周测评(十五) 导数的概念、意义及其运算-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

生山腰太挤，去山顶看看。 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十五） 数学·导数的概念、意义及其运算 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 12分。在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的。 符合题目要求。全部选对的得6分，部 题号 1 2 3 4 分选对的得部分分，有选错的得0分。 答案 题号 6 1.已知函数f(x)=20x一5，则f(x)从3 答案 到3十△x的平均变化率为 () 5.各地房产部门为尽快稳定房价，提出多 A.20 种房产供应方案，其中之一就是在规定 B.20△x 的时间T内完成房产供应量Q。.已知房 C.20△x-5 产供应量Q与时间t的函数关系如图所 D.20△x+5 示，则在以下四种房产供应方案中，在时 2.已知函数f(x)的导函数为f'(x), 间[0，T]内供应效率（单位时间的供应 6 且f(x)=2xf' sinx,则f(g） 量)不逐步提高的是 ) Q 1 B.2 c- D. B 3.如图，已知函数f(x)的图象，其在点 Q P(2,f(2)处的切线为1，则f(2)+ Q f'(2)= C 6.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义 域均为R,若函数y=f(3一x)为奇函 y=fx) 1 A.-3 B.-2 数，函数)=3x-∫(x十2)为偶函 C.1 D.2 数，g(x)=f'(x),则 () 4.若过点(1，)可以作曲线y=x-4（x> A.g(2)=g(4) 0)的两条切线，则t的取值范围是( B.g(2)=3 A.(-3,+∞) B.(-∞，1) C.g(4)=3 C.(-3,2) D.(-3,1) D.g(4)+g(0)=】 高二学科素养周测评（十五）数学第1页（共2页） 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 10.(30分)已知函数f(x)=e-2a,g(x)= 12分。 In x. 7.一质点A沿直线运动，位移y(单位：m) (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点 与时间t(单位：s)满足关系式y=3t2一 (1,f(1))处的切线方程. 2t+5,则质点A在t=10s时的瞬时速 (2)若a=1,是否存在直线与曲线y= 度为 m/s. f(x)和y=g(x)都相切？若存在， 8.设f'(x)是函数f(x)的导数，f"(x)是 求出所有符合要求的直线；若不存 函数f'(x)的导数，若方程"(x)=0有实 在，请说明理由. 数解xo,则称点(xo,f(xo)为函数f(x) 的拐点.某同学经过探究发现：任何一个 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ≠0)都有拐点，任何一个三次函数都有 对称中心，且拐点就是对称中心.设函数 g(x)=x3-3x2十4x十2，利用上述探究 1 2 结果计算：g2025+g2025】 +…十 /4048 /4049 82025)+g2025 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)求下列函数的导数. （1y=2x+2 1 (2)y=2x5-e5x; (3)y=e2ln(2x); (4)y=22=sin 4x; (2x+1)4 (5)y= cos(3x+4); 1og2(3x) (6)y= 高二学科素养周测评（十五）数学第2页（共2页）·数学· 参考答案及解析 四、解答题 an (3-2n)·2n-1 2n-1 9①)证明：2-a+1一20n+1）二 所以c.-6,6.+-(2m-10(2m+1)2n- an-2n-1 2n 2an-2m十1-2m-32an-4n-2 2n+1 (16分) a.-2m-1a.-2m-1=2, T= )+)+ …十 又b1=a1一2-1=2，所以{bn}是以2为首项，2为 公比的等比数列，故bn=2×2-1=2.(11分) 2m-2 2m-1 2n-3 2n-1 =1 (2)解：由(1)得am-2n-1=2m,所以am=2n十 1十2m,所以Sm=a1十a2十a3+…+am=(3+5 2 +7+…+2n+1)+(2+22+23+…+2m) 2n+1 51 -8+2a+D+20-2）=2+2m+2g1-2 因为T,≥-}所以1 51 ,64 2+≥-3即8 2 1-2 (22分) 2 ≥2k+1 (20分) 10.(1)证明：由(3-2n)Sn+1+2n(Sm+2am)= 3Sn+2an,得(3-2n)(Sm+1-Sm)=2(1-2n)· 设函数f(n)= 2” 2n+1n∈N*, am,即(3-2n)am+1=2(1-2n)am, 2n+1 2 所以。一2·3产n变形得3-2+ an+1 因为f(n+1)-f(n)=2m+3-2m+= 1-2n (4n+2-2n-3)2n (2n-1)2m 32n又g210, (2n+3)(2m+1)-(2n+3)(2m+1)>0, 2 放数列2是首项为1，公比为2的等比 所以f(n)- m十(n∈N)单调递增. 2564 数列， (8分) 又f(6)=2x6+1-13,所以fm)≤f(6), 所以3产2n=2,即a,=8-2m）2 所以6≤6，所以使T:≥一召成立的最大正整 51 (12分) 数的值为6 (30分) (2)解：因为6，=-0=2m-1, 2n 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十五） 数学·导数的概念、意义及其运算 一、选择题 1.A【解析】函数f(x)=20x一5从3到3十△x的 又国为切线方程为+￥=1，所以P(2,2),即 4 平均变化率为f3+A△)-f3) f(2)=2,所以f(2)+f(2)=2-1=1. 3十△x-3 4D【解析】由题意得y=1十兰，设切点为 _[20×(3+△x)-5]-(20X3-5) =20. △x P(9,则切线方复为y-(,)- 2.C【解析】因为f(x)=2zf'(得）+sin,所 1+)红一，由初线过点1)，得1 以f(x)=2(）+cosx,令x=，得 f'()=2(）)+os3f(）=-2 十1，令1=5(6>0)，可得y=t与y=4s2-8s十 3.C【解析】由图象可得，1过点(0,4)和(4,0) 1(s>0)的图象有两个不同的交点，又y=42 则1的斜率为为=0 4-0 8s十1的对称轴为s=1,ymim=一3，则结合y =-1,所以f'(2)=-1, 4s2一8s+1(s>0)的图象得t的范围为(-3,1). ·27· 真题密卷 学科素养周测评 g(1)=4,所以g(2025 (1 +g2)+…+ 4048 g2025 4049 十g2025 =8×2024+4=16196. 四、解答题 9.解：(1)y'=(2x4)'+ (3分) 二、选择题 (2)y'=(2x5)-(ez)'=10.x4-5e5r. (6分) 5.ACD【解析】当单位时间的供应量逐步提高 (3)y=(e)'ln(2x)+en(2x)]'=eln(2x)+ 时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的 e =eh2e+g 2x (10分) 斜率随着自变量的增加会越来越大，故曲线是 上升的，且越来越陡峭，所以函数的图象应一直 (4)y'=(22x)'sin4x+22(sin4x) 是下凹的，则B满足条件，所以在时间[0，T]内 =2·22xln2Xsin4x+4·22xcos4x 供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是 =22+1(sin 4xIn 2+2cos 4x). (14分) A,C,D. 6y-82x+Dcos(z+0+32z+1)sn(8x+0 c0s2(3x+4) 6.ABD【解析】当x∈R时，若h(一x)=h(x), =(2z+1)°[8cos(3x+4)+3(2x十1)sin(3x+4】 则-h'(-x)=h'(x),即h'(-x)=-h'(x)； c0s2(3x+4) 若h(-x)=-h(x),则-h'(-x)=-h'(x), (18分) 即h'(-x)=h'(x).所以奇函数的导函数是偶 3x 函数，偶函数的导函数是奇函数.由y= (6)y'= 3xIn 2-log (3x) 1 log2 (3x) f(3一x)为奇函数，可得y'=-f'(3-x)= x2In 2 -g(3-x)为偶函数，所以g(3-x)=g(3十x), (22分) 1 1 令x=1得g(2)=g(4),故A正确；由y= 3x 10.解：1)当a=2时，f'(x)=e-,f'(1)=。, 1 fx+2)是偶函数，可得)y=3-f(x+2)=3 于)己，则曲线y=fx)在点1，f1)处 的切线方程为x一e3y=0. (8分) 一g(x十2)为奇函数，即g(x+2)十g(-x+2)= (2)若a=1,则f'(x)=e-2, 令x=0,得g②)=日益B正商：又g(2) 2 设直线与曲线y-f(x)相切于点A(x1,y1), 则f'(x1)=e-2, 1 g(4),所以g（④)=3，故C错误；由于g(x+2)+ 所以直线与曲线y=∫(x)在点A处的切线方 程为y-e1-8=e1-2(x-x1), (13分) 8(x+2)=2 令=2，得80十g0)-号故 设直线与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2), D正确. 由于g(x)=1,则g'(x)=1 三、填空题 2 所以直线与曲线y=g(x)在点B处的切线方 7.58【解析】由题意可得，y'=6t-2,当t=10 1 时，y'=58,故瞬时速度为58m/s. 程为y一lnx2= （x-x2), (18分) 8.16196【解析】因为g(x)=x3-3x2+4x+2, e=10, 所以g'(x)=3x2-6x+4,g"(x)=6x-6. 由题意可知 由g"(x)=6x-6=0,得x=1.又g(1)=1-3十 e1-2(1-x1)=lnx2-1②， 4十2=4，所以点(1,4)是g(x)的拐点，也是 由①得x1-2=一lnx2, g(x)的对称中心，所以g(x)十g(2一x)=8,所以 将lnx2=2-x1代入②，得e-2(1-x1)=1 1=2, 一x1,解得 1=1或 (25分) x2=ex2=1, 2024 2026) /2025Y =8,g2025 所以存在两条直线x一ey=0或x一y-1=0 8,…,g（2025 +g2025 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切.(30分) ·28·