24.2点和圆、直线和圆的位置关系课堂 同步练习 2025--2026学年人教版九年级数学上册

24.2点和圆、直线和圆的位置关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 2．如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若，则的度数为（    ） A．50° B．55° C．65° D．70° 3．如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　   　） A．6 B． C．5 D． 4．如图，是的内接三角形，过点C的的切线交BO的延长线于点P，若，那么度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，切于点Q，则的最小值为（     ） A． B． C．3 D．2 6．下列说法中，不正确的是 (     ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 7．如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 8．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（    ） A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 9．的半径为5，点A到圆心O的距离为d，已知点A在的外部，则（    ） A． B． C． D． 10．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（    ） A．2m B．3m C．6m D．9m 11．下列命题中是假命题的是（   ） A．圆的切线垂直于过切点的半径 B．垂直于切线的直线必经过切点 C．若圆的两条切线平行,那么经过两切点的直线必经过圆心 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线 12．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（ ） A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系中，． （1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ． （2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点． 注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point） 14．一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为 15．用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设 ． 16．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是 ． 17．如果直线和圆有两个公共点，那么就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的 ． 如果直线和圆只有一个公共点，那么就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 ． 如果直线和圆没有公共点，就说这条直线和圆 ． 三、解答题 18．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．求证：ID=BD. 19．如图，在的正方形网格中，网线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为1． （1）画出的外接圆，并直接写出的半径是多少． （2）连结，在网络中画出一个格点，使得是直角三角形，且点在上． 20．已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．      (1)如图1，若点D是的中点，等于多少？ (2)过点B作直线的垂线，垂足为点E． ①如图2，若点D在上，求证：． ②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值． 21．已知：如图，△ABC中，，CM是中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？ 22．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点．求证：是的切线． 23．如图, 直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上的一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？ 24．如图，的平分线交的外接圆于点D，若，．求外接圆的半径． 《24.2点和圆、直线和圆的位置关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B C D D B C 题号 11 12 答案 B D 1．B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 2、则，； 3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 2．A 【分析】根据切线的性质得出PA=PB，∠PBO=90°，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA=PB，∠OBP=90°， 又∵∠ABO=25°， ∴∠PBA=90°-25°=65°=∠PAB， ∴∠P=180°-65°-65°=50°， 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，掌握切线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和为180°是解题的关键． 3．B 【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案． 【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4 ∴OB=3；OA=4 由勾股定理得， ∵C（0，1） ∴ ∴BC=OB+OC=3+1=4 过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图， 则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC， ∴5×CM=16， ∴CM=， ∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ， ∴△PAB面积的最小值是 ×5×=， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离． 4．B 【分析】连接OC、CE，根据切线的性质得到OC⊥CP，根据直角三角形的性质求出∠COP，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接OC，设⊙O与OP交于点E，连接CE， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥CP， ∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣34°＝56°， ∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE（180°﹣56°）＝62°， ∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形， ∴∠BAC＝180°﹣∠OEC＝118°， 故选：B．    【点睛】本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 5．B 【分析】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点．因为为切线，所以是直角三角形．又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】解：∵切于于点， ∴， ∴． 又， ∴，即， ∴当最小时，有最小值． 又∵点到直线的距离为， ∴的最小值为， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果． 【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确； 由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确； 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确； 由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键． 7．D 【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的判定及性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定及性质等；由圆的基本性质得，即可判断①；连接，由线段中位线定理得，由平行线的性质得，即可判断④；由等腰三角形的性质得，由圆的基本性质得，由余角的性质，即可判断②；由线段垂直平分线的判定及性质得，即可判断③；掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：是⊙O直径， ， ， 故①正确； 连接，如图， 为中点，O为中点， 为的中位线， ， ， ， ， 为的切线， 故④正确； ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 故②正确； D为中点，且， 垂直平分， ， ， ， 故③正确； 则正确的结论为①②③④． 故选：D． 8．D 【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题． 【详解】 解：因为AB固定， 所以∠AEB固定，定弦定角， 故x不随C、D运动而变化； ∵CD为定长1，∠DEC为定角60°， ∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°， 此时E在圆O′上运动，如图， 由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化， 即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 9．B 【分析】根据点在圆外，其到圆心的距离大于半径即可得出答案． 【详解】解：根据题意即可知． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握①当点在圆外时，其到圆心的距离大于半径；②当点在圆上时，其到圆心的距离等于半径；③当点在圆内时，其到圆心的距离小于半径． 10．C 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积公式，Rt△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离，然后乘以3即可． 【详解】设内切圆半径为r， 由勾股定理可得斜边=， 则利用面积法可得：， 解得． ∴管道为（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到两边的距离相等的性质，以及勾股定理，三角形的面积的不同表示，根据三角形的面积列式求出点O到三边的距离是解题的关键． 11．B 【分析】根据直线与圆的关系及真假命题的定义进行作答. 【详解】A.真命题，所以A错误； B. 垂直于切线的直径必经过切点，因此B为假命题，所以B正确；C.真命题，所以C错误；D.真命题，所以D错误.综上，选B. 【点睛】本题考查了直线与圆的关系及真假命题的定义，熟练掌握直线与圆的关系及真假命题的定义是本题解题关键. 12．D 【分析】正三角形的内心和外心重合，根据等腰三角形的三线合一，则正三角形的外接圆半径和内切圆的半径可以放在30°的直角三角形中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得R=2r． 【详解】正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为R=2r． 故选D． 【点睛】熟记正三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍． 13． （2，0） 8 【分析】（1）根据不共线三点确定圆心，找到的垂直平分线的交点，继而根据点M的位置写出坐标即可 （2）根据平面直角坐标系直接判断即可． 【详解】（1）如图， （2）如图，经过点，共8个格点 故答案为：8 【点睛】本题考查了不共线三点确定圆心，坐标与图形，找到圆心是解题的关键． 14．3cm或8cm 【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解． 【详解】解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm； 当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm； 故答案为 3cm或8cm 15．是直角三角形 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设“是直角三角形”． 故答案为：是直角三角形． 16．该尺规作图的依据为：四边相等的四边形是菱形、有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义． 【分析】由作图知AB=OB=OC=AC可判定四边形ABOC为菱形，根据∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，从而得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC为等边三角形，继而由OB=OA=OC可得所求作的圆． 【详解】如图，连接OA、OC， 由作图知BA=BO、OC=OA， ∵AB=AC， ∴AB=OB=OC=AC， ∴四边形ABOC为菱形（四边形相等的四边形是菱形）， 又∵∠BAC=120°， ∴∠BAO=∠CAO=60°， 则△OAB、△OAC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴OB=OA=OC， ∴点A、B、C在以O为圆心、OB为半径的圆上（圆的定义）， 综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及圆的定义． 17． 割线 切线 切点 相离 【解析】略 18．详见解析. 【分析】根据三角形的内心的概念，得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，再利用外角性质得到∠BID=∠IBD，从而根据等腰三角形的性质证明即可. 【详解】解：∵ 点I是△ABC的内心，∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI. ∵ ∠CBD=∠CAD，∴ ∠BAD=∠CBD. ∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD. ∴ID=BD. 【点睛】此题主要考查了三角形内心的性质和三角形的外角的性质，以及等腰三角形的判定，关键是明确三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 19．（1）作图见解析，半径为；（2）作图见解析 【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为点O的位置，在网格中应用勾股定理即可求得半径； （2）只能是或，直接利用网格作图即可． 【详解】解：（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为点O，如图： ， 根据勾股定理可得半径为； （2）当是直角三角形时，且点在上， 只能是或，利用网格作图如下： ． 【点睛】本题考查尺规作图、确定圆的条件，掌握三角形外接圆圆心是三边线段垂直平分线的交点是解题的关键． 20．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）连接，根据可得，再根据圆周角定理进行求解即可； （2）①过B作于点H，则，证明和即可求解； ②连接并延长交于点I，则点D在上，证明和即可求解； 【详解】（1）如图1中，连接．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴． （2）①过B作于点H，则．    又∵于点E， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ②连接并延长与交于点I，则点D在上．    如图：过B作于点H， 则， 又∵于点E， ∴， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点D运动到点I时取得最大值，此时． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 21．点A在⊙O内；点B在⊙C外；M点在⊙C上 【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：根据勾股定理，有AB=（cm）； ∵CA=2cm＜cm， ∴点A在⊙O内， ∵BC=4cm＞cm， ∴点B在⊙C外； 由直角三角形的性质得：CM=cm ∴M点在⊙C上． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 22．见解析 【分析】如图，连接，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得，再由等弧对等圆心角得到，最后再由三角形内角和定理即可求证． 【详解】证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 23．见解析 【分析】过点E作EF⊥CD于点F，则可证明△ADE≌△FDE，△EFC≌△EBC，从而可得AE=EF=EB，这样即可判断出答案． 【详解】解：以AB为直径的圆与边CD相切． 理由如下：过点E作EF⊥CD于点F． ∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD， ∴∠ADE=∠EDF，∠ECB=∠ECF， 在△ADE和△FDE中， 同理可得：△EFC≌△EBC， ∴AE=EF=EB， 则以AB为直径的圆的圆心为点E， ∴以AB为直径的圆与边CD相切． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解答本题的关键是证明△ADE≌△FDE，△EFC≌△EBC，得出AE=EF=EB，难度一般. 24． 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理等知识，先根据圆周角定理可知，为的直径，再结合题意得到，利用勾股定理求出的长，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $