3.5 确定圆的条件 （同步基础练习题）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

3.5 确定圆的条件 同步基础练习题 一．选择题 1．已知⊙O的半径为2，点A在⊙O外，OA的长可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 2．⊙O的半径为4cm，若点P到圆心的距离为3cm，点P与⊙O的位置关系为（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点P，M均在⊙A内 B．点P，M均在⊙A外 C．点P在⊙A内，点M在⊙A外 D．以上选项都不正确 4．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点O，A（4，0），B（4，3）三点，则下列说法中错误的是（　　） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点N（0，3）在这条圆弧所在圆上 D．点M（2，5）在这条圆弧所在圆上 5．如图，AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接圆交于点D，连结BD交AC于点F，且BC＝CF，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADB＝∠CDB B．3∠ACB+∠ACD＝180° C．3∠BDC+2∠ABD＝180° D．3∠BAD+∠ABD＝360° 6．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P（　　） A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或在⊙O的内部 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，BD＝BE＝6，CD＝CA＝10，则△AED的外接圆半径为（　　） A．3 B． C． D．4 8．已知平面坐标系内有三点，分别是A（1，2），B（5，2），C（3，7），则△ABC外接圆的圆心的坐标是（　　） A．（3，2.1） B．（3，2.9） C．（3，4.1） D．（3，4.9） 9．如图，⊙O是△ABD的外接圆，若∠A＝135°，则∠BDO的度数为（　　） A．30° B．67.5° C．45° D．135° 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题 11．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在⊙O　 　 （填“上”“外”或“内”） 12．已知直角三角形两直角边长分别是3和4，则其外接圆的半径长是 　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　 　 ． 14．如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝　 　 ． 15．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是点P在 　 　 ． 16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 　 　 ． 三．解答题 17．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD为直径，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），设∠DAB＝α，∠ACB＝β，小明同学通过画图和测量得到以下近似数据： α 30° 35° 40° 50° 60° 80° β 120° 125° 130° 140° 150° 170° 猜想：α关于β的函数表达式，并给出证明． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CA＝CB，连接BO并延长交AC于点D． （1）求证：∠C＝2∠CBD； （2）若AB＝6，sinC，求⊙O的半径． 19．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，当点C的对应点E落在线段AB上时，点B的对应点D恰好落在△ABC的外接圆上，且点C，D，E在同一直线上． （1）求证：BD＝DE． （2）若BC＝6，cos∠CAB，求CE的长． 20．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD⊥BC于点D，延长DO交⊙O于F，连接OC，AF． （1）求证：△COD≌△BOD； （2）填空：①当∠1＝　 　 时，四边形OCAF是菱形； ②当∠1＝　 　 时，AB＝2OD． 21．已知△ABC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H，连接AD、CD，AD与BC交于点P． （I）如图1，求证：∠ACD＝∠APB； （II）如图2，若AB过圆心，∠ABC＝30°，⊙O的半径长为3，求AP的长． 22．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． （1）请完成以下操作： ①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD； （2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为　 　 ；点（6，﹣2）在⊙D　 　 ；（填“上”、“内”、“外”）∠ADC的度数为　 　 ． 23．如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上． （1）求证：AE＝AB． （2）若∠CAB＝90°，cos∠ADB，BE＝2，求BC的长． 24．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x，y； 启发应用 请利用上面的信息，解答下面的问题： 如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B． （1）求⊙M的半径及圆心M的坐标； （2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B B B C C B 二．填空题 11．内． 12．2.5． 13．（2，1）． 14．4． 15．圆内． 16．1． 三．解答题 17．结论是：β﹣α＝90°， 证明：连接BD， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠DBA＝90°， ∵∠DAB＝α， ∴∠D＝90°﹣α， ∵B、D、A、C四点共圆， ∴∠ACB+∠D＝180°， ∵∠ACB＝β， ∴90°﹣α+β＝180°， ∴β﹣α＝90°． 18．解：（1）如图1，连接CO，AO， ∵CA＝CB，OA＝OB，OC＝OC， ∴△COA≌△COB（SSS）， ∴∠ACO＝∠BCO， ∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠CBD， ∴∠C＝2∠CBD； （2）如图2，作⊙O的直径AK，连接BK， 则∠ABK＝90°，∠C＝∠K， ∵AB＝6，sinC， ∴sinK， ∴AK＝10， ∴⊙O的半径为5． 19．证明：（1）∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE， ∴∠CAB＝∠BAD，BC＝DE， ∵∠CAB＝∠CDB，∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠CDB， ∴BC＝BD ∴BD＝DE （2）如图，过点B作BF⊥CD于点F， ∵BC＝6， ∴BD＝BC＝DE＝6，且BF⊥CD ∴CD＝2DF， ∵cos∠CAB， ∴cos∠CDB ∴DF＝4 ∴CD＝2DF＝8 ∴CE＝CD﹣DE＝2． 20．（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴OC＝OB， ∵OD⊥BC于点D， ∴CD＝BD， 在△CDO和△BDO中，， ∴△CDO≌△BDO（SSS）； （2）解：当∠1＝30°时，四边形OCAF是菱形． 理由如下： ∵∠1＝30°，AB是直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠2＝60°，而OC＝OA， ∴△OAC是等边三角形， ∴OA＝OC＝CA， 又∵D，O分别是BC，BA的中点， ∴DO∥CA， ∴∠2＝∠3＝60°而OC＝OA＝AF． ∴△OAF是等边三角形， ∴AF＝OA＝OF， ∴OC＝CA＝AF＝OF， ∴四边形OCAF是菱形； ②当∠1＝45°时，AB＝2OD， ∵∠1＝45°， ∵OD⊥BC于点D， ∴△BOD是等腰直角三角形， ∴OBOD， ∴AB＝2OB＝2OD． 21．（I）证明：∵OD⊥BC， ∴， ∴∠DAC＝∠BCD， ∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠APB＝∠ACB+∠DAC， ∴∠ACD＝∠APB； （II）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝30°，AB＝2OB＝6， ∴∠BAC＝60°，ACAB＝3， ∵OD⊥BC， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， 在Rt△ACP中，∠CAP＝30°， ∴AP＝2CP，ACCP＝3， ∴CP， ∴AP＝2． 22．解：（1）①平面直角坐标系如图所示： ②圆心点D，如图所示； （2）⊙D的半径＝AD2， ∵点（6，﹣2）到圆心D的距离2半径， ∴点（6，﹣2）在⊙D上． ∵D（2，0），C（6，2），A（0，4），∴OD＝CE，OA＝DE， ∵∠AOD＝∠DEC， ∴△AOD≌△DEC（SAS）， ∴∠OAD＝∠EDC， ∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠ADC＝90°， 故答案为：2，上，90°． 23．解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， ∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC， ∵∠ABD＝∠AED， ∴∠ABD＝∠ACD， ∴AB＝AC， ∴AE＝AB； （2）如图，过A作AH⊥BE于点H， ∵AB＝AE，BE＝2， ∴BH＝EH＝1， ∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB， ∴cos∠ABE＝cos∠ADB， ∴． ∴AC＝AB＝3， ∵∠BAC＝90°，AC＝AB， ∴BC＝3． 24．解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴AB是⊙M的直径， ∵A（8，0），B（0，6）， ∴AB10， ∴⊙M的半径为5， 由线段中点坐标公式x，y，得x＝4，y＝3， ∴M（4，3）， （2）点C在⊙M上， 理由：∵C（1，7），M（4，3）， ∴CM5， ∴点C在⊙M上． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/16 21:58:12；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $