周测评(十) 抛物线-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

2025一2026学年度高 数学· 本试卷总分100分 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 答案 1.若抛物线的准线方程是x-,则其标准 方程是 ( A.y2=-10x B.y2=-5x C.y2=5x D.y2=10x 2.已知直线1交抛物线C:x2=一28y于 M,N两点，且MN的中点坐标为 (一2，一11)，则1的斜率为 () A是 11 B.4 c D-月 3.如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗. 已知该碗高10cm,口径26cm,底径10 cm,该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛 物线的一部分，如图2所示，则该抛物线 的焦点到准线的距离为 ( -26cm 10cm -10cm- 图1 图2 36 A.144 cm B.5 cm 38 D.5 cm 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为 C上一点，M为PF的中点，O为原点， 则tan∠MOF的最大值为 2 A.2 B.1 C.√2 D.2 高二学科素养周测评（十 去更远的地方，见更亮的光。 二学科素养周测评（十） 抛物线 考试时间40分钟。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 5 6 答案 5.已知抛物线C的焦点在直线2x一y+4 =0上，则C的标准方程可以为() A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=16y D.x2=-16y 6.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,直线 1与C交于A,B两点(A在第一象限)， 以AB为直径的圆E与C的准线相切于 点D,若|AD=√3BD,则() A.A,B,F三点共线 B.1的斜率为 3 C.AF=3 BF D.圆E的半径是4 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F 到直线x=一1的距离为2，则C的方 程为 ,若M(4,yo)在C上，则 |MF|= 8.已知抛物线C1:x2=4y,C2:x2=一8y的 焦点分别为F1,F2,一条平行于y轴的直 线分别与C1,C2交于A,B两点.若 AF1=|BF2,则四边形AF1F2B的周 长为 数学第1页（共2页） 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)已知A(-2,0),B(2,0),直线 AM,BM相交于点M,且直线AM的斜 率与直线BM的斜率之差是4，点M的 轨迹是C. (1)求C的方程. (2)已知直线l:y=kx+5,讨论l与C 的公共点个数 高二学科素养周测评（十 10.(30分)动点G到点F(2,0)的距离比到 直线x十4=0的距离小2. (1)求G的轨迹方程， (2)设动点G的轨迹为曲线C,过点F 作斜率为k1,k2的两条直线分别交 C于M,N两点和P,Q两点，其中 k1十k2=1.设线段MN和线段PQ 的中点分别为A,B,过点F作FD ⊥AB,垂足为D,试问：是否存在定 点T,使得线段TD的长度为定值？ 若存在，求出点T的坐标及定值；若 不存在，请说明理由. 数学第2页（共2页）真题密卷 学科素养周测评 2025一2026学年度高二学科素养周测评（十） 数学·抛物线 一、选择题 1.A【解析】由题意知抛物线的标准方程是y2= -2px(p>0),共中号-号所以p=5,故y -2x=-10x. 2.C【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),代 二、选择题 x1=-28y1, 入C:x2=-28y,可得 5.BC【解析】已知焦点在直线2x一y十4=0上， x=-28y2, 当焦点在y轴上时，令x=0,可得y=4,所以焦 两式相减，得(x2一x1)(x2十x1)=一28(y2一 点坐标为(0,4)， y),所以1的斜率=斗=-t,又 设方程为x2=2py(p>0),由焦点坐标知p= x2一x1 28 8,此时C的标准方程为x2=16y; 因为MN的中点为(-2，-11)，所以x1十x2= 当焦点在x轴上时，令y=0,可得x=一2，所 一4，所以k=一2十x1= -41 28=7,即1的斜 以焦点坐标为（一2,0）， 28 设方程为y2=一2px(p>0),由焦点坐标 率为行 知力=4，此时C的标准方程为y2=一8x. 6.ACD【解析】如图，连接DE,则DE为圆E的 3.B【解析】以该轴截面的对称轴为y轴，抛物 半径，过A作准线的垂线，垂足为S,过B作准 线的顶，点为坐标原，点，建立如图所示的平面直 线的垂线，垂足为T,连接AF,FB. 角坐标系， 设该抛物线的方程为x2=2py(p>0)(x,y的 单位均为cm),点A的纵坐标为h(单位：cm), 对于A,2|DE|=|AS+|BT=|FA|+ 则A(5,h),B(13,h+10), |FB|=|AB|,则A,B,F三点共线，故A正 125 确；对于B,由题意得∠ADB=90°，而|AD|= h= |25=2h, 72, √3|BD|,则∠DAB=30°，又△DAE为等腰三角 于是 解得 169=2p(h+10), 36 形，则∠ADE=30°，故∠SAD=30°，于是∠SAF p=5' =60°，即L的倾斜角为60°，故斜率为√5，故B错 故该抛物线的焦点到准线的距离为6cm 误，对于C点r(受，0)，童线AB的方程为y 4.B【解析】当点P为原，点时，tan∠MOF=0,由抛 物线的对称性不妨令点P在第一象限，设点 P低>0，而P,0,到M告，）所以 y2=6x, 2x+9=0,解得-号。-2则A-+ 1 2 4t 3 tan∠MOF= =1,当且仅 13 2+4t2+4Γ2√·4 =6，BF=2+2=2,即AF=3BF,故 8 C正确；对于D,由|AF=6,|BF=2,得 当t=2时等号成立，所以tan∠MOF的最大值 AB|=8,则圆E的直径是8，半径是4，故D 为1. 正确。 ·18· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 线x+4=0的距离小2， 7.2=4红5【解析】因为C的焦点r(侵0小，F 则点G到点F(2,0)的距离和它到直线x =一2的距离相等， 到直线x=-1的距离为号十1=2，得力=2，故 因此点G的轨迹是以F(2,0)为焦点，直 线x=一2为准线的抛物线， (6分) C的方程为y=4红，MFI=4+号-5 设抛物线方程为y2-2px(p>0),由号-2，得 8.12【解析】设A(x1,y1),则B(x1y2),将A, p=4,所以G的轨迹方程为y2=8x.(10分) B坐标分别代入C1,C2,可得 x7=4y1, 即 (2)直线MN的方程为y=k1(x-2),直线 x7=-8y2, PQ的方程为y=2(x一2)，其中k1k2≠0，且 4y1=一8y2,所以y1=一2y2,由焦半径公式可 k1≠2， 得|AF=y1+1,BF,|=2-y2,由 |AF1|=|BFz|可得y1+1=2-y2,即y1+y2 由p2=8x, 消去y并整理得x2一 y=k1(x-2), =1,所以 1=2,所以AF=BF2=3,又 (4k?+8)x+4k=0, (14分) y2=-1, 该方程的判别式△=64(k+1)>0, F1(0,1),F2(0,-2),则|F1F2=3,又AB|= 设M(x1y1),N(x2y2), |y1一y2|=3,所以四边形AF1FzB的周长为 4地8=4十好，1+y 8 |AF1|+|BF2|+|FF2|+|AB=3X4=12. 则x1十x2= 四、解答题 =k1(x1-2)+k1(x:-2)=k, 8 (20分) 9.解：(1)设M,y),则w= x+2x≠-2)， aw”2c≠2)，由直线AM的斜率与直线 点A+后》同理Be+后》e4分 44 BM的斜率之关是1，得，产2一，整里 直线AB的斜率kAB= k21 得y=4-x2(x≠士2)，即C的方程为y=4- x2(x≠士2). (8分) kik2 (2)因为C表示抛物线y=4一x2去掉点 1十，因为k:十。=1，所以点=k1k2,所 (士2,0)，当直线1过点(2,0)时，k= ;当直 5 以直线AB的方程为y=:(红一2)十 5 线1过点(-2,0)时，k=2 (12分) 手-6,6红-20+4=，c-2少+4。 y=4-x2同y=kx十5联立，得x2十kx十1= (28分) 0,△=2-4，当△>0→k<-2或k>2,即k> 因此直线AB:y=k1k2(x-2)+4过定 2且表≠号或k<-2且≠-8时，有两个交 点E(2,4),又FD⊥AB,则点D在以EF为 直径的圆(x一2)2+(y-2)2=4上，所以存在 点；当4=0>k=士2，即=士2或k=士3时 定点T(2,2),使得线段TD的长度为定值2. (30分) 有一个交点；当△<0→一2<k<2,即-2<k< 2时，无交点. (20分) 综上所述，当一2<k<2时，无交点；当=士2 或=士号时，有一个交点：当6<一多 5 或-8k<-2或2<<8或k>时，有两 .5 个交点. (22分) 10.解：(1)因为动点G到点F(2,0)的距离比到直 ·19·