专题01 勾股定理及其逆定理（5大知识点+9大考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01勾股定理及其逆定理 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 ☑复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 思维导图串知识 知识点01勾股定理（直角三角形核心性质） 知识点02勾股定理的验证（核心方法） 知识点03勾股定理逆定理（判断直角三角形依据） 知识点 知识点04核心应用场景 勾股定理及其逆定理 知识点05关键易错点与高频考点 【考点1判断勾股数】 【考点2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【考点3勾股定理解三角形】 【考点4勾股定理与网格问题】 【考点5勾股定理与折叠问题】 考点 【考点6勾股定理的实际应用问题】 【考点7利用勾股定理求最短路径问题】 【考点8勾股定理及逆定理的综合问题】 【考点9勾股定理验证及应用问题】 重点速记 属知识点01勾股定理（直角三角形核心性质） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；若直角边为a、b,斜边为c,则公式为a2+b2=c2,最典型 1/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 特例是“勾三股四弦五”(32+42=52)，仅适用于直角三角形。 局知识点02勾股定理的验证（核心方法） 面积法（高频验证思路）：通过拼接图形，使“直角三角形面积”与“正方形梯形面积”建立等式，推导 定理。 常见验证模型： 赵爽弦图：用4个全等直角三角形围成大正方形，大正方形面积=4个直角三角形面积+中间小正方形面 积，即c2=4×号ab+(a-b2,化简得a2+b2=c2。 毕达哥拉斯拼图：用2个全等直角三角形和1个等腰直角三角形围成梯形，梯形面积=3个三角形面积之 和，即号a+ba+b)=2×号b+号c2,化简得a2+b2=c2。 局知识点03勾股定理逆定理（判断直角三角形依据） 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角；作用是 将“边长的数量关系”转化为“三角形的形状”。 属知识点04核心应用场景 求直角三角形边长：已知任意两边，代入定理求第三边（需先确定斜边为最长边）。 判断三角形形状：用逆定理验证任意三角形是否为直角三角形。 解决实际问题：如梯子靠墙求顶端高度、蚂蚁爬长方体圆柱体的最短路径、航海中计算两船距离，关键是 先构建直角三角形模型。 同知识点05关键易错点与高频考点 定理与逆定理的区别：前者是“直角三角形一边长平方关系”（性质），后者是“边长平方关系一→直角三 角形”（判定)，二者互为逆命题。 勾股数：满足a2+b2=c2的正整数组，常见有(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)，熟记可快 速解题。 核心考点举一反三 【考点1判断勾股数】 【例1】(24-25八年级下·四川南充期末)下列各数组中，是勾股数的是() A.1,1,√2 B.1,5,2 C.12,13,5 D.4,5,6 【变式1】(24-25八年级下·安徽马鞍山期末)下列几组数据中，不是勾股数的是() A.3,4,5B.5,12,13 C.7,24,25 D.1,√2,5 【变式2】(24-25八年级下.安徽马鞍山期末)下列各组数为勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.V5,4,V7 C.8,15,17 D.4,5,6 【变式3】(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数的是() A.1,1,2 B.1,V5,2 C.0.5,1.2,1.3 D.6,8,10 【考点2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例2】(24-25八年级下·吉林白山期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AC和BC为边向外作 正方形ADEC和正方形BCFG.若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为() G A.150 B.200 C.225 D.无法计算 【变式1】(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图所示，直线上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为 2和4，则正方形b的面积为() A.2 B.4 C.6 D.10 【变式2】(24-25八年级下·辽宁大连期末)如图，分别以等腰直角△ACD的边AD,AC,CD为直径画 半圆，若当AD=2√2时，则所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）为() E F C B D A.2 B.3 C.2π D.3π 【变式3】(24-25八年级上河南新乡·期末)如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上 分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别 以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次 后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中 所有正方形的面积和为()· 3/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ A.36 B.42 C.48 D.52 【考点3勾股定理解三角形】 【例3】(24-25八年级下·广东江门期末)已知直角三角形的两条直角边的长分别为2√2和8，则斜边长 为 【变式1】(2425九年级上·广东清远期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是 AB边上的中线和高，若AC=6,BC=8,则DE=一 D C B 【变式2】(25-26八年级上·河南新乡·期末)图1是第七届国际数学教育大会(ICME一-7)的会微图案.如 图2所示，如果0A1=AA2=A2A=…=A,Ag=2,那么OA,的长为_ ICME-7 A 图1 图2 【变式3】(24-25八年级上河北唐山期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,射线 BC上有一点P.当△ABP是以BP为腰的等腰三角形时，CP的长为一· CP 4/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【考点4勾股定理与网格问题】 【例4】(24-25八年级下·云南普洱期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形 ABCD的顶点都在格点（网格线的交点）上. (I)求线段BC和CD的长， (②)∠BAD是直角吗？请说明理由， 【变式1】(25-26八年级上广东佛山期末)如图，下面4×4的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1 ，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形 入 图1 图2 图3 (I)在图1中，画一条长度为V18的线段AB; (2)在图2中，画一个ABC,使它的三边长为无理数且面积为5： (3)在图3中，画一个面积为3的四边形 【变式2】(24-25八年级下·湖南长沙期末)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. A (I)求ABC的周长： (2)求∠ABC及ABC的面积. 【变式3】(24-25八年级下·广东阳江·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A,B, C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）· 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)线段AB的长为-，线段BC的长为_-： (2)判断线段AB与线段BC之间的位置关系. 【考点5勾股定理与折叠问题】 【例5】（24-25八年级下，湖南邵阳·期末)如图，将长为4cm,宽为2cm的长方形纸片ABCD折叠，使点 B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN.则线段CN的长为一· A E B1-- 【变式1】(24-25八年级上·四川成都期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,将矩形纸片 折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则GD的长为」 B H C 【变式2】(24-25八年级下·北京朝阳期末)如图，在ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边BC,AB上， 连接DE,将BDE沿DE折叠，点B的对应点为F,点F刚好落在AC边上.图中与线段BD相等的线段 是 若BC=5,CF=√5，则BD的长为 D A E B 【变式3】(24-25八年级上·河南郑州期末)如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在边 AB,CD上，沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. 6/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G R B(M) 图1 图2 (1)如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN= (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为 【考点6勾股定理的实际应用问题】 【例6】(2425八年级下·湖北黄石期末)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上 行驶速度不得超过70k/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车 速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速 了吗？（参考数据转换：lm/s=3.6kmh) 小汽车 小汽车 B -。C A 检测仪 【变式1】(24-25八年级下·湖南长沙期末)树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯， 将楼梯台阶完全盖住.已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C=90°，AC=3m,AB=5m· 5m 3m B (I)求BC的长； (2)若己知楼梯宽2.8m,每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶.（假设地毯在铺的 过程中没有损耗) 【变式2】(24-25八年级下·安徽合肥期末)小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度 CE的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得AE的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段BC)的长为25米： ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段AB的长）为1.5米。 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7分71117171777171777 (1)求风筝的垂直高度（线段CE的长）： (2)如果小望想使风筝沿CE下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 【变式3】(24-25八年级下·陕西延安期末)某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活 动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.测量结果如下表， 项目名称 测量学校旗杆的高 某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究.他们制订了测量方案， 项目背景 并进行实地测量. M ①如图，旗杆MW垂直地面.将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面， 发现多出了一段绳子E.用皮尺测出E的长度；②随后小丽 项目方案 同学将绳子末端E放置于头顶A处，沿NB方向后退，直到绳子 拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处.用皮尺测出小丽的 身高AB及点B与旗杆底端N的水平距离. N龙 B 测量数据 NE =0.5m BN 6m,AB =1.5m 请根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高， 【考点7利用勾股定理求最短路径问题】 【例7】(25-26八年级上河南新乡期末)某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题 探索与分析。 【提出问题】己知0<x<1,求V1+x2+1+(1-x)2的最小值. 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为V+x和V1+1-x)2的线 段，将代数求和转化为线段求和问题. 【解决问题】(I)如图，我们可以构造出边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点，设BP=x,则 CP=1-x,则1+x+1+(1-x2= 8/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (2)在(1)的条件下，已知0<x<1,请结合图形求V+x+V1+1-x)2的最小值： 【应用拓展】(3)直接写出9+？+V9+(V3-x的最小值为 【变式1】(24-25八年级上陕西榆林期末)如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为3cm的正 方形，高为20cm. B年 20cm 3cm (1)一只蚂蚁在A点（容器外部）发现容器的外部距离顶部2cm处的C点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以 最短的路程到达C处.请问蚂蚊走的最短路程是多少？ (②)小明想用一根彩带从容器底面A点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达B点（假设彩带完美贴合长方体 的表面，彩带宽度不计)·请问彩带的长度最短是多少？ 【变式2】(23-24八年级下山东聊城期中)【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2， A和B是一个台阶两个相对的端点. 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚊沿着台阶爬到B点的 最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15 的长方形，连接AB,经过计算得到AB长度为 ,就是最短路程 【变式探究】 (2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿着玻 璃杯的侧面到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为 9/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20 子 图① 图② 图③ 图④ 【拓展应用】 (3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此 时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行 的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【变式3】(24-25八年级上·广东深圳月考)如图，己知圆柱底面的周长为12cm,圆柱的高为8cm,在圆 柱的侧面上，过点A,C嵌有一圈长度最短的金属丝， A 图1 图2 图3 (I)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (2)如图1，该金属丝长度最短需要 cm (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴峰蜜，此时一 只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1©m,且与峰蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最 短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【考点8勾股定理及逆定理的综合问题】 【例8】(24-25八年级上·重庆江北期末)如图，在河流的一侧有一村庄C,河边有两个取水点A、B,村 庄修建了道路CA和CB,其中CA=AB.由于某种原因，道路CA不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在 河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并修建道路CH.经测量：CB=25百米，CH=24百米， HB=7百米. 10/18 专题01 勾股定理及其逆定理 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 勾股定理（直角三角形核心性质） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；若直角边为a、b，斜边为c，则公式为a2 + b2= c2，最典型特例是“勾三股四弦五”(32 + 42= 52)，仅适用于直角三角形。 知识点02 勾股定理的验证（核心方法） 面积法（高频验证思路）：通过拼接图形，使“直角三角形面积”与“正方形/梯形面积”建立等式，推导定理。 常见验证模型： 赵爽弦图：用4个全等直角三角形围成大正方形，大正方形面积 = 4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积，即c2= 4×ab + (a - b)2，化简得a2 + b2= c2。 毕达哥拉斯拼图：用2个全等直角三角形和1个等腰直角三角形围成梯形，梯形面积 = 3个三角形面积之和，即(a + b)(a + b) = 2×ab + c2，化简得a2 + b2= c2。 知识点03 勾股定理逆定理（判断直角三角形依据） 若三角形三边长a、b、c满足a2 + b2= c2，则该三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角；作用是将“边长的数量关系”转化为“三角形的形状”。 知识点04 核心应用场景 求直角三角形边长：已知任意两边，代入定理求第三边（需先确定斜边为最长边）。 判断三角形形状：用逆定理验证任意三角形是否为直角三角形。 解决实际问题：如梯子靠墙求顶端高度、蚂蚁爬长方体/圆柱体的最短路径、航海中计算两船距离，关键是先构建直角三角形模型。 知识点05 关键易错点与高频考点 定理与逆定理的区别：前者是“直角三角形→边长平方关系”（性质），后者是“边长平方关系→直角三角形”（判定），二者互为逆命题。 勾股数：满足a2 + b2= c2的正整数组，常见有（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）、（7,24,25），熟记可快速解题。 【考点1 判断勾股数】 【例1】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数的定义：如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 【考点2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例2】（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为2和4， ∴，， ∴， 即正方形的面积为6． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键． 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于． 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积， ∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4． ∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； …… ∴每增加一次操作，面积就增加4， ∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为． 故选C． 【考点3 勾股定理解三角形】 【例3】（24-25八年级下·广东江门·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和8，则斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】根据勾股定理得： 斜边长为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，已知在中，，、分别是边上的中线和高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理在三角形中的应用，熟练掌握勾股定理解三角形是关键．利用勾股定理求出的长，然后根据是边的中线，求出的长，再利用求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出最终结果． 【详解】解：在中，， 是边的中线， ， 是的高线， ， ∴， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探索．根据勾股定理可以求得的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故答案为：6 【变式3】（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【考点4 勾股定理与网格问题】 【例4】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理和利用网格求三角形面积是解题关键． （1）根据画图即可； （2）根据画图即可； （3）根据画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，四边形即为所求， 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)求的周长； (2)求及的面积． 【答案】(1)的周长为5+3 (2)，的面积为5 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，证明三角形是直角三角形是解题的关键； （1）根据勾股定理分别求出三角形三边长即可推出结果； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，即可推出结果． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ， 的周长； （2）解：， 是直角三角形，且， ． 【变式3】（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 【考点5 勾股定理与折叠问题】 【例5】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【详解】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 【变式2】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 【考点6 勾股定理的实际应用问题】 【例6】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 【变式3】（24-25八年级下·陕西延安·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目名称 测量学校旗杆的高 项目背景 某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 项目方案 ①如图，旗杆垂直地面．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，发现多出了一段绳子．用皮尺测出的长度；②随后小丽同学将绳子末端放置于头顶处，沿方向后退，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出小丽的身高及点与旗杆底端的水平距离． 测量数据 ，，． 请根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【答案】学校旗杆的高为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设，过点作于点，在中根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：过点作于点， ， ∴四边形是矩形， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得： 即 解得， ， 答：学校旗杆的高为． 【考点7 利用勾股定理求最短路径问题】 【例7】（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 【变式3】（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 【考点8 勾股定理及逆定理的综合问题】 【例8】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【答案】(1)是，理由见解析 (2)新路比原路少百米 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 【答案】(1) (2)468000元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用． （1）直接利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而求出空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴. 故的长为； （2）解：∵， ∴. ∴是直角三角形，. ∴该空地的面积为， (元) ． 故将这块地打造成公园需要468000元． 【变式3】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远洋”号、“神鹰”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远洋”号每小时航行，“神鹰”号每小时航行，它们离开港口三个半小时后分别位于点，处，且相距． (1)试判断的形状； (2)如果知道“神鹰”号沿北偏西方向航行，你知道“远洋”号沿哪个方向航行吗? 【答案】(1)直角三角形 (2)北偏东方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方向角的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据路程速度时间，计算得出、的长，再由勾股定理逆定理计算即可得解； （2）由题意可得，由（1）知，求出，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ， 为直角三角形． （2）解：“神鹰”号沿北偏西方向航行， ∴， 由（1）知， ， “远洋”号沿北偏东方向航行． 【考点9 勾股定理验证及应用问题】 【例9】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 【变式3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股数定义，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（ ） A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有 B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，边、、的长分别是，，，则 D．在中，若，，，分别是，，的对边，则 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，勾股定理的内容：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在运用的时候一定要分清楚直角边和斜边，掌握勾股定理的运用是解本题的关键．根据勾股定理逐项求解判断即可． 【详解】解：A、无法确定、、哪条是斜边，故无法确定，此说法错误； B、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误； C、由，故是斜边，则，此说法错误； D、由，可得是斜边，故，此说法正确． 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题． 画出展开图，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵圆柱底面周长为20，高为12， ∴，， 根据勾股定理可得． 故选：B． 5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 7．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 9．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质. 连接，证明得出，进而求得，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中有一长方形，点B的坐标为为x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，的长为 ． 【答案】或10 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，掌握知识点是解题的关键． 先由题意求出，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，轴，轴， ∵B的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： ①当点D在x轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②当点D在x轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或10． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 12．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在长方形中，将沿着折叠，得到，与相交于点E． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据折叠的性质可知，根据证明即可； （2）根据得到，，设，，根据勾股定理列方程求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知 ∵ ，， ∴（）； （2）解：∵ ∴， 在直角，，设，， ， 即 解得 则，， ∴的面积． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，． (1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？ (2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)的长是攀梯A到泳道l的最近距离，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理，推导出，即，由垂线段最短，得到的长是攀梯A到泳道l的最近距离，即可解答； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下： 在中， ， ，即， 由垂线段最短， 的长为攀梯A到泳道l的最近距离． （2）， ． 在中， ． 答：的长度为． 14．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 15．（24-25八年级上·吉林·期末）如图：已知中，，的面积是12，于点，点在直线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连结，当与全等时，求值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，， ∵， ∴，即点P与点B重合， ； 当，点在点左侧时，， ， ∴； 当点在点右侧，， ， ∴； 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $