2,十o∞)， 2 令h(x)=x e中7，若f(x)与g(x)为“契 由net -6-1=一e ,得6+1=lnt+t, 合函数”，则y=h(x)的图象与直线y=a有 (15分) 交点. (5分) 因为y=lnt十t在[e2,+∞)上单调递增，又 因为h'(x)=1 2(ex+1)-2xe f(x)与g(x)为“契合函数”，所以y=b十1与 (e*+1)2 y=lnt十t至少有一个交点， e2x+2xe*-1 所以y=t与p(x)有两个不同的交点x1,x2, (e*+1)2, 所以t>e2,所以lnt+t>2+e, 所以当x<0时，e2x<1,2xe<0,即h'(x)< 即b+1>2+e2,解得b>1+e2, 0;当x=0时，h'(x)=0;当x>0时，e2a>1, 即b的取值范围为(1+e2,十∞). (18分) 2xe>0,即h'(x)>0, (i)证明：由(i)得，直线y=t与y=p(x)的 所以h(x)在（一∞，0）上单调递减，在 图象的两个不同交点为x1,x2,且0<x1<1 (0,+∞)上单调递增， <x2’ 所以h(x)min=h(0)=0, e1+1 又当x→一∞时，h(x)→十∞；当x→十∞时， =t, ei+1=tx1, 所以 h(x)→+∞， e2+1 即 e2+1=tz2, -=t, 所以h(x)的大致图象如图所示， (7分) x2 ·30· ·数学· 参考答案及解析 所以十1=lnt+lnx1, p(m)=m2-1-2mln m(m>e), (x2+1=In t+In x2, 则p'(m)=2m-2lnm-2=2(m-lnm-1), 所以x1-x2=lnx1-lnx2, 令q(m)=m-lnm-1(m>e), 令m=2,则由x2>ex1,知m>e,x2=mx1, 1m-1>0, 则g(m)=1-m=m (27分) 所以x1一mx1=lnx1-ln(mx1), 所以g(m)在(e,十o∞)上单调递增，所以 m-1,(23分) 整理可得”所以am q(m)>q(e)=e-2>0,所以p'(m)>0, 所以p(m)在(e,十∞)上单调递增，所以 所以x1十x2= In m mln mm+1 p(m)>p(e)=e2-1-2e=(e-1)2-2>0, m-1m-1m-1 ·lnm, 即8'(m)>0, 令6(m)-m+1. -m-i·lnm(m>e),则d'(m)= 所以8(m)在(e,+∞)上单调递增， + 所以m)>8(e)=e e-i,即x1+x2>e+l e-1 (30分) 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十七） 数学·阶段测试（二） 一、选择题 (2,0)作曲线f(x)=xe的两条切线，设切点 1.C【解析】由题意可知，a1=S1=13=1,a5= 坐标为To:Toco),则(xo十1e0二02，即 S,-S=5-4=125-64=61,所以2a1+ (x8-2x0-2)e0=0,由于eo>0,故x8-2x0 a,)-号1+61)=15 -2=0,△=12>0，由题意可知x1,x2为x6 2x0一2=0的两个解，则x1十x2=2,x1x2 2.A【解析】函数y-血z+1的定义城为0，十， =-2,故1+1-1+x2=-1. x x1 x2 x1x2 y-(inx+1)z-(nz+Dz'_1-(lz+D) 二、选择题 x2 5.ABC【解析】由题意得y=-18xsin(3-好）， ,令y>0,即1nx<0,解得0<x<1,所以所 求单调递增区间为(0,1). 故当sn3u-）=-1时，醉时速度最大，则3u 3.C【解析】因为S223<S225<S224,可得 -2张x+k∈Z所以当1-号为 7 4 3+2k∈Z (1+q)0 a225<0, a1g22<0, 时，醉时途度达到莱大值，查及=0时：-：童最-1 由于9≠0，则q2024>0,g2022>0, 可得g1+9)<0·解得1q<0,故A,B 时=：音及=2时-品 23 a1<0, la1<0, 6.AC【解析】对于A,由题意得b+1=b员十2bn,所 错误； 以bn+1+1=b员+2bn+1=(bn十1)2，所以 由-1<q<0可知-1<q<g"<1,可得1-q> {bn十1}为平方递推数列，故A正确；对于B,由 b+1+1-(bn+1)2,得lg(bn+1+1)=2lg(bn+1), q>0,则0<，q 又g(b1十1)=2，所以{lg(bn十1)}是以2为首项， dd-la-< 所以.=1-9 2为公比的等比数列，所以1g(bn十1)=2”，所以 1-q bn十1=102°，即bn=102”-1,故B错误；对于 |a1l,故C正确； C,因为Tm=(b1+1)·(b2十1)·…· 1 1 假如a1=g=-2,符合题意，但S=2 (bn+1),所以lgTm=lg(b1+1)+lg(b2+1)+ …+lg(bn十1)=2+22+…+2m=2m+1-2,故 q,故D错误. gT.=2t1-2=2 4.B【解析】由题意得f'(x)=(x+1)e,过点 C正确，对于D,因为1g6.十1)=2” ·31·