第02课 圆柱的表面积(导学案)六年级数学寒假自学课（北师大版）

第02课 圆柱的表面积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、操作和推理，理解圆柱表面积的含义，掌握圆柱表面积的组成（侧面积和两个底面面积）。 （2）能通过动手实验推导圆柱侧面积的计算公式，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法，并能正确运用公式解决实际问题。 （3）能结合具体情境区分圆柱表面积与侧面积的计算需求，解决与圆柱表面积相关的实际问题（如无盖、无底或完整圆柱的表面积计算）。 2.重难点 重点：掌握圆柱侧面积和表面积的计算公式，能正确计算圆柱的表面积。 难点：理解圆柱侧面展开图（长方形）与圆柱各部分（底面周长、高）的关系，推导侧面积计算公式。 模块二 预习引导 一、圆柱表面积的概念理解 1.复习回顾： 圆柱由____个底面（圆形）和____个侧面（曲面）组成。两个底面之间的距离是圆柱的____（参考第01课“面的旋转”内容）。 2.表面积的含义： 圆柱的表面积是指圆柱所有面的面积总和，包括____个底面的面积和____个侧面的面积。 二、圆柱侧面积的推导与计算 1.动手操作： 取一个圆柱形物体（如罐头盒），沿高将侧面剪开并展开，观察展开后的图形： 展开后的平面图形是____形（或正方形，当底面周长等于高时）。 这个图形的长等于圆柱底面的____，宽等于圆柱的____。 2.公式推导： 因为长方形的面积=长×宽，所以圆柱的侧面积=×（用字母表示：S侧=C×h，其中C为底面周长，h为圆柱的高）。 3.底面周长与半径/直径的关系： 若已知底面半径r，则底面周长C=；若已知底面直径d，则底面周长C=。因此，侧面积公式还可以表示为：S侧=2πr×h或S侧=πd×h 三、圆柱表面积的计算 1.表面积公式： 圆柱的表面积=+×____（用字母表示：S表=S侧+2S底，其中S底为一个底面的面积）。 2.底面面积计算： 已知底面半径r，底面面积S底=____（用字母表示：S底=πr²）。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面(　　)是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A：周长：2×3.14=6.28≠4，故A选项错误； B：周长：3×3.14=9.42≠3，故B选项错误； C：周长：2×3.14=6.28≠3.14，故C选项错误； D：周长：2×3.14=9.42，故D选项正确。 故答案为：D 【分析】中间的长方形的长就是底面圆（展开图上下圆）的周长，根据直径×圆周率（取3.14）=周长判断即可。 2．下面（　　）图形是圆柱的展开图。 A． B． C． 【答案】A 【解析】【解答】解：9.42÷3.14=3，圆柱的底面直径是3，底面周长是9.42。 故答案为：A。 【分析】圆柱的底面直径=圆柱的底面周长÷π，然后选择出正确答案。 3．用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（　　）（单位：厘米） A． d＝1 B． d＝3 C． d＝4 D． d＝6 【答案】D 【解析】【解答】解：25.12÷3.14=8（厘米），18.84÷3.14=6（厘米），所以可以配上直径是6厘米的圆。 故答案为：D。 【分析】给长方形铁皮配上底面，底面的周长与长方形的长相等或者宽相等。所以用长和宽分别除以3.14求出底面直径，然后选择即可。 4．一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开，得到的平行四边形的面积是 (　　)平方厘米。 A．60 B．120 C．188.4 D．376.8 【答案】D 【解析】【解答】解： 2×3.14×6×10 =6.28×6×10 =37.68×10 =376.8（平方厘米） 故答案为：D。 【分析】此题主要考查了圆柱的侧面积，不管侧面积是什么图形，它的面积都等于圆柱的底面周长与高的积，据此列式解答。 5．如图，将一个圆柱切开，拼起来得到一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，长方体的表面积比圆柱的表面积多（　　）cm2。 A．50 B．100 C．200 D．157 【解析】【解答】解：15.7×2=31.4（cm），31.4÷3.14÷2=5（cm），5×10×2=100（cm2），所以长方体的表面积比圆柱的表面积多100cm2。 故答案为：B。 【分析】圆柱的底面周长=长方体近似的长×2，所以圆柱的底面半径=底面周长÷π÷2； 从图中可以看出，把圆柱切拼成近似的长方体，会增加2个长方形面，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，所以长方体的表面积比圆柱的表面积多的面积=圆柱的底面半径×圆柱的高×2。 二、填空题 6．一个圆柱的侧面积是251.2cm2，高是8cm，底面半径是　 　m。 【答案】5 【解析】【解答】解：251.2÷8=31.4（cm） 31.4÷3.14÷2 =10÷2 =5（m） 故答案为：5。 【分析】已知圆柱的侧面积和高，可以求出圆柱的底面周长，圆柱的侧面积÷高=底面周长，已知圆柱的底面周长，可以求出底面半径，圆柱的底面周长÷π÷2=半径，据此列式解答。 7．把一张长、宽的白纸卷成一个圆柱形纸筒（接口处不计），这个纸筒的侧面积是　 　。 【答案】40 【解析】【解答】解：8×5=40（平方分米） 故答案为：40。 【分析】这个纸筒的侧面积就是长方形的面积，长方形的面积=长×宽。 8．把一个圆柱侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面直径是8cm，圆柱的高是　 　。 【答案】25.12cm 【解析】【解答】解：3.14×8=25.12（cm） 故答案为：25.12cm。 【分析】圆柱的侧面展开是正方形，那么圆柱的高与底面周长相等，所以计算出圆柱的底面周长就是这个圆柱的高。 9．下面的图②是图①的侧面展开图，一只小蚂蚁沿着圆柱的侧面，从点A沿最短的路线爬到点B，则点B在图②中的位置是　 　。 【答案】D 【解析】【解答】解：B点在底面的投影与A点相差半个周长，所以选择D。 故答案为：D。 【分析】在图1中，B点平移到底面刚好和A相差半个周长，所以在图2中B点的位置也与A相差半个周长，所以B点位于中点，即在D点的位置。 10．将下图中圆柱形牛肉罐头侧面的标签纸沿高剪开(重叠部分不计)，所得图形是一个　 　形，它的长是　 　cm，宽是　 　cm。 【答案】长方；31.4；6 【解析】【解答】解：展开后的形状是一个长方形 C=×直径=×10≈31.42 圆柱高h=6厘米 故答案为：长方，31.4，6 【分析】展开后的形状是一个长方形，其长和宽分别与圆柱的底面圆周长和高相对应，首先，计算圆柱底面的圆周长，再得出圆柱的高即可 11．把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是　 　cm，它的侧面积是　 　cm2。 【答案】2；100.48 【解析】【解答】解：底面半径：12.56÷3.14÷2=2（cm），侧面积：12.56×8=100.48（cm2）。 故答案为：2；100.48。 【分析】底面周长是12.56cm，高是8cm，用底面周长除以3.14再除以2即可求出底面半径；用底面周长乘高即可求出侧面积。 12．妈妈要做一个底面半径2分米，高5分米的圆柱形带盖的储物箱，底面用人造革，需要人造革　 　平方分米；侧面用花布，需要花布　 　平方分米。 【答案】25.12；62.8 【解析】【解答】解：3.14×22×2 =3.14×8 =25.12（平方分米） 2×2×3.14×5 =4×3.14×5 =12.56×5 =62.8（平方分米）。 故答案为：25.12；62.8。 【分析】底面的面积=π×半径2×2；侧面的面积=半径×2×π×高。 13．一个圆柱从上面看到的图形如图1，从正面看到的图形如图2。（小正方形边长是1cm）这个圆柱的底面直径是　 　cm，高是　 　cm，表面积是　 　dm2。 【答案】4；6；1.0048 【解析】【解答】解：圆柱的底面直径是4格，是4厘米； 圆柱的高是6格，是6厘米； 表面积：3.14×4×6+3.14×（4÷2）×（4÷2）×2 =12.56×6+12.56×2 =75.36+25.12 =100.48（平方厘米） =1.0048（平方分米） 故答案为：4；6；1.0048。 【分析】π×底面直径=底面周长，底面周长×高=圆柱的侧面积；直径÷2=半径，π×半径的平方=圆柱的底面积；圆柱的底面积×2+圆柱的侧面积=圆柱的表面积。 14．一根圆柱形木料，底面直径是2分米，高是3分米，如果把它截成3段，表面积会增加 　 　平方分米。如果把它沿底面直径切成形状、大小完全相同的两部分，表面积会增加 　 　平方分米。 【答案】12.56；12 【解析】【解答】解：截成3段，表面积增加了4个底面积， 3.14×（2÷2）×（2÷2）×4=3.14×1×1×4=12.56（平方分米） 沿底面直径切成形状、大小完全相同的两部分，表面积会增加2个长方形， 2×3×2=6×2=12（平方分米） 故答案为：12.56；12。 【分析】第一空：π×底面半径的平方=1个底面积，1个底面积×4=增加的面积； 第二空：底面直径×高=一个切面的面积，一个切面的面积×2=增加的面积。 15．爸爸在家里喝茶时，拿出了一个底面直径是12cm、高是20cm的圆柱形铁制茶叶罐，做这样一个茶叶罐至少需要　 　cm2铁皮。茶叶罐中原有1kg茶叶，现只剩下一半，爸爸想把剩下的茶叶装到密封袋里，每个密封袋可装茶叶80g，至少需要　 　个这样的密封袋。 【答案】979.68；7 【解析】【解答】解：3.14×12×20+3.14×（12÷2）2×2 =3.14×240+3.14×72 =3.14×312 =979.68（cm2） 1kg=1000g 1000÷2÷80=6.25（个） 故答案为：979.68，7。 【分析】已知圆柱形铁质茶叶罐的底面直径是12cm，高是20cm，可以得到圆柱形铁质茶叶罐的底面半径是6cm，进而根据圆柱的表面积公式：S=πdh+2πr2，计算得出需要铁皮的面积；茶叶罐中原有1kg茶叶，也就是1000g，剩下一半就是1000÷2=500（g），再用500g除以80g，即可得到密封袋的个数，结果为小数就向个位进1，得到整数就是密封袋的个数。 三、判断题 16．圆柱的侧面积总比表面积小。(　　) 【答案】正确 【解析】【解答】解：圆柱的表面积=侧面积+2×底面积 所以圆柱的表面积>侧面积 故答案为：正确。 【分析】圆柱的表面积包含侧面积和两个底面积，所以圆柱的侧面积总比表面积小。 17．一个圆柱的侧面展开后不可能是梯形。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：一个圆柱的侧面展开后不可能是梯形，原题说法正确； 故答案为：正确。 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形，而圆柱的侧面展开图无论沿高或斜线剪开，其展开后的图形均为两组对边平行（长方形或平行四边形），因此不可能形成仅一组对边平行的梯形，据此判断。 18．如果两个圆柱体的侧面积相等，那么它们的底面周长也一定相等。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：两个圆柱体的侧面积相等，只能说明两个圆柱的底面周长与高的积相等，不能说明它们的底面周长也一定相等，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】圆柱体的侧面积=圆柱的底面周长×高，据此解答。 19．“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积．（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】通风管没有底面积，因此u通风管需要铁皮的面积就是求它的侧面积。 20．以一个长方形的一条长为轴，旋转一周后得到的图形是一个圆柱。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：以一个长方形的一条长为轴，旋转一周后得到的图形是一个圆柱，原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】以长方形的一条长边为轴旋转一周时，该长边作为旋转轴固定不动，另一条短边绕轴旋转形成圆形底面，长边的长度成为圆柱的高度；根据旋转体特性，短边长度作为底面半径，长边长度作为高，形成的立体图形是一个圆柱体。 四、解答题 21．一个圆柱的底面直径是3 cm，沿着底面直径竖直切开，表面积增加了60 cm2。原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】解：60÷2÷3= 10( cm) 3.14×3×10+3.14×(3÷2)2 ×2= 108.33( cm2) 答：原来圆柱的表面积是108.33平方厘米。 【解析】【分析】将圆柱沿着底面直径竖直切开，增加的表面积是两个长为圆柱的高、宽为底面圆直径的长方形；已知圆柱底面直径和增加的表面积，据此可以求出圆柱的高，然后按照圆柱表面积公式计算即可。 22．一段圆柱形木料，如果截成两段圆柱，那么它的表面积将增加25.12cm2；如果沿着直径劈成两个半圆柱，那么它的表面积将增加100 cm2。求原来圆柱形木料的表面积。 【答案】解：100÷2×3.14+25.12= 182.12(平方厘米) 答：原来圆柱形木料的表面积是182.12平方厘米。 【解析】【分析】将圆柱形木料截成两段圆柱，那么表面积增加的是原来圆柱的两个底面积；如果沿着直径劈成两个半圆柱，那么表面积增加的是两个相同的长方形，长方形的一组邻边分别是圆柱的底面直径和高。这样用100÷2×3.14就可以得到原来圆柱形木料的侧面积。 23．如图是一个两层的生日蛋糕，已知底层直径是20cm，高度是10cm；上层直径是15cm，高度是6cm，现在准备在它外表涂抹奶油（底部不涂），求该蛋糕需要涂抹奶油的面积。 【答案】解：3.14×（20÷2）2 =3.14×100 =314（cm2） 3.14×20×10 =62.8×10 =628（cm2） 3.14×15×6 =47.1×6 =282.6（cm2） 314+628+282.6 =942+282.6 =1224.6（cm2） 答：该蛋糕需要涂抹奶油的面积是1224.6cm2。 【解析】【分析】将上层蛋糕的上底面补到下层蛋糕的上底面被覆盖的部分正好是下层蛋糕的一个完整的底面圆，所以抹奶油部分面积就是上层蛋糕的侧面及下层蛋糕的侧面和一个底面。圆柱的侧面积=圆周率×直径×高，圆柱的底面积=圆周率×（直径÷2）2，抹奶油部分面积=上层蛋糕侧面积+下层蛋糕侧面积+下层蛋糕底面积。 24．一个高50cm的圆柱形容器内，放有一个高为20cm的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 【答案】解：3分钟注人的水的体积=（S柱-S长）×20 18分钟注人的水的体积=（50-20）S柱= 30S柱 6×20×（S柱- S长）= 30S柱 90S桂= 120S长 S柱：S长=120：90=4：3 答：容器的底面积与长方体底面积的比是4：3。 【解析】【分析】首先，我们需要设定圆柱形容器的底面积和长方体铁块的底面积为未知数。接着，根据题目描述，我们可以建立体积关系，即3分钟注入的水的体积等于圆柱形容器和长方体铁块底面积差乘以水的高度，而18分钟注入的水的体积等于圆柱形容器底面积乘以水的高度。由于这两段注水时间与注水量成比例，我们可以建立比例关系，并解出底面积比。 25．下图是一个圆柱的展开图。 （1）把“底面”“底面的周长”“高”分别填入圆柱侧面展开图中的合适位置。 （2）如果圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，那么图中长方形的长是　 　cm，宽是　 　cm，面积是　 　cm2。 【答案】（1）解： （2）12.56；5；62.8 【解析】【解答】解：（2）3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 长方形的宽就是圆柱的高，即5厘米 12.56×5＝62.8（平方厘米） 故答案为：（2）12.56；5；62.8。 【分析】圆柱的底面周长就是圆柱展开图的长，圆柱的高是圆柱展开图的宽，长方形的面积＝长×宽。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02课 圆柱的表面积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、操作和推理，理解圆柱表面积的含义，掌握圆柱表面积的组成（侧面积和两个底面面积）。 （2）能通过动手实验推导圆柱侧面积的计算公式，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法，并能正确运用公式解决实际问题。 （3）能结合具体情境区分圆柱表面积与侧面积的计算需求，解决与圆柱表面积相关的实际问题（如无盖、无底或完整圆柱的表面积计算）。 2.重难点 重点：掌握圆柱侧面积和表面积的计算公式，能正确计算圆柱的表面积。 难点：理解圆柱侧面展开图（长方形）与圆柱各部分（底面周长、高）的关系，推导侧面积计算公式。 模块二 预习引导 一、圆柱表面积的概念理解 1.复习回顾： 圆柱由____个底面（圆形）和____个侧面（曲面）组成。两个底面之间的距离是圆柱的____（参考第01课“面的旋转”内容）。 2.表面积的含义： 圆柱的表面积是指圆柱所有面的面积总和，包括____个底面的面积和____个侧面的面积。 二、圆柱侧面积的推导与计算 1.动手操作： 取一个圆柱形物体（如罐头盒），沿高将侧面剪开并展开，观察展开后的图形： 展开后的平面图形是____形（或正方形，当底面周长等于高时）。 这个图形的长等于圆柱底面的____，宽等于圆柱的____。 2.公式推导： 因为长方形的面积=长×宽，所以圆柱的侧面积=×（用字母表示：S侧=C×h，其中C为底面周长，h为圆柱的高）。 3.底面周长与半径/直径的关系： 若已知底面半径r，则底面周长C=；若已知底面直径d，则底面周长C=。因此，侧面积公式还可以表示为：S侧=2πr×h或S侧=πd×h 三、圆柱表面积的计算 1.表面积公式： 圆柱的表面积=+×____（用字母表示：S表=S侧+2S底，其中S底为一个底面的面积）。 2.底面面积计算： 已知底面半径r，底面面积S底=____（用字母表示：S底=πr²）。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面(　　)是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 2．下面（　　）图形是圆柱的展开图。 A． B． C． 3．用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（　　）（单位：厘米） A． d＝1 B． d＝3 C． d＝4 D． d＝6 4．一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开，得到的平行四边形的面积是 (　　)平方厘米。 A．60 B．120 C．188.4 D．376.8 5．如图，将一个圆柱切开，拼起来得到一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，长方体的表面积比圆柱的表面积多（　　）cm2。 A．50 B．100 C．200 D．157 二、填空题 6．一个圆柱的侧面积是251.2cm2，高是8cm，底面半径是　 　m。 7．把一张长、宽的白纸卷成一个圆柱形纸筒（接口处不计），这个纸筒的侧面积是　 　。 8．把一个圆柱侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面直径是8cm，圆柱的高是　 　。 9．下面的图②是图①的侧面展开图，一只小蚂蚁沿着圆柱的侧面，从点A沿最短的路线爬到点B，则点B在图②中的位置是　 　。 10．将下图中圆柱形牛肉罐头侧面的标签纸沿高剪开(重叠部分不计)，所得图形是一个　 　形，它的长是　 　cm，宽是　 　cm。 11．把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是　 　cm，它的侧面积是　 　cm2。 12．妈妈要做一个底面半径2分米，高5分米的圆柱形带盖的储物箱，底面用人造革，需要人造革　 　平方分米；侧面用花布，需要花布　 　平方分米。 13．一个圆柱从上面看到的图形如图1，从正面看到的图形如图2。（小正方形边长是1cm）这个圆柱的底面直径是　 　cm，高是　 　cm，表面积是　 　dm2。 14． 一根圆柱形木料，底面直径是2分米，高是3分米，如果把它截成3段，表面积会增加 　 　平方分米。如果把它沿底面直径切成形状、大小完全相同的两部分，表面积会增加 　 　平方分米。 15．爸爸在家里喝茶时，拿出了一个底面直径是12cm、高是20cm的圆柱形铁制茶叶罐，做这样一个茶叶罐至少需要　 　cm2铁皮。茶叶罐中原有1kg茶叶，现只剩下一半，爸爸想把剩下的茶叶装到密封袋里，每个密封袋可装茶叶80g，至少需要　 　个这样的密封袋。 三、判断题 16．圆柱的侧面积总比表面积小。(　　) 17．一个圆柱的侧面展开后不可能是梯形。（　　） 18．如果两个圆柱体的侧面积相等，那么它们的底面周长也一定相等。（　　） 19．“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积．（　　） 。 20．以一个长方形的一条长为轴，旋转一周后得到的图形是一个圆柱。（　　） 四、解答题 21．一个圆柱的底面直径是3 cm，沿着底面直径竖直切开，表面积增加了60 cm2。原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 22．一段圆柱形木料，如果截成两段圆柱，那么它的表面积将增加25.12cm2；如果沿着直径劈成两个半圆柱，那么它的表面积将增加100 cm2。求原来圆柱形木料的表面积。 23．如图是一个两层的生日蛋糕，已知底层直径是20cm，高度是10cm；上层直径是15cm，高度是6cm，现在准备在它外表涂抹奶油（底部不涂），求该蛋糕需要涂抹奶油的面积。 24．一个高50cm的圆柱形容器内，放有一个高为20cm的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 25．下图是一个圆柱的展开图。 （1）把“底面”“底面的周长”“高”分别填入圆柱侧面展开图中的合适位置。 （2）如果圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，那么图中长方形的长是　 　cm，宽是　 　cm，面积是　 　cm2。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $