周测评(三) 空间向量的应用-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

不和 2025—2026学年度高 数学·空间 本试卷总分100分 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 4 答案 1.已知直线a的方向向量是v1=(1,2,4) 直线b的方向向量是v2=(2,1,一1)，则 A.a∥b B.a与b相交 C.a与b异面 D.a⊥b 2.若m=(0,1,1)为平面a的一个法向量， n=(5,2,0)为平面3的一个法向量，则 平面α与平面3夹角的余弦值为() A得 B c号 n号 3.中国古代数学著作《九章算术》中，记载 了一种称为“曲池”的几何体，该几何体 的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环 是指圆环被扇形截得的部分)，现有一个 如图所示的曲池，AA1,BB1,CC1,DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的 两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心 角为90°，若直线AD1与平面ABCD所 成角的正弦值为3，则此曲池的体积为 ( 高二学科素养周测评（三 别人比速度，只和自己比进步。 二学科素养周测评（三） 向量的应用 考试时间40分钟。 B.π 3π C.2 D.2π 4.北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥 附近颇有意趣的传统景观之一，这个主 体建筑可以近似看做正四棱柱，四面钟 的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面 上.当四面钟都正常显示标准北京时间 时，相邻两面钟的时针所在直线所成角 的最大值为 () A π 6 B. 4 C.2 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 5 6 答案 5.直线m,n的方向向量分别为m,n,平面 a的法向量为a,则下列说法正确的是 () A.若m∥n,则m=kn B.若m⊥a,则m·a=0 C.若m⊥n,则m·n=0 D.若n∥a,则n·a=0 数学第1页（共2页） 6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，O是 BC1与B1C的交点，∠BAC=∠BAA1= ∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1,则 () A.AO=AB+AA:+AC BA0-酒 C.AO⊥平面A1BC D.点B,到平面A,BC的距腐为 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。 7.已知两个平面a与β，其中平面a的一个 法向量m=（-6,8,4),平面B的一个法 向量n=(3,一4，一2)，则平面a与平面B 的位置关系是 8.17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立 坐标系，将代数对象与几何对象建立关 系，从而实现了代数问题与几何问题的转 化，创立了新分支—解析几何.我们知 道，方程x=1在一维空间中，表示一个 点；在二维空间中，表示一条直线；在三维 空间中，表示一个平面.已知P(1,一1,2)， A(1,0,4),B(-1,5,-2),C(4,3,8),则 过点P与平面ABC平行的平面的方程是 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直 角梯形，∠ABC=∠BAD=分，PA=3, AD=2,AB=BC=1. 高二学科素养周测评（三 (1)线段PB上是否存在一点Q,使得 QC⊥CD?若存在，求出BQ的长； 若不存在，请说明理由、 (2)定义：两条异面直线之间的距离是指 其中一条直线上任意一点到另一条 直线距离的最小值.求异面直线PB 与CD之间的距离. 10.(30分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD ⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD =AD=2AB=1,∠PAD=45,E是 PA的中点，AF=号AB. E D-- (1)证明：DE∥平面PBC. (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余 弦值 (3)求点A到平面PBC的距离. 数学第2页（共2页）真题密卷 学科素养周测评 四、解答题 设λa-b=m(a-Ab), 9.解：(1)设D(x,y,z), +1=m(1+λ)， 则AD=(x十2，y-1,之-2)， 则=m, 解得λ=±1. (22分) DB=(-1-x,2-y,2-z), (3分) -2=-2λm, 由于AD=2DB, 10.解：(1)A(4,0,2),P(4,0,-2). (3分) 4 (2)由于C(0,6,2),所以CP=(4,0,-2)- x+2=2(-1-x), 3 (0,6,2)=(4,一6，-4)， 则y-1=2(2-y),解得 5 y= 3’ 所以|C2|=√4+(-6)2+(-4)2=2√/17. 2-2=2(2-之)， (2=2, (13分) (3)因为B1(4,6,0),所以CB1=(4,6,0) 即（专号2y (7分) (0,6,2)=(4,0,一2)， (2)由题意得a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), 所以CP.CB1=4X4+(-6)X0+(-4)X 则ka+b=(k一1，k,2),ka一2b=(k+2,k,-4), (-2)=24, (11分) 又|CB1|=√42+(-2)2=2√5， 因为向量a十b与ka-2b互相垂直， CP.CB 6 所以(ka+b)·(ka-2b)=0, cos(Cp,CB)- cCBV8需(20分) 即(k-1)(k+2)+k2-8=0, 所以sinC2,CB1)=√1-cos2(CP,CB1) 解得及=-吕或2 (15分) =7v85 85, (3)由(2)知，a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以λa-b=(1+1,λ，-2)， 所以Scg,-21C1 CBsin(C,CB)= a-b=(1+入，1，-2入)， (18分) 14. (30分) 因为向量λa一b与a-λb平行， 2025一2026学年度高二学科素养周测评（三） 数学·空间向量的应用 一、选择题 1.D【解析】因为v1·v2=2+2-4=0,所以v1⊥ v2,所以a⊥b. 2.D【解析】设平面a与平面B的夹角为0，则cos0 m·n √2 =osmn川=m1m-/甲X5于43 3.C【解析】设此曲池的高为h,以圆弧的圆心O 则A(0,2,0),D1(2,0,h),故AD1=(2,-2,h), 为原点，CD为x轴，BA为y轴，过圆心O且垂 取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1), 直于底面的直线为之轴，建立如图所示的空间 设直线AD1与平面ABCD所成的角为0,0∈ 直角坐标系， 6引以血0一恶日-停年 4 ·数学· 参考答案及解析 得h=2,故此曲池的体积V= ×(4π-π) 4 -A店+多AA+3AC,故A皓误：对于B ×2=经 因为A0=2A店+AA+2AC=7a+2b 4.C【解析】由题意，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐 c,所以a01:=子a+b+e)r=a2+ 标系 24 b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c)=4· (1+1+1+2x1X1×g+2×1×1×7+2× 1XIx》-则A-故B正确对于C B 因为A=(经a+b+30)(a-e) 不妨设平面B1BCC1上时钟的时针方向向量u =(0,a,b),a,b不同时为0，因为四面钟都正 2a-e+a6be)=2l-1+日》- 常显示标准北京时间，所以设平面A1ABB1上 时钟的时针方向向量v=(a,0,b).设相邻两面 0,所以AOLA:B,同理可得AOLA1C,又A1B∩ 钟的时针所在直线所成的角为0，则c0s0= A1C=A1,A1B,A,CC平面A1BC,所以AO⊥平 b2 面A1BC,故C正确；对于D,由C知，AO⊥平面 cosu,=uva+5,w02于2 A1BC,所以AO为平面A1BC的一个法向量，因 a2+6.当6=0，a≠0时，c0s9=0,则0= 为A0.B那-2a+b+c)c=2ac+b 受：当6≠0时，os0= 62+1 c+c)2×(}+2+1)=1,所以点B,到平面 0+),别2∈0,1，中ms8e0,U. A1BC的距离d= O·BB=1=6,故D 62+1 AO 2 则9e0,,综上，0e0,引，则0的最大值 错误. 三、填空题 为，故相邻两面钟的时针所在直线所成角的 7.平行【解析】因为m=一2n,所以m∥n,所以 最大位为 平面a与平面B平行. 8.38x-10y-21z-6=0【解析】由题意得AB= 二、选择题 (-2,5,-6),AC=(3,3,4),设m=(a,b,c)为 5.ACD【解析】对于A,若m∥n,则m∥n,即m 平面ABC的一个法向量， =kn,故A正确； 对于B,若m⊥a,则m∥a,即m=ka,故B错误； m·AB=-2a+5b-6c=0, 则 对于C,若m⊥n,则m⊥n,即m·n=0,故C m·AC=3a+3b+4c=0, 正确； 令b=10,则a=-38,c=21, 对于D,若n∥a,则n⊥a,即n·a=0,故D正确. 所以m=（-38,10,21), 6.BC【解析】设AB=a,AC=b,AA1=c.对 过点P与平面ABC平行的平面，即过 于A,Ad-A店+Bò-A店+2BC-A店+ 点P(1,-1,2)且与向量m=(-38,10,21)垂直的 2⑧E+BO)-+号BB+2aC- 平面，其方程为-38(x-1)十10(y十1)+21（之-2） =0,即38x-10y-21z-6=0. 真题密卷 学科素养周测评 四、解答题 9.解：(1)因为AB,AD,AP两两垂直，所以以A为 坐标原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x轴， y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0), E(70,）r,g0Doo.o. 则成-（分0，），西=1.2，-， 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,3), 故B驴=(-1,0,3)，设Q为直线PB上一点， P元=(0,1，-1)， (3分) 且BQ=B2=(-入，0,3x),所以Q(1-入，0,3入)， 设m=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量， m·PB=0,nx+2y-z=0, 所以CQ=(-λ，-1,3入)，又CD=(-1,1,0), 则 即{ m.P心=0，y-z=0, 所以CQ·CD=λ-1=0，即A=1, 不妨令y=1,可得m=(-1,1,1),(7分) 所以BQ=B产，即当点Q位于点P处时，满足 因为D2·m=-1×2+1×0+1×2=0,所 QC⊥CD,此时BQ=√12+3=√10.(10分) 以DE⊥m,且DE女平面PBC, (2)设点Q在直线PB上，由(1)可得CD 所以DE∥平面PBC. (11分) =(-1,1,0), 又Q'(1-入，0,3入)，C=(-λ，-1,3x), (2)解：由1)知，P序-(1，分，-小， 则点Q'到直线CD的距离 设n=(a,b,c)为平面FPC的一个法向量， d=CQ2-(CQ'COS(CQ',CD))2 n·PC=0, b一c=0, 则 即 1, CQ·CD2 n·pi=0,a+2b-c=0, 不妨令6=1，可得n=(分1，小， (16分) /A2+1+9x2 -1 所以cos(m·n)|=mn m·n =+以+号 1 +1+1 √3 3 (20分) 因为++日-+)°+品 ×+ 所以平面FPC与平面PBC夹角的余弦值为 所以4≥3 19 2,当且仅当入=一时取等号， 3 3 (22分) 所以异面直线PB与CD之间的距离为3V丽 (3)解：由(1)知，AP=(-1,0,1),平面PBC 19· 的一个法向量为m=(-1,1,1), (22分) 10.(1)证明：由题意可知DA,DC,DP两两垂直， 则d=m·A-2一2g m 3， 故以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为 x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以点A到平面PBC的距离为2y3. 73.(30分) 6·