28.4垂径定理（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦垂径定理核心知识点，系统梳理定理内容（垂直于弦的直径平分弦及所对弧）、推论（平分非直径弦的直径垂直弦等），明确基本图形（半径、弦一半、圆心距构成直角三角形）与常用辅助线（过圆心作弦的垂线），构建从概念到计算（弦长、半径）、证明（线段或弧相等）的完整学习支架。 资料特色在于分层设计练习题（平行弦、同心圆、实际应用等类型），配套思维导图直观呈现知识脉络，结合筒车运行、输水管道维修等实际问题，培养学生几何直观与模型意识。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生针对性练习，提升运算能力与推理意识，有效帮助基础薄弱学生提分。

28.4垂径定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 垂径定理 · 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论 · 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 基本图形与常用辅助线 · 基本图形：由垂径定理及其推论构成的图形中，常包含半径、弦的一半、圆心到弦的距离这三条线段，它们构成直角三角形。 · 常用辅助线：遇弦长问题，常过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理（，其中r为半径，d为圆心到弦的距离，l为弦长）解决问题。 核心应用 · 计算弦长：已知圆的半径r和圆心到弦的距离d，可求弦长。 · 计算半径：已知弦长l和圆心到弦的距离d，可求半径。 · 证明线段相等或弧相等：利用垂径定理及其推论证明平分弦、平分弧等结论。 型 习 练 题 利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 2．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 4．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 5．下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 利用垂径定理求同心圆问题 6．如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，已知是的直径，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 9．的半径为2，是它的一条弦，，则弦所对的圆周角为（    ） A． B． C．或 D． 10．如图，线段是的直径，弦，，则等于（　　） A． B． C． D． 垂径定理的推论 11．如图，的直径平分弦．若，则为（   ） A． B． C． D． 12．下列语句中，正确的有（   ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A． B． C． D． 14．下列命题为真命题的是（   ） A．三点确定一个圆 B．圆心角相等，所对的弧相等 C．圆周角是直角时，所对弦是直径 D．平分弦的直径垂直弦 15．如图，的直径，是的弦，是弧的中点，与相交于点．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 垂径定理的实际应用 16．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 17．某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 19．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 20．一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进厂门形状如图所示的某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.4垂径定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 垂径定理 · 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论 · 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 基本图形与常用辅助线 · 基本图形：由垂径定理及其推论构成的图形中，常包含半径、弦的一半、圆心到弦的距离这三条线段，它们构成直角三角形。 · 常用辅助线：遇弦长问题，常过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理（，其中r为半径，d为圆心到弦的距离，l为弦长）解决问题。 核心应用 · 计算弦长：已知圆的半径r和圆心到弦的距离d，可求弦长。 · 计算半径：已知弦长l和圆心到弦的距离d，可求半径。 · 证明线段相等或弧相等：利用垂径定理及其推论证明平分弦、平分弧等结论。 型 习 练 题 利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 2．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 4．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 【答案】A 【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A. 点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理. 5．下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误； ②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误； ③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误． ∴ 正确的只有1个． 故选：A． 利用垂径定理求同心圆问题 6．如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等和圆周角定理，根据垂径定理由得到，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，已知是的直径，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，由此得到答案． 【详解】解：∵是的直径，于点， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 8．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴CD＝AE＝BE， ∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键． 9．的半径为2，是它的一条弦，，则弦所对的圆周角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆内接四边形的性质，连接，，过点O作的垂线，通过解直角三角形，易得出的度数，由于弦所对的弧有两段：一段是优弧，一段是劣弧，所以弦所对的圆周角也有两个，因此分类求解． 【详解】解：如图，连接，，过点O作于点C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴弦所对的圆周角有两个，为或． 故选：C． 10．如图，线段是的直径，弦，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理可知，由圆周角定理得，然后再根据直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：设与相交于点， ∵线段是的直径，弦，， ∴，， ∴， ∴在中， ． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形两锐角互余．熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 垂径定理的推论 11．如图，的直径平分弦．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等， 先根据垂径定理的推论得，进而得出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得出答案． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴，交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 12．下列语句中，正确的有（   ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解． 【详解】解：∵①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误； ∵②等弧对等弦，故②正确； ∵③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误； ∵④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确； ∴ 正确的有②④，共2个； 故选B． 13．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心的确定方法，圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，且的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点就是圆心，因此看图中弦的垂直平分线和的圆周角即可判断．充分利用格线互相垂直的特点是解题的关键． 【详解】解：A．该圆只能确定一个的圆周角，只能确定一条直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； B．该圆能确定两个的圆周角，能确定两条直径，能确定圆心，故此选项符合题意； C．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； D．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意． 故选：B． 14．下列命题为真命题的是（   ） A．三点确定一个圆 B．圆心角相等，所对的弧相等 C．圆周角是直角时，所对弦是直径 D．平分弦的直径垂直弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、圆心角与弧的关系、圆周角定理和垂径定理；需根据每个命题的条件判断其真假． 【详解】A：三点确定一个圆，假命题，∵三点必须不共线才能确定一个圆； B：圆心角相等，所对的弧相等，假命题，∵需在同圆或等圆中才成立； C：圆周角是直角时，所对弦是直径，真命题，∵根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，反之亦然； D：平分弦的直径垂直弦，假命题，∵需弦非直径时才成立； 故选C． 15．如图，的直径，是的弦，是弧的中点，与相交于点．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的推理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，连接，设与相交于点，由是弧的中点可得，，进而得到，即可证明，得到，又由得到，即得到，求得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵是弧的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 垂径定理的实际应用 16．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】2米 【分析】本题主要考查勾股定理及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接，，与交于点D，由题意易得，，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，，与交于点D，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：点C到弦所在直线的距离是2米． 17．某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关键是熟练运用垂径定理． 先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， 则， ∵， ∴， 设半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 答：这个圆形截面的半径是. 18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）利用正方形的性质画出线段的垂直平分线，与线段的垂直平分线的交点即为圆心； （）根据（）图写出点的坐标即可； 本题考查了垂径定理，坐标与图形，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：由（）图可知，圆心坐标为， 故答案为：． 19．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 20．一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进厂门形状如图所示的某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由． 【答案】答：卡车能通过厂门，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理，进行解答，即可． 【详解】解：卡车能通过厂门，理由如下： 如图，，为卡车的宽度，过点，作的垂线交半圆于，，过点作，为垂足， ∴，， 由作法可得，，， ∴， ∴， ∵卡车高， ∴， ∴卡车能通过厂门． 学科网（北京）股份有限公司 $