28.5弧长和扇形面积的计算讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦弧长和扇形面积的计算，系统梳理弧长公式（圆心角n、半径R）、扇形面积公式及注意事项（n的单位、结果保留、参数对应），并关联圆锥侧面展开图中扇形与底面圆的关系，构建从公式原理到分题型应用的学习支架。 资料含思维导图辅助知识结构化，分题型设计25道练习题覆盖求弧长、半径、圆心角、面积及圆锥计算，如结合马面裙实例培养应用意识，提升运算能力与推理意识。课中助教师高效授课，课后助学生强化练习，助力基础薄弱学生提升。

28.5弧长和扇形面积的计算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1弧长公式 在半径为( R )的圆中，的圆心角所对的弧长( l )的计算公式为： 其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。 扇形面积公式 由半径为( R )的圆的一部分（两条半径和一段弧）组成的图形称为扇形。 的圆心角所对的扇形面积( S )的计算公式为： 其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。 公式中的注意事项 · 公式中( n )的单位是“度”，计算时无需将其转化为弧度； · 弧长和面积的结果需保留或根据题目要求取近似值； · 应用公式时需明确圆心角( n )和半径( R )的对应关系，避免混淆不同圆或扇形的参数。 型 习 练 题 求弧长 1．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 4．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 5．在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 求扇形半径 6．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 7．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 8．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 9．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 10．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 求圆心角 11．一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 13．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 14．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 15．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 求扇形面积 16．如图，点C在上，直径，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．8π B．4π C．12π D．2π 17．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 18．用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 19．钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（　 ） A． B． C． D． 20．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 圆锥的相关计算 21．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 22．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 23．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 24．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 25．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（    ）． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.5弧长和扇形面积的计算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1弧长公式 在半径为( R )的圆中，的圆心角所对的弧长( l )的计算公式为： 其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。 扇形面积公式 由半径为( R )的圆的一部分（两条半径和一段弧）组成的图形称为扇形。 的圆心角所对的扇形面积( S )的计算公式为： 其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。 公式中的注意事项 · 公式中( n )的单位是“度”，计算时无需将其转化为弧度； · 弧长和面积的结果需保留或根据题目要求取近似值； · 应用公式时需明确圆心角( n )和半径( R )的对应关系，避免混淆不同圆或扇形的参数。 型 习 练 题 求弧长 1．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；由题意易得该扇形的弧长为，然后根据圆的周长公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的弧长为， 根据圆锥侧面展开图的特征可知：扇形弧长即为圆锥底面圆的周长，所以该圆锥底面圆的半径为； 故选A． 2．如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【详解】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 3．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 4．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；直接使用扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得：扇形弧长为， 故选B． 5．在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 求扇形半径 6．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 7．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 8．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 9．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 10．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 求圆心角 11．一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角 【详解】解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 12．如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 13．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式：． 设此定滑轮旋转的度数为，则由弧长公式得到，据此即可求解． 【详解】解：设此定滑轮旋转的度数为，则， 解得， ∴此定滑轮旋转的度数为． 故选：D． 14．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】重物上升，说明点转过的路径长为，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，关键是熟练掌握弧长公式． 【详解】解：设旋转的角度为， 根据题意得，， 解得， 所以半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为． 故选：D． 15．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角的度数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 求扇形面积 16．如图，点C在上，直径，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．8π B．4π C．12π D．2π 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握其定理和面积公式是解题的关键． 根据题意可得是的中线，进而证得，根据圆周角定理可得 ，利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：是的中点， 是的中线， 故选：A． 17．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：由题意知，半径，弧长， ∴弧长×半径， 故选：A． 18．用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答即可，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：因为用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面， ∴该圆锥的侧面积为， 故选：． 19．钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，扇形的面积，先求出从9点到9点20分，分针转过的角度，再由扇形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：从9点到9点20分，分针转过的角度为， 故钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是， 故选：B． 20．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积等于弧长与半径乘积的一半即可判断求解，掌握扇形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，则，， ∵，， ∴， 故选：． 圆锥的相关计算 21．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 22．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的侧面积，，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．根据圆锥的侧面积公式列方程即可得答案． 【详解】解：∵母线，圆锥的侧面积为， ∴， 解得． 故选：C． 23．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 24．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 25．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，， 即该圆锥母线的长为3cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 学科网（北京）股份有限公司 $