周测评(十三) 等比数列、数学归纳法-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

焦虑不会加分，行动才能破局。 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十三） 数学·等比数列、数学归纳法 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 12分。在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的。 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 3 4 题号 6 答案 答案 1.√2十1与√2-1的等比中项是 ( A.±1 B.1 5.用数学归纳达证明不等式，十网2十 1 0.2 1 C.-1 n十3十… 1>13 十n十n>24的过程中，下列说 2.用数学归纳法证明fm)=1+2十3 1 法正确的是 () A.使不等式成立的第一个自然数为1 .+1≥)(n∈N*)的过程中， B.使不等式成立的第一个自然数为2 C.由n=k推导n=k十1时，不等式的左 从n=k到n=k+1时，f(k+1)比f(k) 1 边增加的式子是 增加的项数为 ( (2k+1)(2k+2) A.1 B.2k-1 D.由n=k推导n=k十1时，不等式的左 1 C.2+1 D.2 边增加的式子是(2k+2)(2k+3) 3.数列{2"十2n一1}的前100项和S1oo= 6.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和 为Sm,前n项积为Tm,且满足a1>l, A.21o0+9998 a2023a2024>1,(a2023-1)(a2024-1)<0,则 B.21o1+9998 () C.2100+10002 A.0<q<1 D.21o1+10002 B.S2023>S2024-1 4.已知数列{am}满足a1=1,nan+1=(n十2)· C.T2o24是数列{Tn}中最大的项 D.T4o45<1 a则a 的前2025项和S2s= 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 2023 12分。 4048 A.1012 B.2025 7.在等比数列{am}中，a1=1,a4a6-ma2+m 2025 4052 =512(m∈N*且m<6),则{am}的公 C.1013 D.2027 比q= 高二学科素养周测评（十三） 数学第1页（共2页） 8.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪 10.(30分)若数列{an}满足：对Hn∈N*, 刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗 若存在常数M,都有am≤M,则称 活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众 {am}为“上界数列”，M为{an}的“上 基础，交融于各族人民的社会生活，是各 界”，并把最小的M值叫做“上界临界 种民俗活动的重要组成部分，其传承赓 值”，记为Mo.记数列{an}的前n项和 续的视觉形象和造型格式，蕴含了丰富 为Sm,其中n∈N*,已知am>0,a 的文化历史信息，是中国古老的民间艺 2Sm十an=0. 术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取 (1)判断{am}是否为“上界数列”，并说 一张半径为1的圆形纸片，记为⊙O,在 明理由. ⊙O内作内接正方形，接着在该正方形 内作内切圆，记为⊙O1,并裁去该正方形 (2)若数列6，-二，工.为6)的前n项 与内切圆之间的部分（如图所示阴影部 和，求数列{Tm}的“上界临界值”Mo. 分)，记为一次裁剪操作，…，重复上述裁 剪操作n次，最终得到该剪纸，则第 @)若6一名2十数列c的上界 2025次操作后，被裁部分的面积之和为 临界值”为M,证明：M,≤3 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)已知数列{an}的首项a1=1,且满 an 足am+1三 3+2a, (1)证明：数列已十1为等比数列。 an (2若1+ 1+1 1 +…十一>300，求满 al a2 a3 an 足条件的最小整数n. 高二学科素养周测评（十三）数学第2页（共2页）真题密卷 学科素养周测评 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十三） 数学·等比数列、数学归纳法 一、选择题 所以由n=k推导n=k十1时，不等式的左边增 1.A【解析】设√2+1与√2一1的等比中项是x, 1 加的式子是(2十1)2k十2)，故C正确，D 则x2=(2+1)(2-1)=1,解得x=士1. 错误. 1 2.D【解标】因为f()=1十2十专十十23 6.AB【解析】由(a223-1)(a224-1)<0,得 a2023-1>0,a2024-1<0或a202s-1<0,a202 所以了)=1+名+号++，共20项， 11 -1>0,而a1>1,a2023a2024>1,a2023,a2024同 号，则a223>1,a224<1,即数列前2023项均 则f+10-1+号+号+…+安++ 1 1 大于1，从第2024项开始均小于1.对于A,9= +2,共2受， a22<1,又g>0,所以0<g<1,故A正确； a2023 所以f(k十1)比f()增加了2+1-2=2项. 对于B,由a2024<1,得S2024-S2023=a2024<1, 即S2023>S2o24一1，故B正确； 3.B【解析】{2"+2n-1}的前100项和S10= 对于C,显然{an}是递减正项数列，且a2o2> (2+22+…+2100)+(1+3+5+…+199) _2(1-210)+1+199)×100 1,a2o24<1,因此T2023是数列{Tm}中最大的 1-2 =21o1+9998. 项，故C错误； 2 对于D,T4o45=a1a2…a4045=afo45· 4.C【解析】因为na.+1=(m十2)a,所以ant n+2 g+2++4044=a045·g4045×202=(a2023）4045> 1,故D错误. ,所以m+1x+2)nm+' an+l an 三、填空题 n 7.2【解析】a4a6-ma2+m=a=512,故a4=8,所 an 所以数列n十D为常数列，又a1=1,所以 以a4=a1g3=g3=8,解得g=2. 1x+D=2所以nnD= 1 8.4-)1-2) 2202s 【解析】设⊙Om的半径为 an R,易知R,= √ 之，⊙0+1的半径为气R,即 2哈-3)+…+ 1 2 √2 2(20252026 = R1-乞R,所以R}是以 为首项，2为公比 24l-d2）-85 10131 的等比数列，故R=R图=” 二、选择题 113 (份)》所以⊙0.的西积为8，=成：=)】 5.BC【解析】当n=1时，可得2<24：当n=2 2,又第n次操作的正方形边长为2R。 时，可得日+片-费品款俊不等式成立的第 ,故第次操作被裁部分的面积为 一个自然数为2，故A错误，B正确； 1 1 1 当n=时，可得十十十2十十3十… (2Rm)2-Sn () (-1)×2元1元 2m2-22m 1 十k十k 4一元 ，所以第n次操作后，被裁部分的面积之和为 2n 当-+1时，可得g2+含g…叶e十 1 -(别 1 1 2k+1T2k+21 12 111 两式相减得中2+2干(2+)(2+2)’ =(4-)(1-),则第2025次操作后，改栽部 ·24· ·数学· 参考答案及解析 分的面积之布为4一x0(1-2)】 12,3 3n+1, (13分) 四、解答题 1 1 1 9.（1)证明：由题意得1-3+2a=3+2, an+1 an an 所以1+1=3+3=3(+1， n11 an 3市=2一2.3一3，故T。 11 所以2+1—=3， n13 (8分) 32+4 an 3” 又1+1=2，所以2+1是以2为首项，3为 2m-1)+31 la. 因为T。-T-1= 4 公比的等比数列. (10分) 3-1 3 (2)解：由(1)得2+1=2·3， 1 an ≥0所以工，单调递增，五2大 所以=231-1， 20. an 放2+1+1+…+1-21-3) 所以>T.≥T,=号 a1 az a3 am1-3 一n=3一 所以数列工.)的上界临界值”M,- 1-n, 令f(n)=3”-1-n,由f(n+1)-f(n)=2· (18分) 3”-1>0,得f(n)单调递增， 3证明：易知2+1是-（仔aeN), 1 因为f(5)=237<300,f(6)=722>300,所以 n的最小值为6. (22分) 10.(1)解：当n≥2时， a员-2Sn十am=0, ’a-1-2Sm-1十am-1=0, 1- 作差得(am-a-1-l)(an十am-1)=0, 因为an>0,所以am=an-1十1， (4分) 33·()”, (24分) 又当n=1时，a}-2S1十a1=a-a1=0, 所以a1=1, 显然c.单调递增，且号·（日）广>0，则m越 即{am}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以an=n,由于数列是无限递增的，显然不 大，该数值越接近0，故6<号一号·() 存在常数M满足对Hn∈N,都有an≤M, 所以{an}不是“上界数列”. (8分) 3 （②)解：由1)可知6，， 由于上述不等式取不到等号，所以数列{cm}的 上界临界值M,≤行 (30分) 所以-号++… 3， 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十四） 数学·数列综合 一、选择题 ×2=100. l.B【解析】因为am+1-an=2(n∈N*),a1=1, 2.C【解析】由题意可得，a2=3a1十1=16，a3= 所以数列{am}是以1为首项，2为公差的等差数 列，所以{a}的前10项和S0=10X1+10X9 号-8a,-号=4 2 3.C【解析】设等差数列{am}的公差为d,因为 ·25·