周测评(十四) 数列综合-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

·数学· 参考答案及解析 分的面积之布为4一x0(1-2)】 12,3 3n+1, (13分) 四、解答题 1 1 1 9.（1)证明：由题意得1-3+2a=3+2, an+1 an an 所以1+1=3+3=3(+1， n11 an 3市=2一2.3一3，故T。 11 所以2+1—=3， n13 (8分) 32+4 an 3” 又1+1=2，所以2+1是以2为首项，3为 2m-1)+31 la. 因为T。-T-1= 4 公比的等比数列. (10分) 3-1 3 (2)解：由(1)得2+1=2·3， 1 an ≥0所以工，单调递增，五2大 所以=231-1， 20. an 放2+1+1+…+1-21-3) 所以>T.≥T,=号 a1 az a3 am1-3 一n=3一 所以数列工.)的上界临界值”M,- 1-n, 令f(n)=3”-1-n,由f(n+1)-f(n)=2· (18分) 3”-1>0,得f(n)单调递增， 3证明：易知2+1是-（仔aeN), 1 因为f(5)=237<300,f(6)=722>300,所以 n的最小值为6. (22分) 10.(1)解：当n≥2时， a员-2Sn十am=0, ’a-1-2Sm-1十am-1=0, 1- 作差得(am-a-1-l)(an十am-1)=0, 因为an>0,所以am=an-1十1， (4分) 33·()”, (24分) 又当n=1时，a}-2S1十a1=a-a1=0, 所以a1=1, 显然c.单调递增，且号·（日）广>0，则m越 即{am}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以an=n,由于数列是无限递增的，显然不 大，该数值越接近0，故6<号一号·() 存在常数M满足对Hn∈N,都有an≤M, 所以{an}不是“上界数列”. (8分) 3 （②)解：由1)可知6，， 由于上述不等式取不到等号，所以数列{cm}的 上界临界值M,≤行 (30分) 所以-号++… 3， 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十四） 数学·数列综合 一、选择题 ×2=100. l.B【解析】因为am+1-an=2(n∈N*),a1=1, 2.C【解析】由题意可得，a2=3a1十1=16，a3= 所以数列{am}是以1为首项，2为公差的等差数 列，所以{a}的前10项和S0=10X1+10X9 号-8a,-号=4 2 3.C【解析】设等差数列{am}的公差为d,因为 ·25· 真题密卷 学科素养周测评 Sg,S5,S1一8成等差数列，所以2S5=S3十S, Abn=3m-1,显然数列{am十bn}是等比数列，当 8所以2a,+5)=a32-7a十 入=-1时，am十bn=1,显然数列{am十λbn}是 等比数列，因此当数列{am十λbn}是等比数列 79d-8,解得d=2因为a,是，和aa的华 时，入=1或入=-1，故D错误. 三、填空题 比中项，所以a号=a1·a5,所以(a1十6)2=a1· 5 a+48),解得a:=1.所以S=10X1+10×9 7910-1) 5×10"+1-45n-50 【解析】因为 81 2 2=100. 1.510”1)三9×10”-5 9,所以S。 4.C【解析】由题意，令2n一1=2025，解得n= 5 1013,则2025是第1013个奇数，因为宝塔形 9(1-10 数表第i行有i个数，所以前i行共有1十2十3 1-10 -0-10-1)-0- 十…十i=G1D个数，因为4X45 2 2 990< 50×10”-45n-50_5×10+1-45n-50 81 81 1013,45X46=1035>1031,所以2025在宝 8.1n十【解析】因为T,为数列{a}的前n项积， n 2 塔形数表的第45行中，所以2025为第45行从 右往左数第23个数，也是从左往右数第23个 且T.+a,=m,所以当a=1时，T=a1-受 数，即a45,23=2025,所以i十j=45+23=68. 当n=2时，T2十a2=a1a2十a2= 2a2十a2= 二、选择题 5.ABC【解析】由题意知，n∈N*,在正项等比数 2m m,即a:=m十2若m=2,则a:=1当n=3 列{am}中，a,=1, 对于A,a1a14=a1a13q=aq=q,故A正确； 时，T,+a3=a1a2aa十a3=2Xm十20g十ag三 对于B,当0<q<1时，因为a7=1,所以a >1(i=1,2,…,6),可得T7=a1a2a3a4a5a6a7 m,则a= 平若数列品}为等差数 m(m+2) =a>a7=1,故B正确； 对于C,T3=a1a2a3a4a13=a9=1,故C正确； 列，则=+六，2”=品十 m2 m 对于D,当q>1时，因为a7=1,所以a: m2+m+2 <1(i=1,2,…,6),则Tm的最小值为T6或 m3 整理得m2-3m+2=0,解得m=1 T7,故D错误. 或m=2. 6.ACD【解析】依题意，am+1=2am十bm,bn+1= 当m=1时，Tm十am=1,此时令n=1,得到T1 2bm十am,则am+1十bn+1=3(am十bn),而a1十b1 =1,因此数列{am十bn}是首项为1，公比为3的 十a1=l,而T1=a1,解得T1=a1= 2,则当n 等比数列，所以am十bn=3m-1,又am+1一bm+1= am-bn,因此am一bm=a1一b1=1,于是am= ≥2时，T+T. 2 2 -1,故是以2为首项1为公圣的 T- 对于A,a4= 3十1=14，故A错误； 2 多差数到，则品-2十贝-1=0十1，得到工. bm_3m-1-1 对于B,。=3”1十1 二1二3”-1十1”显然数列 风十故，1-7为7当加=2时，十 1 {?是递减数列，因此伦为递增数列，故 an=2,此时令n=l,可得T1=a1=1,则当n≥ 3-1十1 B正确； 2时，名-2圆1+品是甲 1 对于C,26.=0+1+4+13十40=58，故C -1-22-7-1,别号-1=0， 1 i=1 错误； 对于D,a1+λb1=1,a2十b2=2+入，a3+b3 =5十4入，由{am十λbn}为等比数列，得(2十λ)2 =5十4λ，解得入=1或λ=一1，当入=1时，am十 1不符合题志综上0：开 ·26· ·数学· 参考答案及解析 四、解答题 an (3-2n)·2n-1 2n-1 9①)证明：2-a+1一20n+1）二 所以c.-6,6.+-(2m-10(2m+1)2n- an-2n-1 2n 2an-2m十1-2m-32an-4n-2 2n+1 (16分) a.-2m-1a.-2m-1=2, T= )+)+ …十 又b1=a1一2-1=2，所以{bn}是以2为首项，2为 公比的等比数列，故bn=2×2-1=2.(11分) 2m-2 2m-1 2n-3 2n-1 =1 (2)解：由(1)得am-2n-1=2m,所以am=2n十 1十2m,所以Sm=a1十a2十a3+…+am=(3+5 2 +7+…+2n+1)+(2+22+23+…+2m) 2n+1 51 -8+2a+D+20-2）=2+2m+2g1-2 因为T,≥-}所以1 51 ,64 2+≥-3即8 2 1-2 (22分) 2 ≥2k+1 (20分) 10.(1)证明：由(3-2n)Sn+1+2n(Sm+2am)= 3Sn+2an,得(3-2n)(Sm+1-Sm)=2(1-2n)· 设函数f(n)= 2” 2n+1n∈N*, am,即(3-2n)am+1=2(1-2n)am, 2n+1 2 所以。一2·3产n变形得3-2+ an+1 因为f(n+1)-f(n)=2m+3-2m+= 1-2n (4n+2-2n-3)2n (2n-1)2m 32n又g210, (2n+3)(2m+1)-(2n+3)(2m+1)>0, 2 放数列2是首项为1，公比为2的等比 所以f(n)- m十(n∈N)单调递增. 2564 数列， (8分) 又f(6)=2x6+1-13,所以fm)≤f(6), 所以3产2n=2,即a,=8-2m）2 所以6≤6，所以使T:≥一召成立的最大正整 51 (12分) 数的值为6 (30分) (2)解：因为6，=-0=2m-1, 2n 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十五） 数学·导数的概念、意义及其运算 一、选择题 1.A【解析】函数f(x)=20x一5从3到3十△x的 又国为切线方程为+￥=1，所以P(2,2),即 4 平均变化率为f3+A△)-f3) f(2)=2,所以f(2)+f(2)=2-1=1. 3十△x-3 4D【解析】由题意得y=1十兰，设切点为 _[20×(3+△x)-5]-(20X3-5) =20. △x P(9,则切线方复为y-(,)- 2.C【解析】因为f(x)=2zf'(得）+sin,所 1+)红一，由初线过点1)，得1 以f(x)=2(）+cosx,令x=，得 f'()=2(）)+os3f(）=-2 十1，令1=5(6>0)，可得y=t与y=4s2-8s十 3.C【解析】由图象可得，1过点(0,4)和(4,0) 1(s>0)的图象有两个不同的交点，又y=42 则1的斜率为为=0 4-0 8s十1的对称轴为s=1,ymim=一3，则结合y =-1,所以f'(2)=-1, 4s2一8s+1(s>0)的图象得t的范围为(-3,1). ·27·考场的对手不是别人，而是胙天的自己。 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十四） 数学·数列综合 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 12分。在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的。 符合题目要求。全部选对的得6分，部 题号 1 2 4 分选对的得部分分，有选错的得0分。 答案 题号 5 6 1.已知在数列{an}中，a1=1,且am+1一am= 答案 2(n∈N),则{am}的前l0项和为（ 5.已知公比为q的正项等比数列{am}的前 A.99 B.100 n项之积为Tm,且a7=1,则 () C.101 D.102 A.aiai-q 3am十1，am为奇数， B.当0<q<1时，T?>1 2.数列{an}满足am+1 且 2am为偶数， C.T13=1 D.当g>1,且Tm取得最小值时，n只能 a1=5,则a4= ( ) 等于6 A.1 B.2 C.4 D.8 6.某种生命体M在生长一天后会分裂成2 3.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,若 个生命体M和1个生命体N,1个生命 S3,S5,S?一8成等差数列，a4是a1和 体N生长一天后可以分裂成2个生命体 a25的等比中项，则S1o= () N和1个生命体M,每个新生命体都可 A.81 B.99 以持续生长并发生分裂.假设从某个生 C.100 D.121 命体M的生长开始计算，记am表示第n 4.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成 天生命体M的个数，bn表示第n天生命 宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5， 体N的个数，则a1=1,b1=0,下列结论 第三行为7,9,11，第四行为13,15,17， 错误的是 () 19,如图所示，在宝塔形数表中位于第 A.a4=13 行，第j列的数记为ai,j,例如a3,2=9, B.数列 la, 为递增数列 a4,2=15,a5,4=23,若ai,j=2025,则i十 1= C26,-6 D.若{am十λbn}为等比数列，则入=1 35 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 1197 13151719 12分。 2927252321 7.数列5,55,555,5555，…的一个通项公式am A.64 B.65C.68 D.72 ,前n项和Sn= 高二学科素养周测评（十四）数学第1页（共2页） 8.设数列{am}的前n项积为Tm,满足Tn十 10.(30分)记数列{am}的前n项和为Sm, an=m,其中常数m>0.若m=2,则a2= a1=1,(3-2n)Sm+1+2n(Sm+2am)= 3S,+2an. ；若数列 为等差数列（非常数 (1)证明： am为等比数列，并求 3-2n 列)，则an= {am}的通项公式. 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (2)设b,=一a+1。 an一，数列 2,c.=6,b,+ 9.(22分)在数列{an}中，已知am+1=2am一 {cn}的前n项和为Tn,求使不等式 2n+1,a1=5. (1)若bm=am一2n一1，证明：数列{bn}是 工，≥}成立的长的最大值 等比数列，并求{bm}的通项公式. (2)求{an}的前n项和Sn. 高二学科素养周测评（十四）数学第2页（共2页）