2.2二次函数的图象与性质（第1课时二次函数y=ax²的图象）（导学案）数学北师大版九年级下册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，引导学生掌握y=x²和y=-x²的图象画法及性质，通过回顾一次函数、反比例函数图象与画法，结合二次函数一般形式，搭建新旧知识支架，自然过渡到新内容探究。 突出“自主-合作”学习模式，自主学习环节引导学生动手列表、描点、连线画图象，培养几何直观与抽象能力，合作探究通过对比分析性质、分层习题设计，强化推理意识与应用意识，助力学生用数学思维理解规律、用数学语言表达结论。

2.2二次函数的图象与性质 导学案 第1课时 y=x²和y=﹣x²的图象与性质 1.知道二次函数的图象是一条抛物线。 2.会画二次函数 y = x² 与 y = -x² 的图象。 3.掌握二次函数 y = x² 与 y = -x² 的性质，并会灵活应用。 学习重点：掌握 y = x² 和 y = -x² 的图象基本性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性）。 学习难点：熟练运用描点法以及对称性原理，在实际问题中灵活应用这些性质。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①一次函数的图象是一条 ；反比例函数的图象是 。 ②通常怎样画一个函数的图象？（提示：列表，描点，连线） ③二次函数的一般形式为： (是常数，) 2.情景引入 二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.在二次函数中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ 我们先来研究最简单的二次函数，你能画出二次函数y=x2的图象吗？试一试！ 新知自研：自研课本第32--33页的内容． 【学法指导】 自研课本P29-30页的内容，思考： ●探究一：二次函数y=的图象与性质 问题引入： ◆1.议一议 ①画二次函数y= 的图象. 【解答】解： （1） ：观察y = 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = … 　 0　 　 …　 对应点的坐标为：(-3,9) (0,0) (1,1) (2,4) （2） ：根据表中x,y的数值在直角坐标系中描点； （3） ：用 顺次连结各点，就得到y= 的图象，如图所示. ②对于二次函数y＝的图象， (1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流． (2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ (3)当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？ 解：由图象可得，当x<0时，图象从左到右是 的，y随x的增大而 ； 当x>0时，图象从左到右是 的，y随x的增大而 . (4)当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？ 解：由图象可得，图象有一个最低点 ，即x= 时，y有 值是 . (5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 解：这条抛物线关于 对称， 就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 ,它是图象的最低点，为 . ◆2.知识归纳 二次函数y=的图象： 二次函数y=的图象是一条 ，它的开口 ，且关于 对称.对称轴与抛物线 的交点 是抛物线的 ，它是图象的 . 二次函数y=的性质(增减性)： 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而 ； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而 ； 当x=0时，y有 0. ◆3.练一练 已知点(－3，)，(1，)，(，)都在函数y＝的图象上，则、、的大小关系是________． ●探究二：二次函数 的图象与性质 ◆1.做一做 二次函数y=－的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象，它与二次函数y=的图象有什么关系？与同伴进行交流． 【解答】解：（1） ： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =- … 　 　 0　 　 …　 对应点的坐标： (-2,-4) (0,0) (1,-1) (3,-9) （2） ：根据表中x,y的数值在直角坐标系中描点； （3） ：用平滑曲线顺次连结各点，就得到y=−的图象，如图所示. 思考：仿照y=的性质说出y=－有哪些性质？ ◆2.知识归纳 二次函数y=−的图象： 二次函数y=−的图象是一条 ，它的开口 ，且关于 对称，对称轴与抛物线的交点 是抛物线的 ，它是图象的 . 二次函数y=−的性质(增减性)： 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而 ； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而 ； 当x=0时，y有 0. ◆3.议一议 对比二次函数y=和y=-的图象与性质，它们有什么相同点和不同点？ 二次 函数 y= y＝- 图象 位置开口方向 开口 ,在x轴上方 开口 ,在x轴下方 对称性 关于 对称，对称轴方程是 顶点和最值 顶点坐标是 当x=0时， 当x=0时， 增减性 在对称轴左侧递 ，在对称轴右侧递 在对称轴左侧递 ，在对称轴右侧递 ◆4.练一练 抛物线y=和y=-的关系是(　　) A.开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B.开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C.开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D.开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象． 【解答】解：S=（a 0） 列表： a 0 1 2 3 … S 0 1 4 9 … 描点并连线． 例2 已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论二次函数y=a的图象与性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 2.已知二次函数y=的图象过点（a，b），则它必过的另一点是（ ） A. （a，−b） B. （−a，b） C. （−a，−b） D. （b，a） 3.已知正方形的边长为xcm,面积为 y,下列图象能够表示y与x之间的函数关系的是（ ） 4.一定在函数y=的图象上的点是( ) A. (-1， 0) B.(1，0) C.(1,-1) D.(-1，1) 5. 观察函数y=的图象，下列判断正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 6.二次函数 y = -的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________． 7.若点 A(2,m)在抛物线 y=上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是________． 8.已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________. 9.若点A(-3,),B(-2,)是二次函数y=-图象上的两点，那么与的大小关系是_____________. 10.如图，观察函数y=（ k−3）的图象,则k的取值范围是__________. 11.函数y=的顶点坐标是_________，若点(n，9)在其图象上，则n= _________. 12.若点A(-1,),B(2,)是二次函数y=-图象上的两点，那么与的大小关系是_____________. 13.已知二次函数y=，若x≥m时，y最小值为0，则m的取值范围是________． 14.若等腰直角三角形的斜边长为2x cm，其面积为y. (1)求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围; (2)列出x=，1，，2，2，3时，y与x的对应值表; (3)画出y关于x的函数图象. 题型一： 二次函数的y＝x2和y＝﹣x2的图象与性质 1．（25-26九年级上·浙江台州·期中）二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 2．已知点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1，y2大小不确定 3．（25-26九年级上·新疆和田·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 8．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二： 二次函数的y＝x2和y＝﹣x2的图象与性质的综合应用 9．抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点，点A在第二象限， 求：（1）A，B两点的坐标； （2）△AOB的面积． 10．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 12．已知抛物线y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3相交于点A（1，a），求： （1）a的值； （2）另一个交点B的坐标； （3）△AOB的面积． ▲1、二次函数y=x²的图象与性质： 二次函数 y= y＝- 图象 位置开口方向 开口 ,在x轴上方 开口 ,在x轴下方 对称性 关于 对称，对称轴方程是 . 顶点和最值 顶点坐标是 当x=0时，= 当x=0时，= 增减性 在对称轴左侧递 ，在对称轴右侧递 . 在对称轴左侧递 ，在对称轴右侧递 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2二次函数的图象与性质 导学案 第1课时 y=x²和y=﹣x²的图象与性质 1.知道二次函数的图象是一条抛物线。 2.会画二次函数 y = x² 与 y = -x² 的图象。 3.掌握二次函数 y = x² 与 y = -x² 的性质，并会灵活应用。 学习重点：掌握 y = x² 和 y = -x² 的图象基本性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性）。 学习难点：熟练运用描点法以及对称性原理，在实际问题中灵活应用这些性质。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①一次函数的图象是一条 直线；反比例函数的图象是双曲线。 ②通常怎样画一个函数的图象？（提示：列表，描点，连线） 答： 列表，描点，连线 ③二次函数的一般形式为： (是常数，) 答：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0). 2.情景引入 二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.在二次函数中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ 我们先来研究最简单的二次函数，你能画出二次函数y=x2的图象吗？试一试！ 新知自研：自研课本第32--33页的内容． 【学法指导】 自研课本P32-33页的内容，思考： ●探究一：二次函数y=的图象与性质 问题引入： ◆1.议一议 ①画二次函数y= 的图象. 【解答】解： （1）列表：观察y = 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　 对应点的坐标为：(-3,9) (-2,4) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,4) (3,9) （2）描点：根据表中x,y的数值在直角坐标系中描点； （3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到y= 的图象，如图所示. ②对于二次函数y＝的图象， (1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流． 解：二次函数y= 的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. (2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 解：图象与x轴有一个交点，即原点(0,0). (3)当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？ 解：由图象可得，当x<0时，图象从左到右是下降的，y随x的增大而减小； 当x>0时，图象从左到右是上升的，y随x的增大而增大. (4)当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？ 解：由图象可得，图象有一个最低点（0，0），即x=0时，y有最小值是0. (5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 解：这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,它是图象的最低点，为(0,0). ◆2.知识归纳 二次函数y=的图象： 二次函数y=的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图象的最低点. 二次函数y=的性质(增减性)： 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而减小； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而增大； 当x=0时，y有最小值0. ◆3.练一练 已知点(－3，)，(1，)，(，)都在函数y＝的图象上，则、、的大小关系是________． 解：方法一：把x＝－3，，1，分别代入y＝中， 得＝9，＝1，＝2，则>>； 方法二：如图，作出函数y＝的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知>>； 方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，)关于y轴的对称点为(3，)． 又∵3>>1，∴>>. ●探究二：二次函数 的图象与性质 ◆1.做一做 二次函数y=－的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象，它与二次函数y=的图象有什么关系？与同伴进行交流． 【解答】解：（1）列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =- … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 对应点的坐标：(-3,-9) (-2,-4) (-1,-1) (0,0) (1,-1) (2,-4) (3,-9) （2）描点：根据表中x,y的数值在直角坐标系中描点； （3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到y=−的图象，如图所示. 思考：仿照y=的性质说出y=－有哪些性质？ ◆2.知识归纳 二次函数y=−的图象： 二次函数y=−的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图象的最高点. 二次函数y=−的性质(增减性)： 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而增大； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而减小； 当x=0时，y有最大值0. ◆3.议一议 对比二次函数y=和y=-的图象与性质，它们有什么相同点和不同点？ 二次函数 y= y＝- 图象 位置开口方向 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点和最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，=0 当x=0时，=0 增减性 在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 ◆4.练一练 抛物线y=和y=-的关系是(　　) A.开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B.开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C.开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D.开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 解：A. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象． 【解答】解：S=（a>0） 列表： a 0 1 2 3 … S 0 1 4 9 … 描点并连线． 例2 已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得y=3x+4， y= 解得x=4，y=6或x=−1,y=1 ∴两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴＝·CO·4＝8，＝×4×1＝2， ∴＝＋＝10. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论二次函数 y = x² 与 y = -x² 的图象与性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 解：C． 2.已知二次函数y=的图象过点（a，b），则它必过的另一点是（ ） A. （a，−b） B. （−a，b） C. （−a，−b） D. （b，a） 解：B． 3.已知正方形的边长为xcm,面积为 y,下列图象能够表示y与x之间的函数关系的是（ ） 解：C. 4.一定在函数y=的图象上的点是( ) A. (-1， 0) B.(1，0) C.(1,-1) D.(-1，1) 解：D． 5. 观察函数y=的图象，下列判断正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 解：A. 6.二次函数 y = -的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________． 解： 7.若点 A(2,m)在抛物线 y=上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是________． 解: (-2，4) 8.已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________. 解：3 9.若点A(-3,),B(-2,)是二次函数y=-图象上的两点，那么与的大小关系是_____________. 解:＞ 10.如图，观察函数y=（ k−3）的图象,则k的取值范围是__________. 解:k＞3 11.函数y=的顶点坐标是_________，若点(n，9)在其图象上，则n= _________. 解:(0，0)，±3 12.若点A(-1,),B(2,)是二次函数y=-图象上的两点，那么与的大小关系是_____________. 解:＞ 13.已知二次函数y=，若x≥m时，y最小值为0，则m的取值范围是________． 解:m≤0 14.若等腰直角三角形的斜边长为2x cm，其面积为y. (1)求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围; (2)列出x=，1，，2，2，3时，y与x的对应值表; (3)画出y关于x的函数图象. 解：(1)y=(x＞0). (2)列表如下： x 1 2 2 3 y= 1 4 9 (3)函数图象如图所示： 题型一： 二次函数的y＝x2和y＝﹣x2的图象与性质 1．（25-26九年级上·浙江台州·期中）二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 2．已知点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1，y2大小不确定 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵函数y＝﹣x2， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∵0＜1＜2， ∴y2＜y1， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·新疆和田·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 直接计算各点的函数值，再比较值大小即可． 【详解】解：∵点，，都在二次函数的图象上， ∴ , , ， 故 ， 故选：A． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 5．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数在的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值． 【详解】解：∵是开口向上的抛物线，顶点在， ∴ 当时，为最小值， 当时，； 当时，， ∴在时， 最大值为9， 因此 y 的取值范围是． 故选：C． 6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上，则，回代解析式得即，解答即可． 【详解】解：设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上， 则，回代解析式得即， 故抛物线的表达式为． 故选：C． 7．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移的方向和距离是解题的关键．根据A、B点的坐标特征可知向左平移2个单位满足题意，则平移后的C点的坐标为，代入抛物线解析式，即可求得a的值． 【详解】解：，，轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， 故选：D． 8．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．通过计算点和点的纵坐标表达式，比较大小关系，结合抛物线的性质进行判断即可． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， 选项A：当时， ， ， ，选项A正确； 选项B：当时， 即， ， ， ， ，选项B正确； 选项C：当时， ， ，选项C正确； 选项D：当时， 即， ， 但选项D要求，而不一定满足（例如时但）， 选项D错误； 故选：D． 题型二： 二次函数的y＝x2和y＝﹣x2的图象与性质的综合应用 9．抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点，点A在第二象限， 求：（1）A，B两点的坐标； （2）△AOB的面积． 【分析】（1）联立抛物线y＝x2与直线y＝x+2，即可求出点A、B坐标； （2）由一次函数解析式可知OC＝2，再根据S△AOB＝S△ACO+S△BCO可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点， 联立两函数解析式得： ，解得：或， 故点A坐标为（﹣1，1），点B坐标为（2，4）； （2）令x＝0，则y＝x+2＝2，得C（0，2）， 故CO＝2． 观察图象可知， S△AOB＝S△ACO+S△BCO ＝3． 【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，解出A、B两点的坐标是解题的关键． 10．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 12．已知抛物线y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3相交于点A（1，a），求： （1）a的值； （2）另一个交点B的坐标； （3）△AOB的面积． 【分析】（1）直接把A（1，a）代入直线y＝2x﹣3可求出a的值； （2）根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题，解方程组即可得到另一个交点B的坐标； （3）先确定直线y＝2x﹣3与y轴交于点C的坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△OAC+S△OBC进行计算． 【详解】解：（1）把A（1，a）代入y＝2x﹣3得2﹣3＝a， 所以a＝﹣1； （2）解方程组得或， 所以另一个交点B的坐标为（﹣3，﹣9）； （3）如图，直线y＝2x﹣3与y轴交于点C（0，﹣3）， 所以△AOB的面积＝S△OAC+S△OBC •3•1•3•3 ＝6． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题． 二次函数 y= y＝- 图象 位置开口方向 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点和最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，=0 当x=0时，=0 增减性 在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $