第05课 展开与折叠（导学案）五年级数学寒假自学课（北师大版）

第05课 展开与折叠 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、操作和想象，认识长方体和正方体的展开图，理解立体图形与平面展开图之间的对应关系。 （2）能正确判断给定的平面图形是否为长方体或正方体的展开图，掌握展开图中相对面的位置特征。 （3）能根据展开图想象立体图形的形状，初步培养空间观念和几何直观能力，能运用展开图解决简单的折叠问题。 2.重难点 重点：认识长方体和正方体展开图的特征，判断平面图形能否折叠成相应的立体图形。 难点：建立平面图形与立体图形的转化观念，准确识别展开图中的相对面。 模块二 预习引导 一、展开图的基本概念 1.定义： 将立体图形的表面沿棱剪开，展开后得到的平面图形叫作这个立体图形的展开图。 2.本质： 展开图是立体图形所有面的平面排列形式，6个面通过边相连，无重叠、无遗漏。 二、正方体展开图的特征 面的数量：由6个完全相同的正方形组成（与正方体6个面对应）。 1.基本类型（可通过“1-4-1型”“2-3-1型”“2-2-2型”“3-3型”记忆，无需死记硬背，重点观察规律）： 1-4-1型：中间4个正方形连成一排，上下各1个正方形（如“一”字排开的4个正方形，上下各1个）； 2-3-1型：中间3个正方形连成一排，上方2个正方形，下方1个正方形（注意上下正方形不与中间同列）； 2.特殊类型： 2-2-2型（3列各2个正方形）、3-3型（2列各3个正方形）。 关键判断：展开图中不能出现“田”字形（4个正方形组成田字格，无法折叠成正方体）或“凹”字形（某一方块凹陷，无法闭合）。 三、长方体展开图的特征 面的数量： 由6个长方形（特殊情况有2个相对面是正方形）组成，相对的面完全相同。 相对面位置： 在展开图中，相对的面不相邻（中间至少隔一个面），且形状、大小完全相同。 与正方体展开图的联系： 正方体展开图是特殊的长方体展开图（所有面都是正方形）。 四、动手操作与观察 制作展开图： 找一个正方体包装盒（如魔方盒、骰子盒），沿棱剪开（不剪断），得到展开图，标注“上、下、前、后、左、右”6个面； 用方格纸画出2-3种不同的正方体展开图，尝试折叠成正方体，观察哪些面是相对的。 折叠验证： 从课本或练习册中选取平面图形，判断能否折叠成正方体/长方体，再动手折叠验证； 用长方形纸剪出长方体展开图（注意相对面大小相同），折叠后观察长、宽、高与展开图的对应关系。 五、相对面的识别技巧 “隔一相对”法：在同一行或同一列中，中间隔一个面的两个面是相对面（如“1-4-1型”展开图中，上下两个面相对，中间四个面中第1个和第3个相对、第2个和第4个相对）； “Z字两端”法：呈“Z”字形排列的两个面是相对面（适用于非同一行/列的情况）。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下列图中能折成正方体的是（　　） A． B． C． 【答案】C 【解析】【分析】折合以后既不重合有没有缺面的只有C 2．下列展开图中，不能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：选项A，能围成正方体，即错误； 选项B，不能围成正方体，即正确； 选项C，能围成正方体，即错误； 选项D，能围成正方体，即错误。 故答案为：B。 【分析】正方体展开有11种，规律如下：中间4个一连串，两边各一随便放；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一。三个两排一对齐。先找同层隔一面，再找异层隔两面，剩下两面必相对，两个起头按顺序。 3．如图图形是正方体平面展开图的共有（　　）个。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【解析】从左往右，图1、2、4是正方体的展开图。 故答案为：B。 【分析】正方体的展开图有如下类型：第一类，141型，中间四连方，两侧各一个，共六种；第二类，132型，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种；第三类，222型，中间二连方，两侧各有二个，只有一种；第四类，33型，两排各三个，只有一种，据此判断。 4．下面的图形中，折叠后能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：折叠后能围成正方体的是第一个图形。 故答案为：A。 【分析】正方体的平面展开图共11种情况。 5．下列几何图形的展开图中，不能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：B、C、D都能围成正方体，A不能围成正方体。 故答案为：A。 【分析】沿着折痕折叠后有重叠的面就不能围成正方体，没有重叠的面就能围成正方体。 6．观察正方体的展开图，与“校”字所在面相对的的字是（　　） A．美 B．丽 C．平 D．安 【答案】B 【解析】解：与“校”字所在面相对的的字是“丽”。 故答案为：B。 【分析】正方体展开图找相对面的方法：“Z”字型两端紧挨着中间竖线的两个面是相对面。 7．下图是一个正方体展开图，要把这个展开图重新折叠成正方体，折叠后与A点重合的是（　　）。 A．O点 B．M点 C．P点 D．N点 【答案】B 【解析】解：折叠后与A点重合的是M点。 故答案为：B。 【分析】折叠后的正方体如图： 8．“创建文明城市，构建美丽家园”，福星小区要建一个正方体宣传箱。下图是它的展开图，在宣传箱上与“市”字相对的是（　　） A．文 B．建 C．创 D．市 【答案】C 【解析】解：明是底面，文是左面，城是右面，建是上面，创是后面，市与创相对。 故答案为：C。 【分析】把一个面作为底面，折叠后确定每个面的位置，然后确定哪些面是相对的面即可。 二、填空题 9．用做一个，2的对面是　 　，6的对面是　 　。 【答案】4；1 【解析】用做一个，2的对面是4，6的对面是1。 故答案为：4；1。 【分析】根据长方体的特征可知，1和6相对，2和4相对，3和5相对。 10．折一折，用 做一个 ，“三”的对面是“　 　”。 【答案】我 【解析】解：“三”的对面是“我”。 故答案为：“我”。 【分析】相对面的特征：三个正方形排成一行的两端；“Z”字形是两端。 11．用 做一个 ，“好”的对面是　 　，“小”的对面是　 　。 【答案】朋；友 【解析】好”的对面是朋；“小”的对面是友。 故答案为：朋；友。 【分析】正方体找对面的方法：同行或同列隔一个的两个面是对面。 12．做一个 “2”的对面是“　 　”，“5”的对面是“　 　”。 【答案】4；6 【解析】做一个 “2”的对面是“4”，“5”的对面是“6”。 故答案为：4；6。 【分析】如果2是底面，那么1和3就是左右面，5和6就是前后面，4就是上面。 13．如图中的正方体，用两个平面去截这个正方体，请你在这个正立方体的展开图中画出相应的截线。　 　 【答案】 【解析】解：作图如下： 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意找到图中对应的顶点．本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题关键。 14．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是　 　。 【答案】2、8 【解析】解：与4重合的数字是2、8.故答案为：2、8 【分析】观察正方体的展开图，可以确定每个顶点折叠后的对应位置。当把这个平面图形折成正方体时，左面5个正方形折成一个无盖的正方体。1与13重合，2与4重合，5与7重合，10与12重合。最右边的一个正方形折成正方体的盖，此时8与2，4重合，9与1，13重合，与4重合的数字是2，8。 15．如下图，把它折叠起来，可以围成一个　 　。这时1号和　 　相对；6号和　 　相对。 【答案】正方体；3号；5号 【解析】解：把它折叠起来，可以围成一个正方体。这时1号和3号相对；6号和5号相对。 故答案为：正方体；3号；5号。 【分析】正方体展开图找对面的方法：同行或同列隔一个面的两个面是对面。 16．下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是　 　，宽是　 　，高是　 　。（单位：厘米） 【答案】9cm；3cm；3cm 【解析】这个长方体的长是9cm，宽是3cm，高是3cm。 故答案为：9cm、3cm、3cm。 【分析】长方体中相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。一般情况下，正对着我们的那条横的棱叫长，竖着的棱叫高，左右两边横着的棱叫宽。 17．一个正方体6个面上分别写着A，B，C，D，E，F，根据下面三种情况，判断每个字母的对面的字母是什么？ 与A相对的面是　 　；与B相对的面是　 　；与C相对的面是　 　。 【答案】E；F；D 【解析】解：A与B、C、D、F都相邻，所以与A相对的面是E； B与A、C、D、E都相邻，所以与B相对的面是F； C与A、B、E、F都相邻，所以与C相对的面是D。 故答案为：E；F；D。 【分析】正方体的对面不相邻，据此通过排除法和相邻面的公共边关系确定每个字母的对面。 18．将如图的展开图围成一个正方体后，与“您”字相对的是 　 　。 【答案】“乐” 【解析】解：与“您”字相对的是“乐”。 故答案为：“乐”。 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此数属于正方体展开图的“1－3－2”型，折成正方体后，汉字“快”与“健”相对，“康”与“祝”相对，“您”与“乐”相对。 三、判断题 19．下面的图形沿线可以折成一个正方体。(　　) 【答案】错误 【解析】解：下面的图形沿线不可以折成一个正方体。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】折叠后没有重叠的面就能围成正方体，折叠后有重叠的面就不能围成正方体。 20．如果左面看到是B面，前面看到是F面，则E面可能是下面。（　　） 【答案】正确 【解析】 如果左面看到是B面，前面看到是F面，则E面可能是下面，此题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】此题主要考查了长方体的展开图，如果左面看到是B面，则右面看到的是D面，前面看到是F面，则后面看到的是A面，则E面可能是下面，那么C面在上面，据此判断。 21．如果从左面看到是B面，前面看到的是F面，则C面是下面。（　　） 【答案】正确 【解析】解：从左面看到是B面，D面就是右面； 前面看到的是F面，A面就是后面； 则E面就是上面，C面是下面。 故答案为：正确。 【分析】正方体找对面的方法：同行或同列隔一个面的两个面是对面；最好的方法是亲自动手折一折。 22．下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。（　　） 【答案】正确 【解析】解：图中是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】1和4是相对的，2和6是相对的，3和5是相对的。 23．若一个长方体有4个面的面积相等，则其余两个面是正方形。(　　) 【答案】正确 【解析】解： 长方体相对面面积相等。4个面面积相等，说明这4个面中对应的棱长度有相等情况，那么剩下两个相对的面边长必然相等，所以是正方形 。 故答案为：正确 【分析】 长方体相对面面积相等，共三组相对面。 若4个面面积相等，比如前、后、左、右4个面。这表明面的边长关系中，必有一组棱长度相等。那么剩下的上、下两个相对面，其边长都等于这组相等的棱，所以这两个面是正方形。 24．长方体的展开图一定是由六个长方形组成的，不可能有正方形。（　　） 【答案】错误 【解析】长方体的6个面在特殊情况下有可能有2个面是正方形。所以长方体的展开图也有可能有两个面是正方形。 故答案为：错误 【分析】6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形是长方体。 25．若一个长方体的侧面展开图是正方形，则这个长方体的底面周长和高相等。（　　） 【答案】正确 【解析】解：若一个长方体的侧面展开图是正方形，则这个长方体的底面周长和高相等。 故答案为：正确 【分析】长方体的侧面展开图是由长方体的四个侧面组成，如果展开图是正方形，那么这个正方形的边长就是长方体的高，而这个正方形的周长就是长方体的底面周长。 26．将长方体纸盒沿不同的边剪开，得到的图形一般也不同，但都有3组相同的。每组中的两个面不相连。(　　) 【答案】正确 【解析】解：将长方体纸盒沿不同的边剪开，得到的图形一般也不同，但都有3组相同的。每组中的两个面不相连。 故答案为：正确。 【分析】长方体有6个面，相对的面相同，所以有3组相同的面。 四、解答题 27．把长方体纸盒剪开，得到它的展开图，请你标出长方体的下面、后面和左面。 【答案】解： ​​​​​​​ 【解析】【分析】 长方体的下面位于上面的对面，后面位于前面的对面，左面位于右面的对面，据此判断。 28．王师傅要利用一张长50cm、宽40cm的长方形铁皮做一个深10cm的无盖长方体铁盒，这个长方体铁盒的容积是多少？(不计铁皮的厚度) 【答案】解：10×2=20(cm) (50-20)×(40-20)×10 =30×20×10 =6000(cm3) ​​​​ 答：这个长方体铁盒的容积是6000毫升。​​​ 【解析】【分析】看图及根据题意可知这个铁盒的高是10cm，长和宽都等于原长方形铁皮长和宽减去两个角上剪去的两个小正方形的边长即铁盒的高10cm，因此，长方形铁皮的长－长方体铁盒的高×2=铁盒的长，长方形铁皮的宽－长方体铁盒的高×2=铁盒的宽，（长方形铁皮的长－长方体铁盒的高×2）×（长方形铁皮的宽－长方体铁盒的高×2）×铁盒的高=铁盒的容积；最后需要转化单位：1立方厘米=1毫升。 29．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 【答案】解：周长最小： （3×1＋2×2＋1×4）×2 ＝（3＋4＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 周长最大： （3×4＋2×2＋1×1）×2 ＝（12＋4＋1）×2 ＝17×2 ＝34（厘米） 答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。 【解析】【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米(红色)，2条宽2厘米(紫色)，4条高1厘米(绿色)，那么周长最小是 (3×1+2×2+1×4)×2厘米； 如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米(红色)，2条宽2厘米(紫色)，1条高1厘米(绿色)，那么周长最大是(3×4+2×2+1×1)×2厘米。 30．一块长24cm、宽14cm的长方形铁皮，先在四个角上分别剪去边长为4cm的正方形(如图)，再将它焊成一个无盖的盒子。如果忽略铁皮的厚度，那么这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】长： 24-4-4=16厘米 宽： 14-4-4=6厘米 16×6×4=384 (立方厘米) 【解析】【分析】这是一个长方体的展开图，从图中可以看出长=24-4-4=16（厘米）；宽=14-4-4=6（厘米）；而高就是4厘米，最后利用长方形的体积公式求出即可。 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05课 展开与折叠 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、操作和想象，认识长方体和正方体的展开图，理解立体图形与平面展开图之间的对应关系。 （2）能正确判断给定的平面图形是否为长方体或正方体的展开图，掌握展开图中相对面的位置特征。 （3）能根据展开图想象立体图形的形状，初步培养空间观念和几何直观能力，能运用展开图解决简单的折叠问题。 2.重难点 重点：认识长方体和正方体展开图的特征，判断平面图形能否折叠成相应的立体图形。 难点：建立平面图形与立体图形的转化观念，准确识别展开图中的相对面。 模块二 预习引导 一、展开图的基本概念 1.定义： 将立体图形的表面沿棱剪开，展开后得到的平面图形叫作这个立体图形的展开图。 2.本质： 展开图是立体图形所有面的平面排列形式，6个面通过边相连，无重叠、无遗漏。 二、正方体展开图的特征 面的数量：由6个完全相同的正方形组成（与正方体6个面对应）。 1.基本类型（可通过“1-4-1型”“2-3-1型”“2-2-2型”“3-3型”记忆，无需死记硬背，重点观察规律）： 1-4-1型：中间4个正方形连成一排，上下各1个正方形（如“一”字排开的4个正方形，上下各1个）； 2-3-1型：中间3个正方形连成一排，上方2个正方形，下方1个正方形（注意上下正方形不与中间同列）； 2.特殊类型： 2-2-2型（3列各2个正方形）、3-3型（2列各3个正方形）。 关键判断：展开图中不能出现“田”字形（4个正方形组成田字格，无法折叠成正方体）或“凹”字形（某一方块凹陷，无法闭合）。 三、长方体展开图的特征 面的数量： 由6个长方形（特殊情况有2个相对面是正方形）组成，相对的面完全相同。 相对面位置： 在展开图中，相对的面不相邻（中间至少隔一个面），且形状、大小完全相同。 与正方体展开图的联系： 正方体展开图是特殊的长方体展开图（所有面都是正方形）。 四、动手操作与观察 制作展开图： 找一个正方体包装盒（如魔方盒、骰子盒），沿棱剪开（不剪断），得到展开图，标注“上、下、前、后、左、右”6个面； 用方格纸画出2-3种不同的正方体展开图，尝试折叠成正方体，观察哪些面是相对的。 折叠验证： 从课本或练习册中选取平面图形，判断能否折叠成正方体/长方体，再动手折叠验证； 用长方形纸剪出长方体展开图（注意相对面大小相同），折叠后观察长、宽、高与展开图的对应关系。 五、相对面的识别技巧 “隔一相对”法：在同一行或同一列中，中间隔一个面的两个面是相对面（如“1-4-1型”展开图中，上下两个面相对，中间四个面中第1个和第3个相对、第2个和第4个相对）； “Z字两端”法：呈“Z”字形排列的两个面是相对面（适用于非同一行/列的情况）。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下列图中能折成正方体的是（　　） A． B． C． 2．下列展开图中，不能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 3．如图图形是正方体平面展开图的共有（　　）个。 A．2 B．3 C．4 4．下面的图形中，折叠后能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 5．下列几何图形的展开图中，不能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 6．观察正方体的展开图，与“校”字所在面相对的的字是（　　） A．美 B．丽 C．平 D．安 7．下图是一个正方体展开图，要把这个展开图重新折叠成正方体，折叠后与A点重合的是（　　）。 A．O点 B．M点 C．P点 D．N点 8．“创建文明城市，构建美丽家园”，福星小区要建一个正方体宣传箱。下图是它的展开图，在宣传箱上与“市”字相对的是（　　） A．文 B．建 C．创 D．市 二、填空题 9．用做一个，2的对面是　 　，6的对面是　 　。 10．折一折，用 做一个 ，“三”的对面是“　 　”。 11．用 做一个 ，“好”的对面是　 　，“小”的对面是　 　。 12．做一个 “2”的对面是“　 　”，“5”的对面是“　 　”。 13．如图中的正方体，用两个平面去截这个正方体，请你在这个正立方体的展开图中画出相应的截线。　 　 14．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是　 　。 15．如下图，把它折叠起来，可以围成一个　 　。这时1号和　 　相对；6号和　 　相对。 16．下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是　 　，宽是　 　，高是　 　。（单位：厘米） 17．一个正方体6个面上分别写着A，B，C，D，E，F，根据下面三种情况，判断每个字母的对面的字母是什么？ 与A相对的面是　 　；与B相对的面是　 　；与C相对的面是　 　。 18．将如图的展开图围成一个正方体后，与“您”字相对的是 　 　。 三、判断题 19．下面的图形沿线可以折成一个正方体。(　　) 20．如果左面看到是B面，前面看到是F面，则E面可能是下面。（　　） 21．如果从左面看到是B面，前面看到的是F面，则C面是下面。（　　） 22．下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。（　　） 23．若一个长方体有4个面的面积相等，则其余两个面是正方形。(　　) 24．长方体的展开图一定是由六个长方形组成的，不可能有正方形。(　　) 25．若一个长方体的侧面展开图是正方形，则这个长方体的底面周长和高相等。（　　） 26．将长方体纸盒沿不同的边剪开，得到的图形一般也不同，但都有3组相同的。每组中的两个面不相连。(　　) 四、解答题 27．把长方体纸盒剪开，得到它的展开图，请你标出长方体的下面、后面和左面。 28．王师傅要利用一张长50cm、宽40cm的长方形铁皮做一个深10cm的无盖长方体铁盒，这个长方体铁盒的容积是多少？(不计铁皮的厚度) 29．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 30．一块长24cm、宽14cm的长方形铁皮，先在四个角上分别剪去边长为4cm的正方形(如图)，再将它焊成一个无盖的盒子。如果忽略铁皮的厚度，那么这个盒子的容积是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $