第11课 倒数（导学案）五年级数学寒假自学课（北师大版）

第11课 倒数 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过计算、观察和归纳，理解倒数的意义，知道乘积是1的两个数互为倒数。 （2）掌握求一个数（分数、整数、小数）倒数的方法，能正确求出一个数的倒数。 （3）能区分特殊数（1、0）的倒数情况，理解1的倒数是1，0没有倒数。 （4）能运用倒数的知识解决简单的实际问题，体会倒数在数学中的应用。 2.重难点 重点：理解倒数的意义，掌握求一个数倒数的方法。 难点：理解“互为倒数”的相互关系，掌握特殊数（1、0）的倒数特点。 模块二 预习引导 一、倒数的概念理解 1.复习回顾： 计算下面各题的结果。 ______ ______ ______ 2.概念引入： 观察上面算式的结果，我发现：乘积是______的两个数互为倒数。 例如，和互为______，可以说的倒数是______，的倒数是______。 二、倒数的求法探究 1.分数的倒数： （1）写出的倒数：交换分子和______的位置，得到______。 （2）写出的倒数：______，这个倒数是一个______分数（填“真”或“假”）。 2.整数的倒数： （1）写出5的倒数：可以把5看作分母是______的分数，即，交换分子和分母的位置，得到______。 （2）写出1的倒数：因为______=1，所以1的倒数是______。 3.特殊数的倒数： （1）0有倒数吗？因为0乘任何数都得______，所以0______倒数（填“有”或“没有”）。 （2）小数的倒数：写出0.5的倒数，先把0.5化成分数，再交换分子和分母的位置，得到______。 三、倒数的应用思考 根据倒数的意义判断：，所以是倒数，3也是倒数。这种说法对吗？为什么？ 写出下面各数的倒数，并总结求倒数的方法： ______ 9______ （提示：先化成假分数）______ 0.4______ 方法总结：求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子和分母______。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面各组数中，互为倒数的是（　　） A．2.4和 B．和0.3 C．7和 2．已知a和b互为倒数，那么 (　　) A． B．6 C． 3．a除以b，商正好是b的倒数，a是（　　）。 A．0 B．B C．1 D．不能确定 4．若p和q表示不同的数，则图(　　)中p和q互为倒数。 A． B． C． D． 5．(安徽安庆市)已知，且a、b、c都不等于0，那么这三个数的大小排序是（　　）。 A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>a>c 6．如图是一个正方体的平面展开图。每个面上都填有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么mn＝（　　）。 A． B． C． D． 二、判断题 7．乘积是1的两个数互为倒数。(　　) 8．1除以a(a≠0)，结果等于a的倒数。(　　) 9．2.5×0.4＝1，所以2.5和0.4互为倒数。(　　) 10．所有假分数的倒数都比它本身小。（　　） 11．，那么、和c三个数互为倒数。(　　) 12．求一个不为0的数的倒数，只要把分子和分母交换位置就可以了。（　　） 三、填空题 13．　 　的倒数是0.01；那么1.2的倒数是　 　。 14．如果m和n互为倒数，那么m÷6×n÷8=　 　。 15．　 　＋＝2.5×　 　＝×　 　＝1。 16．a(a不为0)的倒数是 b，则a×b=　 　，　 　。 17． 12×　 　=13÷　 　=0.25×　 　=　 　×4=1。 18． 的倒数是　 　，　 　的倒数是，0.1的倒数是　 　。 19．若a、b互为倒数，则2019+3ab=　 　；若a的倒数是a，b没有倒数，则2019+3ab=　 　。 20． 一个八位数，千万位上的数字是最小质数的平方，十万位上的数字是一位数中最大的合数，千位上的数字是0.5的倒数，其余各位都是0，这个数写作　 　，省略万后面的尾数约是　 　万。 四、解答题 21． 比较 与 的大小。 22．若a与b互为倒数，则 的结果是多少？ 23．写出下面每组数的倒数，看看能发现什么规律。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷3 8 16 24．一个自然数与它的倒数之差是21，这个自然数是多少? 五、解决问题 25． 一个数和它的倒数的和是8.125，这个数是多少? 26．已知两个质数的倒数和是，求这两个质数是多少? 27．m和n互为倒数，且m>n，m+n=4.25，m和n分别是多少? 28．“a是一个整数，它的倒数一定是。”这句话对吗？请说明理由。 29．已知x、y、z均不等于0，请按从小到大的顺序排列x、y、z。 30．（1）m和n都大于0且互为倒数，那么 m+n和 m×n 哪个更大？ （2）m和n互为倒数，且m>n，m+n=4.25，m和n分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11课 倒数 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过计算、观察和归纳，理解倒数的意义，知道乘积是1的两个数互为倒数。 （2）掌握求一个数（分数、整数、小数）倒数的方法，能正确求出一个数的倒数。 （3）能区分特殊数（1、0）的倒数情况，理解1的倒数是1，0没有倒数。 （4）能运用倒数的知识解决简单的实际问题，体会倒数在数学中的应用。 2.重难点 重点：理解倒数的意义，掌握求一个数倒数的方法。 难点：理解“互为倒数”的相互关系，掌握特殊数（1、0）的倒数特点。 模块二 预习引导 一、倒数的概念理解 1.复习回顾： 计算下面各题的结果。 ______ ______ ______ 2.概念引入： 观察上面算式的结果，我发现：乘积是______的两个数互为倒数。 例如，和互为______，可以说的倒数是______，的倒数是______。 二、倒数的求法探究 1.分数的倒数： （1）写出的倒数：交换分子和______的位置，得到______。 （2）写出的倒数：______，这个倒数是一个______分数（填“真”或“假”）。 2.整数的倒数： （1）写出5的倒数：可以把5看作分母是______的分数，即，交换分子和分母的位置，得到______。 （2）写出1的倒数：因为______=1，所以1的倒数是______。 3.特殊数的倒数： （1）0有倒数吗？因为0乘任何数都得______，所以0______倒数（填“有”或“没有”）。 （2）小数的倒数：写出0.5的倒数，先把0.5化成分数，再交换分子和分母的位置，得到______。 三、倒数的应用思考 根据倒数的意义判断：，所以是倒数，3也是倒数。这种说法对吗？为什么？ 写出下面各数的倒数，并总结求倒数的方法： ______ 9______ （提示：先化成假分数）______ 0.4______ 方法总结：求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子和分母______。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面各组数中，互为倒数的是（　　） A．2.4和 B．和0.3 C．7和 【答案】C 【解析】解：选项A，2.4×=5.76，2.4和不是互为倒数； 选项B，×0.3=0.1，和0.3不是互为倒数； 选项C，7×=1，7和互为倒数。 故答案为：C。 【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断。 2．已知a和b互为倒数，那么 (　　) A． B．6 C． 【答案】A 【解析】解：因为ab＝1，所以＝＝＝。 故答案为：A。 【分析】因为a和b互为倒数，所以ab＝1，然后根据分数乘法的计算法则计算＝＝＝。 3．a除以b，商正好是b的倒数，a是（　　）。 A．0 B．B C．1 D．不能确定 【答案】C 【解析】解：a除以b，商正好是b的倒数，即b乘b的倒数等于a；互为倒数的两个数乘积是1，所以a是1。 故答案为：C。 【分析】互为倒数的两个数乘积是1；据此解答。 4．若p和q表示不同的数，则图(　　)中p和q互为倒数。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A：面积1=2p×q÷2=1，即1=q×p，符合题意 ； B：1=（q＋p）×1÷2，（q＋p）=不符合题意： C：1=p＋q，不符合题意； D：1=b×q×p，不符合题意。 故答案为：A。 【分析】本题考验对倒数的性质的理解（互为倒数的两个数相乘得到结果为1），将ABCD四个选项中的图像，根据三角形的面积公式，提醒的面积公式，长度，长方体的面积公式找到与q，p与1的关系，化简后观察是都符合题目要求，即可找到答案。 5．(安徽安庆市)已知，且a、b、c都不等于0，那么这三个数的大小排序是（　　）。 A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>a>c 【答案】D 【解析】解：设=1， ；解得a= ；解得b= =1；解得c= ＞＞ 所以b>a>c。 故答案为：D。 【分析】首先将等式的结果假设为1，据此分别计算出a、b、c的值，比较三个值的大小，可以写出abc的大小排序。 6．如图是一个正方体的平面展开图。每个面上都填有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么mn＝（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：m=，n=1，所以mn=。 故答案为：A。 【分析】根据正方体特征可知，3和相对，m和2相对，n和1相对，根据倒数的意义判断出m和n的值并计算乘积。 二、判断题 7．乘积是1的两个数互为倒数。 【答案】正确 【解析】解：由倒数的定义可知，两个数乘积是1的数互为倒数； 所以乘积是1的两个数互为倒数是正确的． 故答案是：正确． 【分析】根据倒数的定义进行判断即可．本题主要考查倒数的定义，然后进行判断即可． 8．1除以a(a≠0)，结果等于a的倒数。(　　) 【答案】正确 【解析】解：1÷a=，a与互为倒数（a≠0。 故答案为：正确。 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，求一个非0数的倒数=1÷这个数。 9．2.5×0.4＝1，所以2.5和0.4互为倒数。(　　) 【答案】正确 【解析】解： 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 2.5与0.4的乘积为1，所以2.5和0.4互为倒数，题目说法正确。 故答案为：正确 【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答。 10．所有假分数的倒数都比它本身小。（　　） 【答案】错误 【解析】解：假分数大于或等于1，当假分数的分子和分母相等时，它的倒数与它本身相等。 故答案为：错误。 【分析】求一个数的倒数，用1除以这个数，如：1÷=，还等于它本身。 11．，那么、和c三个数互为倒数。(　　) 【答案】错误 【解析】解：、、c为3个数，不符合判定是否互为倒数的条件。 故答案为：错误。 【分析】乘积为1的两个数互为倒数。 12．求一个不为0的数的倒数，只要把分子和分母交换位置就可以了。（　　） 【答案】正确 【解析】解：设一个不为零的数为：，把它的分子和分母调换位置为：。 ×=1。 故答案为：正确。 【分析】两个互为倒数的乘积等于1。求一个不为零的数的倒数：是把这个数的分子和分母交换位置所得到的分数；因两个数的乘积为1，故为互为倒数。 三、填空题 13．　 　的倒数是0.01；那么1.2的倒数是　 　。 【答案】100； 【解析】解：0.01=，100×=1； 1.2=，×=1； 所以100的倒数是0.01，1.2是倒数是。 故答案为：100；。 【分析】一个数的倒数是其乘积为1的数。先将小数转换为分数，然后根据倒数的定义计算出给定数的倒数。 14．如果m和n互为倒数，那么m÷6×n÷8=　 　。 【答案】 【解析】因为m和n互为倒数，所以m×n=1， 所以 ； 故答案为：。 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，所以如果m和n互为倒数，那么mn＝1，代入计算即可。 15．　 　＋＝2.5×　 　＝×　 　＝1。 【答案】​；； 【解析】解：1-= +＝2.5×＝×＝1。 故答案为：；；。 【分析】已知最后的结果是1，用1减去即可求出第一空，后面两题根据倒数的性质解答即可。 16．a(a不为0)的倒数是 b，则a×b=　 　，　 　。 【答案】1；1459 【解析】解：a×b=1 1459b÷ =1459ab =1459 故答案为：1，1459。 【分析】首先根据“互为倒数的两个数的乘积为1”，得出a×b=1，进而化简1459b÷，得到1459ab，代入a×b=1即可。 17． 12×　 　=13÷　 　=0.25×　 　=　 　×4=1。 【答案】；13；4； 【解析】解：1÷12=； 13÷1=13； 1÷0.25=4； 1÷4=。 故答案为：；13；4；。 【分析】此题主要考查了倒数的认识，乘积是1的两个数互为倒数，已知两个数的积与其中一个因数，要求另一个因数，积÷一个因数=另一个因数；已知被除数和商，要求除数，被除数÷商=除数。 18． 的倒数是　 　，　 　的倒数是，0.1的倒数是　 　。 【答案】；；10 【解析】解：1÷= 1÷= 1÷0.1=10。 故答案为：；；10。 【分析】求一个非0数的倒数=1÷这个数。 19．若a、b互为倒数，则2019+3ab=　 　；若a的倒数是a，b没有倒数，则2019+3ab=　 　。 【答案】2022；2019 【解析】解：2019+3ab =2019+3×1 =2022 2019+3ab =2019+3×1×0 =2019 故答案为：2022，2019。 【分析】乘积是1的两个数互为倒数；1的倒数是1，0没有倒数；据此解答即可。 20． 一个八位数，千万位上的数字是最小质数的平方，十万位上的数字是一位数中最大的合数，千位上的数字是0.5的倒数，其余各位都是0，这个数写作　 　，省略万后面的尾数约是　 　万。 【答案】40902000；4090 【解析】解：最小的质数是2，2的平方为4，所以千万位上的数字为4；一位数中最大的合数是9，因此十万位上的数字为9；0.5的倒数是2，所以千位上的数字为2；其余各位数字都为最小的自然数，即0；所以这个八位数写作：40902000。 40902000（省略万位后面的尾数）≈4090万 故答案为：40902000；4090。 【分析】题目要求根据给定的条件，构造一个八位数。首先，需要明确各个位置上的数字分别是什么。最小的质数是2，其平方为4；一位数中最大的合数是9；0.5的倒数是2。然后，根据这些数字，按照题目要求在对应的数位上放置它们，其他位置上补0，得到完整的八位数。最后，省略万位后面的尾数并进行四舍五入得到近似数。首先需要准确理解题目中对各个数位的要求，并正确填入对应的数字；其次，要熟悉四舍五入的规则，当需要省略的位数上的数字小于5时，前一位保持不变，反之则进位. 四、解答题 21． 比较 与 的大小。 【答案】解：的倒数是； 的倒数是 。 因为 ， 所以 。 【解析】【分析】根据“一个分数的倒数越大，这个分数就越小；一个分数的倒数越小，这个分数就越大”的规律，先分别求出这两个分数的倒数： 的倒数是 的倒数是 再进行比较：因为 所以 。 22．若a与b互为倒数，则 的结果是多少？ 【答案】解：因为a与b互为倒数，所以a×b=1 答：的结果是。 【解析】【分析】根据倒数的定义可知a×b=1，代入计算 23．写出下面每组数的倒数，看看能发现什么规律。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷3 8 16 【答案】⑴，，⑵，， ⑶3，10，14 ⑷，， 规律：一个非0整数可以看作分母是1的分数；求一个数的倒数只要将分子与分母颠倒位置即可。 【解析】【分析】乘积为1的两个数互为倒数，1除以一个数等于它的倒数。一个非0整数可以看作分母是1的分数；求一个数的倒数只要将分子与分母颠倒位置即可。 24．一个自然数与它的倒数之差是21，这个自然数是多少? 【答案】解： 因此这个自然数是22。 【解析】【分析】因为自然数是整数，整数倒数的分母就是这个整数，所以这个自然数是22。 五、解决问题 25． 一个数和它的倒数的和是8.125，这个数是多少? 【答案】解：，8和互为倒数，所以这个数是8或 答：这个数是8或 【解析】【分析】根据题意，倒数的知识可知，一个整数的倒数小于或等于1，根据它们的和大于1，可得出它们和的整数部分就是这个数，小数部分就是它的倒数。 26．已知两个质数的倒数和是，求这两个质数是多少? 【答案】解：设这两个质数分别为a，b 那么这两个质数的倒数和为 将35分解质因数是35=5×7 又因为5+7=12，所以这两个质数是5和7 答：这两个质数是5和7。 【解析】【分析】首先假设这两个质数分别为a，b，再用a和b表示出两个质数的的倒数和为，通分计算后为，即a+b=12，ab=35，而7×5=35，且7和5都为质数，且7+5=12，故这两个质数为5和7。 27．m和n互为倒数，且m>n，m+n=4.25，m和n分别是多少? 【答案】解：4.25== 因为m+n=4.25，m和n互为倒数，且m>n 所以 答：m和n分别是4、 【解析】【分析】首先将m和n的和4.25转换为带分数，得到，又已知m和n互为倒数，将拆分为，再根据m>n，即可得到。 28．“a是一个整数，它的倒数一定是。”这句话对吗？请说明理由。 【答案】解：这句话不对。如果a是0，0也是整数，但0没有倒数。 【解析】【分析】求一个数（0除外）的倒数=1÷这个数，因为0不能作除数，所以和这个数不能是0。 29．已知x、y、z均不等于0，请按从小到大的顺序排列x、y、z。 【答案】解：假设。 那么x和互为倒数，， y和互为倒数，y=5 z=。 所以x<z<y。 【解析】【分析】假设可知x和互为倒数，y和互为倒数，分别求出 x、y的值，再比较大小即可 。 30．（1）m和n都大于0且互为倒数，那么 m+n和 m×n 哪个更大？ （2）m和n互为倒数，且m>n，m+n=4.25，m和n分别是多少？ 【答案】（1）解：因为m和n互为倒数，所以 m×n=1，且互为倒数的两个数中必有一个数大于等于1，因此m+n>1，所以 m+n>m×n。 答：m+n 更大。 （2）解：因为 m>n 且互为倒数，所以 n<1，4.25 的小数部分是0.25，0.25=，4+=4.25，所以m=4，n= 答：m=4，n= 【解析】【分析】（1）根据m和n互为倒数写出m和n的关系式；互为倒数的两个数中，真分数的倒数一定是假分数，1的倒数是1，互为倒数的两个数中必有一个数大于等于1，即m+n＞1，比较m+n和m×n的大小。 （2）由于m×n=1，所以要么m和n一个大于1、一个小于1，要么m和n均等于1；题目给出m＞n，所以n小于1；将4.25写成一个整数加一个分数的形式，根据m×n=1取值即可。 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $